чего и вам советую делать

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

14 

Пример 7 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

1

(

)

(

2

4











y

x

y

y

xy

 

 

Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем 

переменные: 

1

1

2

)

1

(

)

1

(

2

4

4



















x

xdx

y

ydy

y

x

dx

dy

y

x

 

 

Интегрируем: 

C

x

x

y

arctg

dx

x

y

y

d

x

dx

x

y

ydy





















































1

ln

)

(

1

1

1

1

)

(

)

(

1

)

1

1

(

1

2

2

2

2

2

4

 

 

Константу  C  тут не стОит определять под логарифм, поскольку ничего путного из 

этого не получится. 

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

C

x

x

y

arctg











где

,

1

ln

)

(

2

 

 

Обратите внимание, что условие этой задачи не требуется проверки. Но я 

настоятельно рекомендую по возможности ВСЕГДА проверять решение.

 Ну а зачем 

пропускать возможные ошибки, там, где их можно 100%-но не пропустить?! 

 

Поэтому дифференцируем полученный ответ: 

0

1

1

2

0

1

1

1

)

(

1

2

0

1

1

1

)

(

)

(

1

1

0

)

1

(ln

)

(

)

)

(

(

)

(

)

1

ln

)

(

(

4

2

2

2

2

2

2

2

































































x

x

y

y

y

x

x

y

y

y

x

y

y

x

x

y

arctg

C

x

x

y

arctg

 

Приводим дроби к общему знаменателю, после чего знаменатель испаряется 

(можно сказать, что мы «поднимаем» его наверх правой части и умножаем на ноль): 

0

)

1

(

)

(

2

0

)

1

)(

1

(

)

1

(

)

1

(

2

4

4

4

























y

x

y

y

xy

x

y

y

x

x

y

y

 

 

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден 

правильно. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

15 

Пример 8 

 Найти частное решение ДУ. 

0

cos

sin

cos

sin

2

2











x

x

y

y

y

,  

0

2

















y

 

 

Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь 

получится общий интеграл, и, точнее говоря, нужно исхитриться найти не частное 

решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока. 

 

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко 

вырисовываются не самые простые интегралы. И вот как раз парочка таких примеров для 

самостоятельного решения. Рекомендую прорешать эти уравнения, независимо от 

уровня вашей  подготовки – это позволит размяться и вспомнить основные методы 

нахождения интегралов: 

Пример 9 

Решить дифференциальные уравнения 

 

а) 

0

)

1

(







dx

e

ydy

e

y

x

; 

 

б) 

)

1

(

3

2

y

x

y

x

y











 

 

Если на чём-то появился «затык», то не теряйте время и обращайтесь к образцу, где 

я проставил ссылки на нужные темы и уроки. Кроме того, «внешний вид» ваших ответов 

может отличаться от «внешнего вида» моих ответов – как отмечалось выше, общий 

интеграл можно записать не единственным способом. 

 

И возьмите на заметку важную вещь:

 

 

Если ваш ответ не совпал с заранее известным ответом (задачника, например), 

или вам выдала «не тот ответ» какая-нибудь программа – то это ещё не значит, что ваш 

ответ неправильный! Особенно часто мои читатели приводят аргумент «но программа 

же не тот ответ выдаёт!». Да, возможно, читатель и в самом деле ошибся, но здесь я 

всегда замечаю следующее: 1) программу мог написать «на коленке» какой-нибудь 

студент, 2) и даже в «серьёзных» программах бывают ошибки, а в задачниках – опечатки 

(и довольно часто), 3) зачастую машина решит вам так – как не решит ни один человек :) – 

наверное, все сталкивались с забавным автоматическим переводом текста на другой язык, 

вот и здесь так же. 

 

Поэтому 

 

более высокий приоритет (и авторитет) имеет ручная проверка!  

 

Да, конечно, иногда встречаются «тяжёлые случаи», но это скорее исключение, чем 

правило. Но я-то не буду томить вас долгими ожиданиями – прямо сейчас, с энтузиазмом 

и восторженными глазами, мы перейдём к изучению следующего параграфа =) 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

16 

1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 

 

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка от других 

типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере: 

Пример 10 

Решить дифференциальное уравнение 

x

y

xe

y

y

x







 

 

Однако не спешим. 

Что в первую очередь следует проанализировать

 при 

решении любого дифференциального уравнения первого порядка? Правильно – нужно 

проверить, а нельзя ли в нём 

разделить переменные

?   

 

Попробуйте мысленно или на черновике попереносить слагаемые из части в часть, 

повыносить множители за скобки, поперекидывать их по правилу пропорции…. После 

непродолжительных и тщетных попыток, вы придёте к выводу, что «школьными» 

действиями переменные тут разделить нельзя. Возникает вопрос – как же решить этот 

диффур? 

 

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка 

несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: 

 

В исходное уравнение 

x

y

xe

y

y

x







:  

 

вместо  x  подставляем  x



;  

вместо 

y

 подставляем 

y

 ;  

производную не трогаем: 

 

x

y

xe

y

y

x



















 

 

Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в 

результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное 

уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным. 

 

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: 

x

y

xe

y

y

x















 

 

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки: 

)

(

x

y

xe

y

y

x













 

 

В результате параметр исчез как сон, как утренний туман: 

x

y

xe

y

y

x







  – и мы получили исходное уравнение. 

 

Вывод: данное уравнение является однородным.  

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

17 

Как решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка?

 

 

У меня очень хорошая новость. Абсолютно все такие уравнения можно решить с 

помощью одной-единственной (!) стандартной замены. 

 

Функцию «игрек» нужно заменить произведением некоторой функции  t  (тоже 

зависящей от «икс») и «икса»: 

 

x

x

t

y





)

(

, или короче: 

tx

y 

 

 

Используя правило дифференцирования произведения, найдём производную: 

t

x

t

t

x

t

x

t

x

t

tx

y



































1

)

(

)

(

)

(

 

 

Теперь подставляем 

tx

y 

 и 

t

x

t

y









 в исходное уравнение 

x

y

xe

y

y

x







: 

 

x

tx

xe

tx

t

x

t

x









)

(

 

 

Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы 

гарантировано получим 

уравнение с разделяющимися переменными

.  

 

ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:)

tx

y 

 и, соответственно,

t

x

t

y









. 

 

После подстановки проводим максимальные упрощения: 

)

(

)

(

t

e

t

x

t

x

t

x









 

t

e

t

t

x

t









 

t

e

x

t







 

 

В результате получено уравнение с разделяющимися  переменными. Далее 

алгоритм работает по накатанной колее. Поскольку   t  – это функция, зависящая от «икс», 

то её производную можно записать стандартной дробью 

dx

dt

t 



. 

Таким образом, наше уравнение приобретает вид: 

t

e

dx

dt

x





 

 

Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в 

правой части – только «иксы»: 

x

dx

dt

e

t







 

 

Переменные разделены, интегрируем: 











x

dx

dt

e

t

 

 

Согласно моему первому техническому совету, константу «оформляем» под 

логарифм: 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

18 

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, 

она тоже стандартна и единственна: 

Если 

tx

y 

, то 

x

y

t 

 

 

 

В данном случае получаем:  

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

Cx

e

x

y







где

,

ln

 

 

Общее решение однородного уравнения почти всегда записывают в виде 

общего интеграла.

 Дело в том, что в большинстве случаев невозможно выразить «игрек» 

в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего получается 

громоздкий и корявый ответ. 

 

В нашем примере общее решение выразить можно, навешиваем логарифмы на обе 

части общего интеграла: 

Cx

x

y

Cx

e

x

y

ln

ln

ln

ln

ln









 

Cx

x

y

ln

ln





 –  ну, ещё куда ни шло, хотя всё равно смотрится кривовато. 

 

Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать 

общий интеграл: 





x

x

y

x

y

e

C

Сx

x

y

x

y

e

Cx

Сx

x

y

e

Cx

e

x

y

x

y

x

y

x

y

1

)

(

1

)

(

)

(

1

ln

2

2







































































 

Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на 

2

x

: 

x

y

x

y

x

y

e

x

y

x

y

x

y

x

y

e

x

x

x

x

y

x

y

e







































)

(

1

)

(

2

2

2

 

 

в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение 

найдено правильно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

19 

Кстати, в разобранном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: 

Cx

e

x

y

ln





. Это не ошибка, но лучше таки представить его в виде 

C

y

x

F



)

;

(

. И для 

этого сразу после интегрирования, константу следовало записать без логарифма: 

С

x

e

t







ln

 (вот и исключение из правила) 

и после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: 

const

C

С

x

e

x

y









где

,

ln

 

 

Следует отметить, что многие составители задачников и методичек прямо 

указывают на соблюдение «приличий», и я – не исключение:) 

Пример 11 

Проверить на однородность и решить дифференциальное уравнение 

y

y

x

y

x









2

2

3

2

, ответ представить в виде 

C

y

x

F



)

;

(

 

 

Проверку проведёте на досуге, т.к. здесь она достаточно сложнА, и я даже не стал 

её приводить, а то вы больше придёте к такому маньяку :)  

 

Это вообще неприятная особенность однородных диффуров – проверять их общие 

интегралы обычно трудно, для этого необходима весьма и весьма приличная техника 

дифференцирования. Но по возможности всегда проверяйте! 

 

А теперь обещанный важный момент, о котором я упомянул в самом начале книги, 

выделю жирными чёрными буквами: 

 

Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в 

знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! 

 

Так, в процессе решения уравнения 

y

y

x





 (

Пример 1

) «игрек» оказывается в 

знаменателе: 

x

dx

y

dy  , но 

0



y

, очевидно, является решением ДУ и в результате 

неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что 

оно вошло в общее решение 

Cx

y 

 при нулевом значении константы. Сброс «икса» в 

знаменатель тоже обошелся без последствий, т.к. 

0



x

 не является решением уравнения.  

 

Аналогичная история с уравнением 

0

)

1

2

(









сtgx

y

y

 

Пример 3

, в ходе решения 

которого мы «сбросили» 

1

2 

y

 в знаменатель. Строго говоря, следовало здесь проверить, 

а не является ли 

2

1





y

 решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё 

обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл 

x

C

y

sin

1

2





 при 

0



C

. 

 

И если с «разделяющимися» уравнениями такое «прокатывает», то с однородными 

и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

20 

Проанализируем уже прорешанные задачи этого параграфа: в 

Пример 10

 был 

«сброс» икса, однако не является решением уравнения. А вот в 

Пример 11

 мы разделили 

на 

2

2

2

3

3

x

y

t







, но это тоже «сошло с рук»: поскольку, то решения потеряться не 

могли, их тут попросту нет. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и 

не факт, что на практике попадутся именно они: 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: