Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

66 

Надеюсь, все уже приноровились применять правило 

v

u

v

u

uv









)

(

 устно: 

x

x

x

x

e

Ax

Ax

e

Ax

Axe

e

Ax

y

3

2

3

2

3

3

2

)

2

3

(

3

2

)

(

~















 

...

)

2

6

(

)

)

2

3

((

~

3

3

2















x

x

e

A

Ax

e

Ax

Ax

y

 

 

Подставим 

y

~

, 

y 

~

 и 

y 

~

 в левую часть исходного уравнения 

x

e

y

y

y

3

9

6











 и 

максимально упростим выражение: 























x

x

x

e

Ax

e

Ax

Ax

e

A

Ax

Ax

y

y

y

3

2

3

2

3

2

9

)

2

3

(

6

)

2

12

9

(

~

9

~

6

~

 

x

x

x

e

Ae

e

Ax

Ax

Ax

Ax

3

3

3

2

2

2

)

9

12

...

12

9

(

















 – после упрощений 

приравниваем результат к правой части. 

 

Из последнего равенства 

x

x

e

Ae

3

3

2



 следует, что: 

2

1

1

2







A

A

  – подставляем найденное значение в подбор 

x

e

Ax

y

3

2

~ 

: 

x

e

x

y

3

2

2

1

~ 

. Ну а проверка нас пока подождёт ;) 

 

Возможно, у вас возник вопрос: а что произойдет, если мы будем искать 

частное решение в некорректном виде? Вот только что мы его искали в виде 

x

e

Ax

y

3

2

~ 

, а 

что будет, если попробовать искать частное решение в «первоначальном» виде 

x

Ae

y

3

~ 

?  

Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные 

y

y



 ~

,

~

, провести 

подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится 

красивого финального равенства 

x

x

e

Ae

3

3

2



, грубо говоря, «ничего не сойдётся»: 

x

x

x

Ae

y

Ae

y

Ae

y

3

3

3

9

~

3

~

~











 

подставляем эти штуки в левую часть диффура: 

0

9

3

6

9

~

9

~

6

~

3

3

3



















x

x

x

Ae

Ae

Ae

y

y

y

 – после чего сократилось вообще ВСЁ, и 

поэтому в конце мы не можем приписать правую часть неоднородного уравнения, ибо:  

 

Таким образом, попытка подобрать частное решение в виде 

x

Ae

y

3

~ 

 не увенчалась 

успехом.  

И если вам встретится (или уже встретился) подобный казус, 

то знайте

 – вы 

изначально пытались подобрать частное решение НЕ В ТОМ виде. 

 

Собираем камни: 

 

3) 

x

x

x

e

x

xe

C

e

C

y

Y

y

3

2

3

2

3

1

2

1

~











–  общее решение неоднородного уравнения, 

которое можно записать более стильно: 

 

Ответ: 

const

C

C

e

C

x

C

x

y

x





















2

1

3

1

2

2

,

где

,

2

 

 

Прямо таки маленькое математическое событие под названием «Воссоединение 

членов многочлена» =) 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

67 

Переходим к следующему типовому случаю и заодно вспомним задачу Коши: 

Пример 50 

Найти частное решение уравнения 

x

xe

y

y

2

4 





, удовлетворяющее начальным 

условиям 

2

)

0

(

,

16

1

)

0

(









y

y

 

 

Решение начинается тривиально. Найдём общее решение соответствующего 

однородного уравнения: 

0

4

0

4

2













y

y

 

i

2

2

,

1







  – получены сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому 

общее решение:  

x

C

x

C

Y

2

sin

2

cos

2

1





. 

 

Подбираем частное решение 

y

~

. Поскольку в правой части неоднородного 

уравнения 

x

xe

y

y

2

4 





 находится многочлен 1-й степени, умноженный на экспоненту, 

то в качестве первоначальной версии подбора рассматриваем 

x

e

B

Ax

y

2

)

(

~





, 

 

 

Теперь смотрим на нашу «заготовку» 

x

x

Be

Axe

y

2

2

~





 и на общее решение 

x

C

x

C

Y

2

sin

2

cos

2

1





. В общем решении НЕТ слагаемых вида 

x

e

С

2

*

 и 

x

xe

С

2

*

, и поэтому 

домножать 

x

e

B

Ax

y

2

)

(

~





 на «икс» НЕ НАДО. Таким образом, первоначальная версия 

подбора принимается в качестве рабочего варианта. 

 

Найдём производные:  

x

x

x

x

e

B

A

Ax

e

B

Ax

Ae

e

B

Ax

y

2

2

2

2

)

2

2

(

)

(

2

)

)

((

~





















 

...

2

)

)

2

2

((

~

2

2















x

x

Ae

e

B

A

Ax

y

 

 

И подставим 

y

~

 и 

y 

~

 в левую часть неоднородного уравнения: 

















x

x

e

B

Ax

e

B

A

Ax

y

y

2

2

)

(

4

)

4

4

4

(

~

4

~

 

x

x

x

e

x

e

B

A

Ax

e

B

Ax

B

A

Ax

2

2

2

)

0

(

)

8

4

8

(

)

4

4

4

4

4

(





















 – после 

максимальных упрощений приравниваем результат к правой части. Обращаю ваше 

внимание, что 

отсутствующие коэффициенты  многочлена правой части равны нулю.

 

 

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и составляем систему: 













0

8

4

1

8

B

A

A

, из которой следует, что

16

1

0

8

8

1

4

8

1

















B

B

A

 

Таким образом: 

x

x

e

x

e

B

Ax

y

2

2

16

1

8

)

(

~











 







 

 

при этом степени многочлена пропускать нельзя! (в нашем случае – константу)  

То есть, если в правой части ДУ находится  неполный многочлен, например, 

x

e

x

x

f







)

1

(

)

(

2

, то в подборе всё равно прописываем все его степени: 

x

e

C

Bx

Ax

y









)

(

~

2

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

68 

3) Запишем общее решение:  

const

C

C

e

x

x

C

x

C

y

Y

y

x













 











2

1

2

2

1

,

где

,

16

1

8

2

sin

2

cos

~

 

 

4) Найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.  

Сначала применяем к общему решению начальное условие 

16

1

)

0

(





y

: 

16

1

16

1

16

1

8

0

0

1

)

0

(

1

0

2

1



















 











C

e

C

C

y

, откуда сразу получаем 

0

1



C

. 

 

Далее находим производную: и применяем к ней второе начальное условие 

2

)

0

(





y

: 

1

2

2

8

1

8

1

2

16

1

8

0

2

8

1

1

2

0

2

)

0

(

2

2

2

0

0

2

1

























 

















C

C

C

e

e

C

C

y

 

Надо сказать, с константами тут повезло – отыскались сразу. Чаще приходится 

составлять и решать систему двух уравнений. Ну а в том, что пришлось иметь дело с 

дробями, нет ничего необычного – это, скорее, обычное дело   

 

Ответ: частное решение: 

x

e

x

x

y

2

16

1

8

2

sin











 





 

 

Выполним полную проверку. Сначала проверяем, выполняется ли начальное 

условие 

16

1

)

0

(





y

: 

16

1

16

1

0

16

1

8

0

0

sin

)

0

(

0





















 





e

y

 – да, начальное условие выполнено. 

 

Находим производную от ответа: 

x

x

x

e

x

x

e

x

e

x

y

2

2

2

4

2

cos

2

16

1

8

2

8

1

2

cos

2















 









 

и проверяем, выполняется ли начальное условие 

2

)

0

(





y

: 

2

0

1

2

)

0

(











y

 – да, второе начальное условие тоже выполнено. 

 

Берём вторую производную: 

x

x

x

e

x

x

e

x

e

x

y

2

2

2

4

1

2

2

sin

4

4

2

4

1

2

sin

4











 



















 и 

подставляем её вместе с 

x

e

x

x

y

2

16

1

8

2

sin











 





 в левую часть исходного уравнения: 

























 

















 











x

x

e

x

x

e

x

x

y

y

2

2

16

1

8

2

sin

4

4

1

2

2

sin

4

4

 

x

x

x

x

xe

e

x

x

e

x

x

e

x

x

2

2

2

2

4

1

2

4

1

2

4

1

2

2

sin

4

4

1

2

2

sin

4

































 















 







 – в 

результате получена правая часть, в чём и требовалось убедиться. 

 

Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той 

лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий. Но гораздо 

проще, конечно, «быстрая» проверка или, как я её жаргонно называю, проверка-«лайт». 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

69 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: