Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

42 

Правильно ли найден интеграл? Выполним проверку, т.е. возьмём частную 

производную по «икс»: 

1

2

0

1

2

)

)

(

(

2



























y

x

y

x

y

x

xy

x

F

x

x



 – получена исходная 

подынтегральная функция, в чём и требовалось убедиться 

 

Примечание

: надеюсь всем, понятно, почему 

0

)

)

(

(





x

y



 – функция 

)

( y



 зависит 

только от «игрек», а, значит, является константой. 

 

Действие второе. Берем «недоделанный» результат 

)

(

2

y

x

xy

x

F











 и 

дифференцируем его по «игрек»: 

)

(

)

(

0

0

)

)

(

(

2

y

x

y

x

y

x

xy

x

y

F

y

y

y







































 

 

Функцию 

)

( y



 мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, 

поэтому запись 

)

( y

y





 – совершенно законна. 

 

Действие третье. Перепишем результат предыдущего пункта: 

)

( y

x

y

F

y















 и  

достаем из широких штанин листочек с производной: 

1

2











x

y

y

F

 

 

Приравниваем одно с другим: 

1

2

)

(













x

y

y

x

y



 

и уничтожаем всё, что можно уничтожить: 

1

2

)

(







y

y

y



 

 

Находим функцию 

)

( y



, для этого нужно взять интеграл: 

C

y

y

dy

y

y













2

)

1

2

(

)

(



 

 

Заключительный аккорд: подставим найденную функцию 

C

y

y

y







2

)

(



 в 

«недоделанный» результат 

)

(

2

y

x

xy

x

F











: 

C

y

y

x

xy

x

F













2

2

 

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

С

y

x

xy

y

x















где

,

0

2

2

 

 

Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные 

первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться 

исходное дифференциальное уравнение. Оно же получится и в результате прямого 

дифференцирования: 

0

)

1

2

(

)

1

2

(

0

)

1

2

(

)

1

2

(

0

)

1

2

(

)

1

2

(

0

0

1

2

2

)

0

(

)

(

2

2











































































dx

y

x

dy

x

y

y

x

dx

dy

x

y

y

x

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

С

y

x

xy

y

x

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

43 

Проделаем всё то же самое, только короче: 

Пример 27 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

4

6

(

)

4

3

3

(

2

2











dy

y

xy

dx

x

y

x

 

 

Решение: после неутешительного анализа на «другие типы», проверим, не является 

ли данный диффур уравнением в полным дифференциалах. Выписываем множители при 

дифференциалах: 

y

xy

y

xy

Q

x

y

x

P

4

6

)

4

6

(

,

4

3

3

2

2



















 

 

Внимание!

 Не теряем «минус» при записи 

Q

! 

 

Найдём частные производные: 

y

y

y

xy

x

Q

y

y

x

y

x

y

P

x

y

6

0

6

)

4

6

(

6

0

6

0

)

4

3

3

(

2

2













































 

 

x

Q

y

P











, значит, уравнение 

0

)

4

6

(

)

4

3

3

(

2

2











dy

y

xy

dx

x

y

x

 является полным 

дифференциалом некоторой функции и имеет вид: 

0













dy

y

F

dx

x

F

 

 

В данном случае: 

x

y

x

x

F

4

3

3

2

2











 – будем работать с этой производной. 

y

xy

y

F

4

6











 – про эту производную пока забываем. 

 

1) Если 

x

y

x

x

F

4

3

3

2

2











, то: 

...

3

3

3

4

3

3

)

4

3

3

(

2

3

2

2

2

2































y

x

xdx

dx

y

dx

x

dx

x

y

x

F

 

где 

)

( y



 – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек». 

 

Напоминаю, что когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается 

константой и выносится за значок интеграла. 

 

2) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта 

)

(

2

3

2

2

3

y

x

xy

x

F











 

и дифференцируем его по «игрек»: 

...

6

0

)

)

(

2

3

(

2

2

3





















xy

y

x

xy

x

y

F

y



 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

44 

3) Переписываем найденный результат: 

)

(

6

y

xy

y

F

y















 и вспоминаем про 

«забытую» производную:  

y

xy

y

F

4

6











 

 

Приравниваем и сокращаем: 

y

y

y

xy

y

xy

y

y

4

)

(

4

6

)

(

6























 

 

Примечание

: на практике решение обычно записывают короче, объединяя пункты 

№№2,3: 

)...

(

0

6

0

)

)

(

2

3

(

2

2

3

y

xy

y

x

xy

x

y

F

y

y





























, то есть сразу же после 

нахождения производной приравнивается «забытая» производная. В последнем 

равенстве 

y

xy

y

xy

y

4

6

)

(

6















 проводятся сокращения, откуда следует: 

y

y

y

4

)

(









. 

 

Восстанавливаем функцию 

)

( y



 интегрированием по «игрек»: 

C

y

C

y

ydy

y





















2

2

2

2

4

4

)

(



 

 

В «недоделанный» результат 

)

(

2

3

2

2

3

y

x

xy

x

F











 пункта №1  подставляем 

найденную функцию 

C

y

y







2

2

)

(



. 

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

C

y

x

xy

x













где

,

0

2

2

3

2

2

2

3

 

 

Константу можно записывать и в правой части, но тогда возникает заморочка с её 

переобозначением, и поэтому я лично привык оставлять ответ именно в таком виде. 

 

Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка: 

...

3

3

)

2

2

3

(

2

2

2

2

2

3























y

x

C

y

x

xy

x

x

F

x

 

)

4

6

(

4

6

0

4

0

6

0

)

2

2

3

(

2

2

2

3

y

xy

y

xy

y

xy

C

y

x

xy

x

y

F

y







































 

 

Составим дифференциальное уравнение 

0













dy

y

F

dx

x

F

: 

0

)

4

6

(

)

4

3

3

(

2

2











dy

y

xy

dx

x

y

x

 

 

Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно. 

 

Второй способ состоит в дифференцировании неявно заданной функции: 

const

C

C

y

x

xy

x













где

,

0

2

2

3

2

2

2

3

 – с тем же итоговым результатом. 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

45 

По «горячим следам»

 решаем самостоятельно!  

Пример 28 

0

)

6

6

(

)

3

3

6

(

2

2











dy

xy

x

dx

y

x

y

 и выполнить проверку. 

 

Образец решения я записал максимально коротко и без пунктов, то есть приблизил 

его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике. 

 

Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим ещё пару примеров. 

Пример 29 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. 

0

1

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2











x

dy

e

x

dx

e

x

y

y

 

 

…ну а кому сейчас легко?  

 

Решение: после предварительного анализа, проверим, является ли данное ДУ 

уравнением в полных дифференциалах. Выпишем члены при дифференциалах: 

2

2

2

1

,

)

1

(

)

1

(

2

x

e

Q

x

e

x

P

y

y











 

 

и найдём частные производные 

...

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2









































x

x

e

x

x

x

e

x

y

P

y

y

y

y

 

– обратите внимание, как за знак производной выносятся целые выражения с 

«мёртвыми» переменными: 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

)

1

(

2

)

2

0

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

)

1

((

1

x

xe

x

x

e

x

x

e

x

e

x

e

x

Q

y

y

x

y

x

y

x

y

































































 

 

x

Q

y

P











, значит, уравнение 

0

1

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2











x

dy

e

x

dx

e

x

y

y

 является полным 

дифференциалом некоторой функции 

F

 и имеет вид: 

0













dy

y

F

dx

x

F

 

 

То есть, в нашем распоряжении оказываются частные производные первого 

порядка: 

2

2

)

1

(

)

1

(

2

x

e

x

x

F

y











 – работаем с этой производной 

2

1 x

e

y

F

y









 – про эту производную пока забываем 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

46 

Если 

2

2

)

1

(

)

1

(

2

x

e

x

x

F

y











, то: 

...

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2





















x

x

d

e

x

dx

e

x

F

y

y

 

Здесь 

)

1

(

y

e



 является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам 

интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала. 

 

Находим частную производную по «игрек»: 

2

2

2

1

)

(

1

)

(

1

1

x

e

y

x

e

y

x

e

y

F

y

y

y

y

y











































 

Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения 

производной сразу приравнивается «забытая» производная 

2

1 x

e

y

F

y









. 

 

Из последнего равенства 

2

2

1

)

(

1

x

e

y

x

e

y

y

y













 следует, что 

0

)

(



 y

y



, это 

простейший интеграл: 

const

C

dy

y









0

)

(



 

 

Подставляем найденную функцию 

C

y 

)

(



 в «недоделанный» результат 

)

(

1

1

2

y

x

e

F

y











. 

 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: