Басылым: төртінші -бет



бет17/47
Дата29.06.2017
өлшемі19,22 Mb.
#20661
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   47

Дәріс 8

Тақырыбы: Интерполяция есебінің математикалық қойлымы. Шеткі айырымдар мен олардың қасиеттері. Лагранж интерполяциялық көпмүшесі. Лагранж интерполяциялық формуласының ауытқу шамасы.

Мақсаты: Лагранж интерполяциялық көпмүшесін айту. Лагранж интерполяциялық формуласының ауытқу шамасын көрсету.

Шеткі айымдар мен олардың қасиеттері.

y=f(x) функциясын қарастырып кестелік түрде берілген мәндері үшін yi=f(xi), берілсін мұндағы xi (i=0,1,2,….) мына түрде анықталады. xi= xi+1- xi=h=const осы xi мәндері үшін уi(i=0,1,2,….) мәндерінің тізбегі мынадай қатнастармен анықталыды.

уi= уi+1- уi=h=const

2уi=(уi)= (уi+1- уi)= уi+1- уii+2i+1i+1i= уi+2-2уi+1i

…………………………………..

nуi=(n-1уi)= n-1уi+1-n-1 уi

Осы теңдіктерден мынадай формула аламыз.

уi+1= уi+уi=(1+) уi

уi+2=(1+) уi+1=(1+)2 уi

уi+3=(1+) уi+2=(1+)3 уi

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

уi+n=(1+) уi+n-1=(1+)n уi

Осы жазылған қатнастарға Ньютон –Биномын қолдансақ

уi+ni1nуi+ С2n2уi+…+ nуi

Ал осының керісіншесі мынадай түрде болады.

nуii+n1nуn+i-1- С2nуn+i-2+…-(-1)nуi



xi=xi- xi+1 сол жақ айырым

Осы жазылған айырымдардың ретін кесте бойынша жазса қолайлы



I-түрі

X

Y

y

2y

3y

X1

Y1

y1

2y1

3y1

X2

Y2

y2

2y2

3y2

X3

Y3

y3

2y3

3y3

II-түрі

X

Y

y

2y

3y

X1

Y1

y1

2y1




X2

Y2

y2







X3

Y3










Бізге [a,b] кесінді аралығында n+1 нүктелер жиыны берілген олар x0,x1,…,xn. Бұл нүктелерді интерполяцияның түйін нүктелері деп атаймыз. Оларға сәйкес функцияның мынадай мәндері анықталған:
f(x0),f(x1),…,f(xn)

Интерполяцияның түйін нүктелеріндегі мәндері:

F(x0)=y0,

F (x1)=y1, (4.1)

…………,

F(xn)=yn.



интерполяцияның түйін нүктелерінде мәндері (4.1) болатындай интерполяциялаушы F(x) функциясын құруымыз керек. Есептің қойылуында F(x) cәйкес xі- түйін нүктелері үшін табылатын жуық функцияның операциясы интерполяция деп аталады.

y=f(x) өзінің кестелік мәндерімен берілсе және xі мәндері біркелкі қадаммен орналасса, онда xі мәндерін қамтитын Ln(x)—n-ші дәрежелі полиномын құруымыз қажет. Мұндағы х-тің қадамы біркелкі



H=xi+1-xi t=(x-x0)/h; Ci=(-1)n-I i! (n-i)! Пn+1(t)=t(t-1)(t-2)…(t-n) болса, онда

Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесі



|Rn(x)|=|f(x)-Ln(x)|

Бақылау сұрақтары:

1. Түйіндер және тор.

2. Локалды және глобалды интерполяция, экстраполяция.

3. Сызықтық және квадраттық интерполяция дегеніміз не?

4. Сызықтық және квадраттық интерполяция кезінде туындының мінез-құлқы.

5. Сплайн анықтамасы.



Дәріс 9

Тақырыбы: Бір келкі түйіндер үшін бірінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Екінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Ньютон интерполяциялық формуласының қателіктерін бағалау.

Мақсаты: Бір келкі түйіндер үшін Ньютон интерполяциялық формуланы уйрету.

Бір келкі қадаммен берілген Ньютон интерполяциялық формуласы алдыға қарай



H=xi+1-xi q =(x-x0)/h



Бір келкі қадаммен берілген Ньютон интерполяциялық формуласы арnқа қарай

мынадай формуламен есептелінеді. Мұндағы



H=xi+1-xi q =(x-xn)/h;

Ньютонның І-ші интерполяциялық формуласы айырымдар таблицасының соңғы мәндерінің маңайында қолдануы ыңғайсыз. Бұл жағдайда Ньютонның ІІ-ші интерполяциялық формуласы қолданамыз. Бізге уі=f(xi) ()-берілсе xi=x0+iҺ-болса →мынадай интеграл полином құраймыз:

Рn(x)=a0+a1(x-xn)+a2(x-xn)(x-xn-1)+ a3(x-xn)(xn-xn-1)(x-xn-2)+ an(x-xn)(xn-xn-1)…(x-x1).

Осы формуланы ↑-да айтылғандай жалпылай дәрежеге көшіріп, былай жазамыз:

Рn(x)=a0+a1(x-xn)+a2(x-xn-1)+ ...an(x-x1). (5.1)



Осы полиномның коэффициенттерін анықтаймыз. Бұл жазылған полиномға

Рn(xi)=yi () – шама орындалса, → мына шарттың орындалуы көз жеткіземіз.

() (5.2)

болса, → (5.1) Рn(x)=yn=a0 → a0=yn

(5.1)-дің сол оң бөлік-ретін 1-ші ретті айырым-рын алып.

Рn(x)=a11һ+a22һ(x-xn-1)+ a33һ(x-xn-2)+ annһ(x-x1)n-1.



Одан х=xn-1 десек (5.2) формуласын ескеріп келесі формуланы анықтаймыз.

Рn(x)=yn-1=a1h → a1=

тұр. осы сияқты q-інші ретті айырым құрып

Осы жалғастырсақ aі= (5.3) ().

Осы шыққан коэффициенттерін (5.1)-ге қойып, келесі формуланы аламыз.



(5.4)

Ньютонның ІІ-ші интерполыциялық формуласы



Осы формулаға жаңа айнымалы -енгізсек, →

т.с.с

Осыны (5.4) –ке енгізсек, →

Ньютонның ІІ-ші қарапайым интер.формуласы. (5.4)



Бақылау сұрақтары:



  1. Екінші Ньютон интерполяциялық формуласы қандай?

  2. Интерполяции қателігі.

  3. Интерполяция қателігінің бақылау формуласы.

  4. Интерполяция қателігін азайту үшін түйіндерді таңдау.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   47




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет