Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

37 

Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до 

неузнаваемости, например, то же уравнение

0

1

2











y

x

y

y

: 

0

)

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

1

2

2

2

2

2





































dx

y

xy

ydx

dy

x

dx

x

y

ydx

dy

x

dx

y

x

ydx

dy

y

x

y

dx

dy

 

 

И поэтому, 

если предложенное вам уравнение «по виду» не подпадает ни под 

один распространённый тип

, то имеет смысла пораскрывать скобки, попереставлять 

слагаемые и т.д. – глядишь, и вообще переменные разделить удастся! 

 

А теперь предлагаю вашему вниманию ещё один «триллер»: 

Пример 24 

Найти решение ДУ 

y

x

x

y

y

2

2







, соответствующее начальному условию 

1

)

1

(



y

 

 

Корни, куда же без них 

 

Решение: данное ДУ имеет «классический» вид 

n

y

x

q

y

x

p

y

)

(

)

(









 уравнения 

Бернулли с той особенностью, что множитель 

n

y

 «замаскирован» под корень. 

 

Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на  y : 

x

x

y

y

y

y

y

x

y

x

y

y

2

2

2

2













 

здесь потеряно тривиальное решение 

0



y

, но оно нас сильно не интересует. 

 

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: 

 

 

и из вышесказанного следует замена: 

z

y   

 

Найдем производную: 

y

y

y

z













2

1

)

(

, откуда выразим:  

z

y

y







2  

 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

38 

Таким образом, получаем уравнение: 

x

x

z

z

2

2

2







 

каждое слагаемое которого можно «безболезненно» разделить на «двойку»: 

x

x

z

z







 

 

И чтобы вы не заскучали, я расскажу о Методе вариации произвольной 

постоянной. Да не пугайтесь так! – это прикольнее замены 

uv

z 

 :) 

 

1) Сначала найдём общее решение соответствующего линейного однородного 

уравнения. Грубо говоря, это то же уравнение с «отброшенным» членом 

)

(x

q

: 

0







x

z

z

 

Данное ДУ допускает разделение переменных, и мы без труда отыскиваем его 

общее решение: 

...

...

ln

~

ln

ln

ln

















z

z

C

x

z

x

dx

z

dz

x

z

dx

dz

 

 

2) Далее вместо константы записываем пока ещё неизвестную функцию: 

x

x

u

z





)

(

  

(это и называется варьировать постоянную), находим производную: 

u

x

u

x

u

x

u

ux

z

























)

(

)

(

)

(

 и подставляем 

u

x

u

z

ux

z









 ,

 в неоднородное 

уравнение 

x

x

z

z







: 

x

x

ux

u

x

u









 

Если всё сделано правильно, то два слагаемых должны испариться, как оно и 

происходит в нашем случае: 

x

x

u

x

u

u

x

u













 

тут ещё и «иксы» исчезают: 

1



dx

du

 

в результате получилось примитивное уравнение с очевидным решением: 

C

x

u

dx

du











 

 

Теперь вспоминаем, что 

x

C

x

ux

z

)

( 





, и в результате обратной замены 

y

z 

 

получаем общий интеграл 

x

C

x

y







)

(

, из которого легко выразить и общее решение: 

const

C

x

C

x

x

C

x

y















где

,

)

(

)

)

((

2

2

2

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

39 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 

1

)

1

(



y

: 

1

1

)

1

(

)

1

(

2









C

y

 

…вот тебе и раз. Уравнение 

1

)

1

(

2



 C

 имеет два корня 

0

,

2







C

C

 и в 

результате получаются… два частных решения?  

 

Нет! Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за 

чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие 

1

,

1



 y

x

 лучше 

подставить непосредственно в общий интеграл 

x

C

x

y







)

(

: 

1

)

1

(

1







C

 

0

1

1









C

C

 – и помещаем этот ноль уже в общее решение 

2

2

)

(

x

C

x

y







: 

4

2

2

)

0

(

x

x

x

y









 

 

Легко видеть, что значению 

2





C

 соответствует частный интеграл 

x

x

y







)

2

(

, и он не удовлетворяет начальному условию 

1

)

1

(



y

, ибо 

1

1





. 

 

Вот так-то оно бывает! – в 

однородных уравнениях

 мы «теряли» решения, а здесь 

наоборот – «приобрели». 

 

Ответ: частное решение 

4

x

y 

 – проверку выполните сами, она тут устная. 

 

Но кино ещё не закончилось, и следующий факт должен быть понятен, даже если 

вы не знаете, как выглядит график многочлена 4-й степени. Семейство кривых 

2

2

)

(

x

C

x

y







 (общее решение ДУ) расположено в верхней полуплоскости и касается  

прямой 

0



y

 в каждой её точке. Более того, множество графиков 

2

2

)

(

x

C

x

y







 (при 

всех значениях константы) своими точками касания порождает решение 

0



y

, которое, 

как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло. 

 

Такое необычное решение называют особым решением дифференциального 

уравнения. В общем случае особое решение тоже является кривой, которая огибает 

«основное семейство». В рассмотренном же примере оно представляет собой прямую, 

которая ассоциируется с «подставкой» под графики функций 

2

2

)

(

x

C

x

y







. 

Пример 25 

Решить дифференциальное уравнение 

y

x

y

y

x

2

4 





 

 

После сведения к неоднородному уравнению я использовал метод вариации 

произвольной постоянной, но, разумеется, там годится и замена 

ux

z 

. 

 

Иногда в уравнениях Бернулли встречаются и другие степени «игрека», например:  

3

3

3

y

x

x

y

y







 с заменой  или  

1

2

)

cos

3

2

(

cos

3

2



















y

x

e

x

y

y

x

 с заменой. Решения 

эти диффуров можно найти в 

соответствующей статье

 сайта, но они не столь актуальны, 

поскольку есть более насущный материал: 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

40 

1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 

 

Сначала быстренько вспомним, что такое 

частные производные

 и полный 

дифференциал функции двух переменных. Рассмотрим простую функцию: 

y

x

xy

y

x

y

x

F

z













2

2

)

;

(

 

 

и найдём её частные производные первого порядка: 

y

F

F

x

F

F

y

x

















,

 – в диффурах 

больше «в почёте» их дробные обозначения. Повторяем основное правило: 

 

– если мы берём производную по «икс», то «игрек» считается константой: 

1

2

0

1

0

2

)

(

2

2

































y

x

y

x

y

x

xy

y

x

x

F

x

 

 

– если мы берём производную по «игрек», то константой уже считается «икс»: 

1

2

1

0

2

0

)

(

2

2

































x

y

x

y

y

x

xy

y

x

y

F

y

 

 

Полный дифференциал имеет вид: 

dy

y

F

dx

x

F

dF













, в данном случае: 

dy

x

y

dx

y

x

dF

)

1

2

(

)

1

2

(













 

Пример 26 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

1

2

(

)

1

2

(













dy

x

y

dx

y

x

 

 

Не ожидали? =) 

 

То есть, данное дифференциальное уравнение является полным дифференциалом 

функции 

C

y

x

xy

y

x

y

x

F













2

2

)

;

(

 – единственное, к ней нужно ещё приписать 

константу. Отсюда и название уравнения. 

 

Как решить диффур в полных дифференциалах?

 

 

Очевидно, что нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы 

восстановить исходную функцию (общий интеграл). Не так давно я что-то там 

дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование.  

 

А теперь, пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. 

Ведь когда нам предложено произвольное дифференциальное уравнение, то мы ещё не 

знаем о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И поэтому сначала имеет 

смысл «покрутить-повертеть» исходное уравнение: 

0

)

1

2

(

)

1

2

(













dy

x

y

dx

y

x

 

 

Вдруг тут можно 

разделить переменные

? Или уравнение является 

однородным

? А 

может здесь «спрятан» какой-то другой тип уравнения? – не так давно я зашифровал в 

такой форме даже 

уравнение Бернулли

!  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

41 

И только после этих безуспешных попыток проверяем: а не является ли данное 

ДУ уравнением в полных дифференциалах? Чтобы выполнить эту проверку, выпишем 

из уравнения 

0

)

1

2

(

)

1

2

(













dy

x

y

dx

y

x

 множители, находящиеся при 

дифференциалах: 

1

2

,

1

2













x

y

Q

y

x

P

 – строго обозначая их буквами «пэ» и «ку», и 

строго в таком порядке! Это стандарт. 

 

Теперь найдём следующие частные производные: 

1

0

1

0

)

1

2

(

1

0

1

0

)

1

2

(













































x

y

x

y

x

Q

y

x

y

P

 

 

Если 

x

Q

y

P











 (наш случай), то данное ДУ является полным дифференциалом 

dy

F

dx

F

dF

y

x









 некоторой функции 

F

 (а равенство вышенайденных производных – 

есть ни что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка: 

yx

xy

F

F







). 

 

Ну а коль скоро уравнение 

0

)

1

2

(

)

1

2

(













dy

x

y

dx

y

x

 имеет вид 

0













dy

y

F

dx

x

F

, то: 

1

2











y

x

x

F

 

1

2











x

y

y

F

 

 

Таким образом, нам известны две частные производные, и задача состоит в том, 

чтобы восстановить общий интеграл 

0

)

;

;

(



С

y

x

F

. Существуют два зеркальных способа 

решения, и мы пойдём более привычным путём, и именно начнём с «иксовой» 

производной 

1

2











y

x

x

F

. Нижнюю производную 

1

2











x

y

y

F

 пока запишем на 

листочек и спрячем в карман. Да-да – 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: