Дәріс 3 Түзулердің өз ара орналасуы

1. Өз ара параллель түзулер, өз ара қиылысушы, өз ара айқасушы түзулер

2. Түзу кесіндінің нақты ұзындығы мен проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау.

3. Түзу кесіндісінің нақты ұзындығын анықтау

1) өз ара параллель болуы, яғни бір жазықтықта жатулары мүмкін. Параллель түзулердің бір есімді проекциялары өз ара параллель болады.

2) өз ара қиылысуы, яғни олардың бір ортақ нүктесі болуы мүмкін

3) өз ара айқасулары, яғни бір жазықтықта жатпаулары мүмкін.

Параллель түзулердің бір есімді проекциялары өз ара параллель болады.

Егер кеңістікте екі түзу өз ара қиылысатын болса, онда олардың бір есімді проекциялары да өз ара қиылысатын болады және қиылысу нүктелері проекция өсіне жүргізілген бір перпендикулярдың бойына орналасады.

Егер кеңістікте екі түзу өз ара параллель болмаса және өз ара қиылыспайтын болса, онда мұндай түзулерді айқасушы түзулер деп атайды.

Айқасушы түзулердің бір есімді проекциялары эпюрде қиылыса алады, бірақ қиылысу нүктелері проекция осіне жүргізілген бір перпендикулярдың бойында жатпайды.
Тік бұрыштың проекциялау теоремасы
Егер тік бұрыштың бір қабырғасы проекция жазықтығына параллель болса онда тік бұрыш осы жазықтықта нақты шамасымен проекцияланады.
Түзу кесіндісінің нақты ұзындығы мен проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау
П₁ және П₂ жазықтықтары системасында жалпы жағдай АВ кесіндісі берелді дейік. А нүктесі арқылы кесіндінің ab проекциясына параллель етіп, АВ₁ түзуін жүргізейік. Бұдан АВ₁В тік бұрышты үшбұрыш шығады. АВ кесіндісі осы үшбұрыштың гипотенузасы, ал оның бір қатеті АВ₁=ab, екінші катеті ВВ₁=Bb-B₁b=Bb-Aa=bb_x-aa_x=bb₁ , яғни В және А нүктелерінің П₁ жазықтықтығына дейінгі қашықтықтарының айырымына (Z_B - Z_A) тең болады. Олай болса, кесіндінің нақты ұзындығын тікбұрышты үшбұрыш салу арқылы анықтыуға болады. Үшбұрыштың бір катеті кесіндінің горизонталь проекциясы ab-ға, ал екінші катеті bb₁ кесіндісіне тең, яғни ВВ₁=Z_B-Z_A=bb_x-aa_x болуы керек. Сонда АВ кесіндісімен анықталады.
Нұктелер проекцияларының көріну және көрінбеу шарттары
Айқасушы түзулердің бір есімді проекцияларының өз ара қиылысу нүктелері осы нүктелер арқылы жүргізілген проекциялаушы сәулелер мен берілген түзулердің қиылысу нүктелерін анықтайды.

Мысалы, АВ және CD түзулерінің ( - сызуда) К және Е нүктелері П₁ жазықтығына түсірілген перпендикуляр (сәуле) бойына, ал U және F нүктелері П₂ жызақтығына түсірілген перпендикуляр бойына орналасқан. Осындай нүктелердің (әр жұбындағы, мысалы, К,Е немесе U, F) қайсысының проекция жазықтығынан алысырақ орналасқандығын, яғни көретіндігін оңай аңықтауға болады.

Кескіндер неғұрлым көрнекі болу үшін, әдетте, көрінетін контурлар проекциялары тұтас, ал көрінбейтіндері штрих сызықпен жүргізіледі.

Геометриялық элементтер проекцияларының көріну және көрінбеу шарттарын қарастырайық.

(- сызуда) проекциялаушы түзулер бойына орналасқан бірнеше нүктелер берілген. Горизонталь проекциялаушы түзу бойына үш нүкте (А,В, және С), фронталь проекциялаушы түзу бойына екі нүкте (Е және F) орналасқан.

Проекциялаушы түзулердің бірінде жатқан осындай нүктелер көріну жөнінен бәсекелес нүктелер деп аталады. Егер кескінделетін элементттерді мөлдір деп есептесек, онда көру сәулелерінің бағыты проекциялаушы түзулер бағытымен қосылып кетеді. Сонда көру сәулесінің бірінде жатқан нүктелердің бізге жақын орналасқаны көрінетін нүкте, ал қалғандары, бізден алысырақ жатқан нүктелер, көрінбейтін нүктелер болып есептеледі. А нүктесі басқа нүктелерге қарағанда (В және С) Н жазықтығынан алыстау орналасқан. Сондықтан А нүктесі (П₁-қа қарай қарағанда) көрінеді де, В және С нүктелері көрінбейді.

Фронталь проекциялаушы түзудің бойына орналасқан нүктелердің ішінен Е нүктесі көрінетін ( П₂ қарай қарағанда), ал F нүктесі көрінбейтін болады. Өйткені Е нүктесі П₂ жазықтығына F нүктесінен алысырақ орналасқан.
Өзінді тексеруге арналған сұрақтар

1. Қандай жағдайда түзу сызықтың проекциясы нүкте түрінде кескінделеді?

2. Ерекше жағдай түзулеріне қандай түзулер жатады?

3. Қандай жағдайда түзу кесіндінің проекциясының ұзындығы осы кесіндінің нақты ұзындығына тең болады?