Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

32 

Не знаю, обратили вы внимание или нет, но всех задачах я «объявляю» тип 

дифференциального уравнения. Это не случайность! 

 

В начале решения крайне желательно указать тип  уравнения  

 

Это опять же не является каким-то строгим правилом, но «голое» решение могут 

запросто «завернуть» со вполне обоснованным вопросом: А почему вы здесь провели 

такую замену? Риск незачёта серьёзно увеличивается, если в вашей работе «одни 

формулы». Поэтому 

решение нужно обязательно снабжать словесными 

комментариями

, пусть минимальными, в частности, указывать, что это за зверь. 

 

Перейдем к рассмотрению чуть более замысловатых уравнений: 

Пример 20 

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения 

3

2

2







xy

y

x

, 

1

)

1

(





y

 

 

Решение: в данном уравнении слагаемые снова не на своих местах, поэтому 

сначала максимально близко приближаем диффур к виду 

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y









: 

3

2

2







xy

y

x

 

 

Что в нём особенного? Во-первых, в правой части у нас константа 

3

)

(



x

q

. Это 

допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель 

2

x

, который зависит только 

от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает 

быть линейным. 

 

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом 

начале. Проведем замену 

v

u

v

u

y

uv

y















: 

3

2

)

(

2











xuv

v

u

v

u

x

 

 

Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит 

каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам 

слагаемых недоступно: 

 

 

Вот теперь проводим вынесение множителя скобки: 

 

 

Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию  u , 

но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим. 

 

Составим и решим систему: 

















3

0

2

2

v

u

x

v

v

x

 

 

 

 

 

Из первого уравнения найдем  v : 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

33 

2

ln

ln

ln

2

ln

2

2

x

v

x

v

x

dx

v

dv

v

dx

dv

x













 

2

x

v 

 – подставим во второе уравнение системы: 

 

3

2

2





 x

u

x

 

4

3

x

dx

du 

 

3

4

1

3

x

C

x

dx

u









 

 

Таким образом, общее решение:  

const

C

x

Cx

x

x

C

uv

y



















 





где

,

1

1

2

2

3

 

 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: 

0

1

1

1

1

1

)

1

(

2



















C

C

C

y

 

 

Ответ: частное решение: 

x

y

1





 – проверка тут чуть ли не устная.  

 

Самостоятельно щёлкаем следующий орешек: 

Пример 21 

Найти частное решение ДУ 

x

e

x

y

x

y

x











2

3

)

1

(

, 

0

)

1

(



y

 

 

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного неоднородного  

уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно 

сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении 

функции  u  (в то время как с нахождением функции  v  обычно проблем не возникает). 

 

Второй момент касается вообще всех диффуров, а именно их «внешнего вида». Он 

зачастую обманчив: 

 

не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным,  

а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы 

 

Ну вот, например: 

2

3

2

2

y

x

xy

y







 …это простое уравнение? Как вы думаете? 

 

Вперёд! – оно нас уже заждалось =) 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

34 

1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли 

 

Не путать с методом Бернулли. Данное уравнение по общей структуре напоминает 

линейное неоднородное уравнение первого порядка: 

 

n

y

x

q

y

x

p

y

)

(

)

(









 с теми же частными разновидностями: 

)

(x

p

 или 

)

(x

q

 может 

быть числом, а у производной может присутствовать множитель 

)

(x

r

. 

 

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, 

является наличие функции «игрек» в степени «эн»: 

n

y

,  при этом 

1



n

 (иначе получится 

уравнение с разделяющимися переменными

) и 

0



n

 (т.к. получится как раз 

линейное 

неоднородное ДУ

).  

 

Степень  n  может быть не только положительной, но и отрицательной, например: 

y

y

1

1





, а также обыкновенной дробью, например: 

y

y 

2

1

. 

 

Если 

0



n

, то уравнение Бернулли имеет очевидное решение 

0



y

, которое 

«теряется» в ходе использования типового алгоритма: 

Пример 22 

Найти  частное  решение    дифференциального  уравнения,  соответствующее 

заданному начальному условию. 

2

3

2

2

y

x

xy

y







, 

1

)

0

(



y

 

 

И вопрос на засыпку: с чего начать решение? С проверки нельзя ли 

разделить 

переменные

! Нельзя. Так же очевидно, что уравнение не 

однородно

, и по причине 

множителя 

2

y

 – не 

линейно

. Данный диффур имеет «классический» вид 

n

y

x

q

y

x

p

y

)

(

)

(







 уравнения Бернулли.  

 

Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?

 

 

Уравнение Бернулли сводится к 

линейному неоднородному уравнению

 с 

помощью замены, и алгоритм решения незамысловат: 

 

На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого 

сбрасываем 

2

y

 в низ левой части и проводим почленное деление: 

3

2

2

2

x

y

xy

y







 – вот здесь-то как раз и теряется решение 

0



y

. Но в нашем случае 

это не имеет особого значения, поскольку требуется решить задачу Коши: 

3

2

2

2

x

y

x

y

y







 

 

Теперь надо избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

35 

Для этого проводим замену: 

)

(

1

x

z

y



, то есть меняем дробь с «игреком» на 

функцию «зет». Найдём её производную, распишу очень подробно: 

2

2

1

)

(

1

y

y

y

y

y

y

z







































, откуда выразим 

z

y

y









2

 

 

Таким образом, в результате замены 

z

y

y

z

y











2

,

1

 уравнение 

3

2

2

x

y

x

y

y







 

превращается в уравнение: 

3

2

2

x

xz

z









 

из эстетических соображений сменим знаки: 

3

2

2

x

xz

z









 

 

В результате получено 

линейное неоднородное уравнение

 с той лишь разницей, что 

вместо привычного «игрека» у нас буква «зет». Дальше алгоритм работает по накатанной 

колее, проводим стандартную замену 

v

u

v

u

z

uv

z















: 

3

3

2

)

2

(

2

2

x

xv

v

u

v

u

x

xuv

v

u

v

u

























 

 

Составим и решим систему: 



















3

2

0

2

x

v

u

xv

v

 

 

Из первого уравнения найдем  v : 

2

ln

2

2

x

v

xdx

v

dv

xv

dx

dv

















 

2

x

e

v





 – подставляем найденную функцию во второе уравнение: 

 

3

2

2

x

e

u

x











 

2

3

2

x

e

x

dx

du





 

 

(*)

2

2

3









dx

e

x

u

x

 

 

Этот интеграл берётся по частям, и вместо занятых  u  и  v , я буду  использовать 

буквы «а» и «бэ»: 

2

2

2

2

)

(

2

2

2

2

2

x

x

x

x

e

x

d

e

dx

xe

b

dx

xe

db

xdx

da

x

a





























 

 

и по формуле: 

 

...

2

(*)

2

2

2

2

2















x

x

x

e

x

dx

xe

e

x

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

36 

Таким образом: 

1

)

(

2

2

2

2

2

2























x

Ce

e

C

e

e

x

uv

z

x

x

x

x

 

 

Но это ещё далеко не всё, вспоминаем, что 

z

y



1

 и выполняем обратную замену: 

 

const

C

x

Ce

z

y

x













где

,

1

1

1

2

2

 – общее решение. 

 

Обратите внимание, что решение 

0



y

 в это семейство не вошло, но сейчас 

данный факт не актуален, поскольку нам нужно решить задачу Коши, а именно найти 

частное решение, удовлетворяющее начальному условию 

1

)

0

(



y

: 

0

1

1

1

1

0

1

)

0

(

2

0

















С

C

Ce

y

 

 

Ответ: частное решение: 

2

1

1

x

y





 

 

Проверка здесь весьма простА: 

 

1) 

1

0

1

1

)

0

(

2







y

 – начальное условие выполнено. 

2) Найдём 

2

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

2

)

2

0

(

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

y















































 и 

подставим 

2

2

2

)

1

(

2

,

1

1

x

x

y

x

y











 в исходное уравнение 

2

3

2

2

y

x

xy

y







: 

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

3

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

2

1

1

2

1

1

2

)

1

(

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x















































 

2

2

3

2

2

3

)

1

(

2

)

1

(

2

x

x

x

x







 – верное равенство. 

 

Таким образом, частное решение найдено верно. При желании можно проверить и 

общее решение – с более громоздкими, но не сверхъестественными выкладками. 

 

Самостоятельно: 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: