Обязательно прорешиваем и во всём разбираемся

Обязательно прорешиваем и во всём разбираемся:

 

Пример 51 

Решить задачу Коши, выполнить проверку 

1

)

0

(

,

1

)

0

(

,

)

4

4

(

2

2





















y

y

e

x

y

y

x

 

 

Образец я приблизил к чистовому варианту – примерно так нужно оформлять 

задачу. Не забываем о минимальных словесных комментариях, в которых, к слову, совсем 

не обязательно обосновывать вид, в котором вы подбираете частное решение 

y

~

. 

 

И в заключение параграфа рассмотрим не менее важные уравнения с 

тригонометрическими функциями в правой части: 

Пример 52 

x

x

y

y

y

2

sin

2

cos

21

5

2













 

 

Решение: найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: 

0

5

2











y

y

y

 

Характеристическое уравнение: 

0

5

2

2











 

16

20

4









D

 

2

4

2

2

,

1

i







 

i

2

1

2

,

1







 – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: 

)

2

sin

2

cos

(

2

1

x

C

x

C

e

Y

x





 – внимательно перепроверяем квадратное 

уравнение, и убеждаемся, что ошибок мы не допустили. 

 

Теперь подбираем частное решение 

y

~

 неоднородного уравнения 

x

x

y

y

y

2

sin

2

cos

21

5

2













. 

 

 

Теперь смотрим на общее решение 

x

e

C

x

e

C

Y

x

x

2

sin

2

cos

2

1





, в котором для 

наглядности раскрыты скобки. В общем решении НЕТ слагаемых вида 

x

C

x

C

2

sin

,

2

cos

*

*

*

, 

а значит, первоначальную версию 

x

B

x

A

y

2

sin

2

cos

~





 домножать на «икс» не нужно и 

она принимается в качестве рабочего варианта. 

 

Найдем производные: 

x

B

x

A

x

B

x

A

y

2

cos

2

2

sin

2

)

2

sin

2

cos

(

~















 

x

B

x

A

x

B

x

A

y

2

sin

4

2

cos

4

)

2

cos

2

2

sin

2

(

~

















 

 

Правило: если в правой части находится сумма синуса и косинуса одного и того 

же аргумента (в нашем случае аргумента  x

2 ), ИЛИ одинокий косинус (например, 

x

2

cos

10

 и больше ничего), ИЛИ одинокий синус (например, 

x

2

sin

3

 и больше ничего), то 

во всех трёх случаях в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем сумму 

косинуса и синуса (того же аргумента!) с двумя неопределенными коэффициентами. В 

нашей задаче: 

x

B

x

A

y

2

sin

2

cos

~





, где 

A

 и 

B

 – пока ёще неизвестные коэффициенты. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

70 

Подставим 

y

y



~

,

~

 и 

y 

~

 в левую часть неоднородного уравнения 

x

x

y

y

y

2

sin

2

cos

21

5

2













: 





























)

2

sin

2

cos

(

5

)

2

cos

2

2

sin

2

(

2

2

sin

4

2

cos

4

~

5

~

2

~

x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

A

y

y

y

 

раскрываем скобки: 

















x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

A

2

sin

5

2

cos

5

2

cos

4

2

sin

4

2

sin

4

2

cos

4

 

группируем слагаемые при косинусе и синусе: 













...

2

cos

)

5

...

4

(

x

A

A

 

x

x

x

B

A

x

B

A

2

sin

2

cos

21

2

sin

)

4

(

2

cos

)

4

(













 – и после упрощений в скобках 

приравниваем результат к правой части неоднородного уравнения. 

 

В последнем равенстве приравниваем коэффициенты при соответствующих 

тригонометрических функциях и получаем систему: 

















1

4

21

4

B

A

B

A

 

Систему не возбраняется решить «школьным» методом (выразить, например, из 

второго уравнения 

1

4 





A

B

 – и подставить в первое уравнение), но чаще их решают 

«вышматовским» способом. Умножим второе уравнение на 4 и выполним почленное 

сложение: 

1

14

17

4

4

16

21

4



























A

A

B

A

B

A

 – подставим в любое, например, первое 

уравнение:  

21

4

1



 B

 

5

20

4











B

B

, после чего подставляем найдённые значения 

A

 и 

B

 в наш 

подбор: 

x

x

x

B

x

A

y

2

sin

5

2

cos

2

sin

2

cos

~









 – искомое частное решение. 

 

Выполним «быструю» проверку, а именно, найдём производные: 

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

2

sin

20

2

cos

4

)

2

cos

10

2

sin

2

(

~

2

cos

10

2

sin

2

)

2

sin

5

2

(cos

~































 

и подставим их вместе с 

x

x

y

2

sin

5

2

cos

~





 в левую часть исходного уравнения: 













































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

2

sin

25

2

cos

5

2

cos

20

2

sin

4

2

sin

20

2

cos

4

)

2

sin

5

2

(cos

5

)

2

cos

10

2

sin

2

(

2

2

sin

20

2

cos

4

~

5

~

2

~

 

x

x

2

sin

2

cos

21





 – надо просто быть упрямым и уметь играть на скрипке 

дифференцировать =) 

 

После чего мы практически стопроцентно можем быть уверены в правильности 

итогового результата: 

x

x

x

C

x

C

e

y

Y

y

x

2

sin

5

2

cos

)

2

sin

2

cos

(

~

2

1













 – общее 

решение неоднородного уравнения. 

 

Ответ: 

const

C

C

x

x

x

C

x

C

e

y

x











2

1

2

1

,

где

,

2

sin

5

2

cos

)

2

sin

2

cos

(

 

 

Простенькое уравнение для самостоятельного решения: 

Пример 53 

x

y

y

cos

2







 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

71 

И некоторые более редкие случаи я разберу в обзорном порядке: 

x

x

y

y

3

sin

2

9 





 

 

 

Далее. Поскольку в общем решении 

x

C

x

C

Y

3

sin

3

cos

2

1





 демонстрационного 

уравнения уже есть члены вида 

x

D

x

B

3

sin

,

3

cos

, то ВСЮ первоначальную версию 

подбора следует домножить на «икс»: 





x

Dx

Cx

x

Bx

Ax

x

D

Cx

x

B

Ax

x

y

3

sin

)

(

3

cos

)

(

3

sin

)

(

3

cos

)

(

~

2

2



















 

 

Другой случай – когда в правой части находится экспонента, умноженная на 

тригонометрическую функцию, например: 

x

e

y

y

y

x

2

sin

5

2











 

 

 

Следует отметить, что уже здесь нам «светит» нахождение  громоздких 

производных 

y

y



 ~

,

~

 и весёлая подстановка. Однако это ещё половина счастья. В общем 

решении 

)

2

sin

2

cos

(

2

1

x

C

x

C

e

Y

x





 нашего уравнения уже есть слагаемое вида 

x

Ae

y

x

2

cos

~ 

, и поэтому ВСЯ «заготовка» подбора подлежит домножению на «икс»: 

)

2

sin

2

cos

(

)

2

sin

2

cos

(

~

x

Bx

x

Ax

e

x

B

x

A

e

x

y

x

x











 

 

Но такая жесть, конечно, встречается совсем редко. Впрочем, и она нипочём – с 

хорошими навыками интегрирования и повышенным уровнем внимания. 

 

Иногда в правой части неоднородного уравнения находится «ассорти», например: 

x

e

x

y

y

3

18

3

sin

18

9











 

 

В подобных случаях частное решение неоднородного уравнения удобно разделить 

на две части: и провернуть алгоритм дважды – для подбора 

x

Bx

x

Ax

y

3

sin

3

cos

~

1





 и для 

x

Ce

y

3

2

~ 

, после чего просуммировать найденные решения. 

 

Как быть если в правой части находится какая-либо функция другого вида? Если 

это гиперболический синус или косинус, то раскладываем их на экспоненты; в других же 

случаях применяют универсальный 

метод вариации произвольных постоянных

, но 

такое задание ввиду его громоздкости вряд ли предложат в вашей отчётной работе. 

Правило: если в правой части находится синус, умноженный на многочлен ИЛИ 

косинус (того же аргумента), умноженный на многочлен той же степени (например,  

x

x

3

cos

)

1

( 

), ИЛИ их сумма, то во всех трёх случаях в качестве первоначального 

варианта подбора рассматриваем «полный набор», в нашем случае: 

x

D

Cx

x

B

Ax

y

3

sin

)

(

3

cos

)

(

~









, где 

D

C

B

A

,

,

,

 пока ёще неизвестные 

коэффициенты, при этом степени неопределённых многочленов пропускать нельзя! 

Правило: если в правой части находится такое произведение ИЛИ произведение 

этой же экспоненты на косинус такого же аргумента (например, 

x

e

x

2

cos

3



), ИЛИ ЖЕ 

сумма таких слагаемых (например, 

)

2

sin

2

cos

2

(

2

sin

2

cos

2

x

x

e

x

e

x

e

x

x

x







), то во всех 

трёх случаях первоначальная версия подбора имеет вид: 

)

2

sin

2

cos

(

~

x

B

x

A

e

y

x





 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

72 

2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков 

 

Всё очень и очень похоже. Они тоже бывают однородные и неоднородные. Так, 

линейное однородное ДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: 

 

0















qy

y

p

y

r

y

, где 

q

p

r

,

,

 – конкретные числа. 

 

Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и 

уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как нетрудно догадаться, 

выглядит так: 

0

2

3









q

p

r







, и оно в любом случае имеет ровно три корня.   

 

Пусть, например, все корни действительны и различны: 

5

;

1

;

3

3

2

1















, тогда 

общее решение запишется следующим образом: 

const

C

C

C

e

C

e

C

e

C

y

x

x

x











3

2

1

5

3

2

3

1

,

,

где

,

 

 

Если один корень действительный 

2

1





, а два других – сопряженные 

комплексные 

i

5

3

3

,

2







, то общее решение записываем так: 

const

C

C

C

x

C

e

y

x









3

2

1

2

3

,

,

где

...,

5

cos

(

...

 

 

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Знакомый малыш 

0





y

 

имеет характеристическое уравнение 

0

3





 с тремя совпавшими нулевыми корнями 

0

3

,

2

,

1





, поэтому его общее решение записываем так: 

const

C

C

C

x

C

x

C

C

y









3

2

1

2

3

2

1

,

,

где

,

 

 

Если характеристическое уравнение 

0

2

3









q

p

r







 имеет, например, три 

кратных корня 

1

3

,

2

,

1







, то общее решение, соответственно, такое: 

const

C

C

C

где

xe

C

e

C

y

x

x













3

2

1

2

1

,

,

...,

 

 

Оформим решение «цивилизованно»: 

Пример 54 

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка 

0







 y

y

 

 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

0

)

1

(

0

2

3

















 

0

1





, 

i





3

,

2



 – получен один действительный корень и два сопряженных 

комплексных корня. 

 

Ответ: общее решение 

const

C

C

C

x

C

x

C

C

y









3

2

1

3

2

1

,

,

где

,

sin

cos

 

 

Подобные уравнения вполне могут быть предложены для решения, и поэтому мы 

немного разовьём тему: 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

73 

Линейное однородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами  

q

p

r

s

,

,

,

 имеет вид:  

0

















qy

y

p

y

r

y

s

y

IV

 

и соответствующее характеристическое уравнение 

0

2

3

4











q

p

r

s









 всегда 

имеет ровно четыре корня.  

 

Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных 

диффуров младших порядков. Единственное, закомментирую тот случай, когда все 4 

корня являются кратными. Если они равны нулю, то это в точности тривиальное 

уравнение 

0



IV

y

 с общим решением: 

const

C

C

C

C

x

C

x

C

x

C

C

y











4

3

2

1

3

4

2

3

2

1

,

,

,

где

,

 

 

Если, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых ненулевых корня, 

например, 

3

4

,

3

,

2

,

1





, то общее решение  запишется так: 

const

C

C

C

C

xe

C

e

C

y

x

x









4

3

2

1

3

2

3

1

,

,

,

где

...,

. 

Пример 55 

Решить уравнения 

 

а) 

0

4 

 y

y

IV

,  

б) да чего тут мелочиться, сразу 6-го порядка: 

0





V

VI

y

y

 

 

Догадайтесь самостоятельно! И да, потренируйтесь в проверке, она, кстати, 

помогает в сомнительных случаях. Решения и ответы в конце книги. 

 

Линейное НЕоднородное уравнение 3-го и более высоких порядков отличается, как 

легко догадаться, ненулевой правой частью 

)

(x

f

 и его алгоритм решения будет точно 

таким же, как и для уравнений второго порядка. С той поправкой, что нам придётся 

находить бОльшее количество производных при подборе частного решения 

y

~

 и при 

проверке. Фанаты могут ознакомиться с соответствующей статьёй сайта, но это уже 

диффуры «третьей категории» важности. 

 

Да уж, действительно коротко получилось, даже сам удивился…. 

 

И я вас поздравляю! 

Теперь вы сможете решить почти любое ДУ вашей отчётной работы!  

 

Более подробную информацию и дополнительные примеры можно найти в 

соответствующем разделе

 портала mathprofi.ru (ссылка на карту сайта), при этом 

следующим пунктом целесообразно изучить 

системы дифференциальных уравнений

 

(если они есть в вашей учебной программе). 

 

Из прикладной литературы рекомендую следующий решебник: 

 

М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко Дифференциальные уравнения, где 

разобраны более редкие уравнения и методы решения, которых вообще нет на сайте. 

 

Желаю успехов!

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

74 

Решения и ответы 

 

Пример 4. Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные: 

 

 

 

 

Интегрируем: 

 

 

 

Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и 

избавляемся от них: 

 

 

 

Выражаем функцию в явном виде, используя: 

– общее решение. 

 

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию. 

Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: 

. 

 

Способ второй: 

 

 

Подставляем найденное значение константы  в общее решение. 

 

Ответ: частное решение:  

  

Выполним проверку. Сначала проверяем, действительно ли выполняется 

начальное условие: 

– да, начальное условие  выполнено. 

 

 

Теперь проверим, удовлетворяет ли вообще частное решение  дифференциальному 

уравнению. Находим производную: 

 

Подставим полученное частное решение  и найденную производную  в исходное 

уравнение: 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

75 

 

 

Получено верное равенство, таким образом, решение найдено правильно. 

 

Пример 6. Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. 

Разделяем переменные и интегрируем: 

 

 

 

 

 

Ответ: общий интеграл:  

 

Примечание: тут можно получить и общее решение: 

 

 

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, 

поскольку такой ответ смотрится плохо. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

76 

Пример 8. Решение: данное ДУ допускает разделение переменных: 

  

 

 

 

Интегрируем: 

 

 

Общий интеграл:  

 

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному 

начальному условию. Подставляем в общий интеграл  и: 

 

 

Ответ:  

 

Пример 9. 

а) Решение: данное уравнение допускает разделение переменных: 

 

Левую часть 

интегрируем по частям

: 

 

В интеграле правой части 

проведем замену

: 

 

Таким образом: 

 

Дробь правой части раскладывается в сумму 

методом неопределенных 

коэффициентов

, но она настолько проста, что подбор коэффициентов можно 

выполнить и устно: 

 

Обратная замена:  

 

 

 

 

Ответ: общий интеграл:  

 

б) Решение: разделяем переменные и интегрируем: 

 

 

 

 

 

Методом 

неопределенных коэффициентов

 разложим подынтегральную функцию в 

сумму элементарных дробей: 

 

 

 

Примечание: интеграл  можно было также найти 

методом выделения полного 

квадрата

 

 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

77 

 

 

 

Ответ: общее решение:  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

78 

Пример 11. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное 

уравнение вместо  подставим, а вместо  подставим: 

 

В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является 

однородным. 

 

Проведем замену: – подставим в исходное уравнение и проведём максимальные 

упрощения: 

 

 

Разделяем переменные и интегрируем: 

 

 

Перед обратной заменой результат целесообразно упростить: 

 

Обратная замена: 

 

 

Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю и вынесем из-под корня 

всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе решения однородного 

уравнения, запомните их: 

 

 

Ответ: общий интеграл:  

 

Пример 14.  

 

а) Решение: данное уравнение является однородным, проведем замену: 

 

 

 

После подстановки проводим максимальные упрощения: 

 

 

Разделяем переменные и интегрируем: 

 

Контроль потенциально потерянных решений: 

– не является решением уравнения, 

а вот, очевидно, является. 

 

Интегрируем: 

 

 

и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее: 

 

 

Проведём обратную замену: 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

79 

Решение  в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно 

прописать в ответе:  

общий интеграл:, ещё одно решение:. 

 

Дополнительное задание: найдём частное решение, соответствующее заданному 

начальному условию: 

 

– искомый частный интеграл. 

 

Выполним проверку: 

 

1) Проверяем выполнение начального условия: 

 

– получено верное равенство, т.е. начальное условие выполняется. 

 

2) Найдём производную: 

 

– в результате получено исходное дифференциальное уравнение. 

 

Таким образом, решение найдено верно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

80 

б) Решение: разделим обе части уравнения на: 

, при этом не является решением исходного уравнения, поэтому корней мы точно 

не потеряем. 

 

Проведем замену и максимально упростим уравнение: 

 

 

Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»: 

 

Контроль потенциально потерянных решений:  

 

Первая функция, очевидно, является решением уравнения, проверяем вторую 

подстановкой  и её производной: 

 

– получено верное равенство, значит, функция  является решением. 

 

Интегрируем: 

 

умножим обе части на 2: 

 

переобозначим константу  через: 

 

и «упаковываем» логарифмы: 

 

 

 

Обратная замена:  

 

Умножим все слагаемые на: 

 

 

Решения  вошли в общий интеграл при нулевом значении константы. 

 

Ответ: общий интеграл:  

 

Проверка: дифференцируем общий интеграл: 

 

 

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

81 

Пример 17. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, 

проведем замену: 

 

 

 

Составим и решим систему: 

 

 

Из первого уравнения найдем: 

 

 

 

 

– подставим во второе уравнение  системы: 

 

 

 

 

 

Таким образом:  

 

 

Ответ: общее  решение:. 

 

Проверка: подставим  и  в левую часть исходного уравнения: 

 

– в результате получена правая часть уравнения, значит, решение найдено верно. 

 

Пример 19. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, 

проведём замену: 

 

 

 

Составим и решим систему: 

.  

 

Из первого уравнения найдем: 

 

 

 

– подставим во второе уравнение системы: 

 

 

 

 

 

Таким образом, общее решение:  

 

 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

82 

Ответ:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

83 

Пример 21. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, 

проведём замену: 

 

 

(раскрыли только левые скобки!) 

 

 

Составим и решим систему: 

.  

 

Из первого уравнения найдем: 

 

 

Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество:  

Подставим найденную функцию  во второе уравнение: 

 

 

Таким образом, общее решение: 

 

 

Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию: 

 

 

Ответ:  

 

Пример 23. Решение: представим уравнение в виде. 

Данное ДУ является уравнением Бернулли, разделим обе части на: 

 

Проведем замену  : 

 

 

 

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену: 

 

 

 

Составим и решим систему:  

 

 

Из первого уравнения найдем: 

 

 

 

– подставим во второе уравнение: 

 

 

 

Таким образом: 

 

Обратная замена:  

Общее решение:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

84 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: 

 

 

Ответ:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

85 

Пример 25. Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим 

обе части на: 

 

 

Очевидно, что  является  решением данного уравнения. 

 

Проведём замену: 

 

 

Полученное линейное неоднородное уравнение решим методом вариации 

произвольной постоянной: 

 

1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения: 

 

 

2) В неоднородном уравнении  проведём замену: 

 

 

 

Таким образом:  

 

Обратная замена: 

 

Ответ: общий интеграл:, ещё одно решение:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

86 

Пример 28. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным 

дифференциалах: 

 

 

, значит, данное уравнение  является уравнением в полных дифференциалах и 

имеет вид: 

, в нашем случае: 

 

 

Если, то: 

 

 

– подставляем в. 

 

Ответ: общий интеграл:  

Проверка. Найдём частные производные: 

 

и составим дифференциальное уравнение: 

 

 

В результате получено исходное ДУ, значит, решение найдено правильно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

87 

Пример 30. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным 

дифференциалах: 

 

, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных 

дифференциалах и имеет вид: 

 

 

Способ первый:  

–.работаем с этой производной, 

– про эту производную пока забываем. 

 

Так как, то: 

 

 

Дифференцируем по  и приравниваем результат к «забытой» производной: 

 

Преобразуем правую часть с помощью формулы: 

 

 

Восстанавливаем функцию:  

– и подставляем её в  

 

 

 

Ответ: общий интеграл  

 

Способ второй: 

– про эту производную пока забываем. 

– будем работать с этой производной. 

 

Если, то: 

 

 

Найдём частную производную по  и приравняем её к «забытой» производной: 

 

 

Из последнего равенства следует, что: 

– подставляем в «недостроенную» функцию. 

 

Ответ: общий интеграл. 

 

Вопрос:

 какой способ проще? 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

88 

Пример 32. Решение: 

 

а) Дважды интегрируем правую часть: 

 

Ответ:  

 

б) Преобразуем уравнение:. Данное ДУ имеет вид. Дважды интегрируем правую 

часть: 

 

Ответ: общее решение:  

 

в) Трижды интегрируем правую часть: 

 

Ответ: общее решение:  

 

Пример 34. Решение: Преобразуем уравнение:  

Данное уравнение имеет вид. Трижды интегрируем правую часть: 

 

В соответствии с начальным условием: 

 

 

В соответствии с начальным условием: 

 

 

В соответствии с начальным условием: 

 

 

Ответ: частное решение:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

89 

Пример 36. Решение: В данном уравнении в явном виде не участвуют функция  и 

первая производная. Проведём замену: 

 

Если, то 

 

Таким образом, уравнение понижено до первого порядка: 

 

 

В результате получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем 

переменные и интегрируем: 

 

 

Проведём обратную замену:  

 

 

Данное уравнение имеет вид:.  

 

Дважды интегрируем правую часть: 

 

 

 

Ответ: общее решение:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

90 

Пример 38. Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

 

, – различные действительные корни 

Ответ: общее решение:  

 

Проверка: найдем производные, и подставим их в левую часть исходного 

уравнения: 

– в результате получена правая часть , таким образом, общее решение найдено 

правильно. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

91 

Пример 40. Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

 

 

Получены два кратных действительных корня  

 

Ответ: общее решение:  

 

Пример 42. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

 

– сопряженные комплексные корни 

 

Ответ: общее решение:  

 

Пример 44. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: 

 

 

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: 

, то есть, (значение константы получилось сразу же). 

 

 

 

То есть. 

Ответ: частное решение:  

 

Проверка: – начальное условие выполнено. 

 

 

– второе начальное условие выполнено. 

 

 

Подставим  и  в левую часть исходного уравнения: 

 

Получена правая часть исходного уравнения (ноль). 

 

Такие образом, частное решение найдено верно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

92 

Пример 46. Решение: 

 

а) 1) Найдём обще решение соответствующего однородного уравнения: 

 

Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

– получены сопряженные комплексные корни, таким образом:  

 

2) Подберём частное решение  неоднородного уравнения. Так как правая часть  

неоднородного уравнения является константой, то в качестве первоначального варианта 

подбора рассматриваем, где  – пока ещё неизвестный коэффициент. Поскольку в общем 

решении  НЕТ одинокой константы, то частное решение следует искать в том же виде.  

 

Подставим  и  очевидные производные  в левую часть исходного уравнения: 

– после упрощений приравниваем результат к правой части исходного уравнения. 

Из последнего равенства следует, что  – подставляем найденное значение в «заготовку»:. 

 

Для проверки подставим  и  в неоднородное уравнение: 

 

– получено верное равенство, т.е. частное решение найдено правильно. 

 

3) Составим общее решение неоднородного уравнения: 

 

 

Ответ:  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

93 

б)  1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём 

наш неоднородный диффур  и обнуляем правую часть: 

 

Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:  

 

2) Найдём частное решение  неоднородного уравнения. 

Поскольку в правой части находится многочлен 3-й степени, то в качестве 

первоначальной версии подбора выдвигаем, где   – пока ещё неизвестные коэффициенты. 

 

Теперь смотрим на общее решение  – в нём нет ни куба «икс», ни квадрата, ни 

линейного члена, ни одинокой константы. Поэтому частное решение НЕ НУЖНО 

домножать на «икс», и мы ищем его в неизменном виде. 

 

Найдём первую и вторую производную: 

 

 

 

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения, раскроем скобки: 

 

– и приравняем результат к правой части  исходного уравнения. 

 

Теперь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и 

составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так: 

 

Уравнения лучше записать в порядке убывания степеней, начиная с 

коэффициентов при кубах «икс»: 

 

В данном случае система получилась очень простой, и многие из вас, наверное, 

справились с ней устно. Подставляем найденные значения  в наш исходный подбор: 

– частное решение неоднородного уравнения: 

 

И сразу выполним проверку, найдём: 

 

и подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения: 

– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  найдено 

правильно. 

 

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:  

 

 

Ответ: общее решение:  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

94 

 Пример 48. Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного 

уравнения: 

 

Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

 

 

,  – получены различные действительные значения, которые удовлетворяют 

характеристическому уравнению (не забываем проверить!).  

 

Таким образом:  

 

2) Выполним подбор частного решения. Поскольку в правой части исходного 

уравнения  находится экспонента, умноженная на константу, то в качестве 

первоначально версии подбора выдвигаем. Теперь смотрим на общее решение 

однородного уравнения – в нём уже есть такое слагаемое: 

 

Поэтому первоначальную версию следует домножить на «икс» и искать частное 

решение в виде: 

, где  – пока еще неизвестный коэффициент. 

 

Используя правило  дифференцирования произведения, найдём первую и вторую 

производную: 

 

 

Подставим,  и  в левую часть исходного уравнения  и проведём максимальные 

упрощения: 

 

  – после чего приравняем результат к правой части исходного уравнения. 

Из последнего равенства  автоматически получаем  – подставляем найденное 

значение в наш подбор: – искомое частное решение. 

 

Быстренько выполним проверку, а именно найдём,  

и подставим их вместе с  в левую часть: 

 

– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить. 

 

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения: 

, которое можно было, в принципе, сразу записать в 

 

ответ: общее решение:  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

95 

Пример 51. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного 

уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

– различные действительные корни, поэтому:  

 

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде  

 

Примечание:

 первоначальная версия подбора  подлежит домножению на, так как 

в общем решении  уже есть слагаемое.  

 

Найдём производные: 

и подставим их в левую часть неоднородного уравнения: 

 

– после максимальных упрощений приравниваем результат к правой части. 

 

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему: 

– подставляем во 2-е уравнение:  

 

Таким образом:  

 

Общее решение неоднородного уравнения: 

 

 

Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. 

Применяем к общему решению условие: 

 

Найдём производную:  

 

и применим к ней начальное условие: 

 

Составим и решим систему: 

, откуда следует, что  – подставляем найденные значения в общее решение  

Ответ: частное решение:  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

96 

Выполним проверку. Проверим выполнение начального условия: 

– выполнено. 

 

Найдём производную:  

и проверим выполнение начального условия: 

– выполнено. 

 

Найдём вторую производную: 

 

и подставим её вместе с  в левую часть исходного уравнения: 

 

– в результате получена правая часть исходного уравнения. 

 

Вывод: задание решено верно. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

97 

Пример 53. Решение: найдем общее решение соответствующего однородного 

уравнения: 

 

– характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые комплексные 

корни, поэтому:. 

 

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  

 

Примечание:

 первоначальная версия  подлежит домножению на «икс», поскольку 

в общем решении  уже есть такие слагаемые. 

 

Найдём производные: 

 

 

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения: 

 

– приравниваем результат к правой части. 

 

Приравниваем коэффициенты при соответствующих тригонометрических 

функциях:  

 

Примечание

: – по той причине, что в правой части отсутствует синус, и 

формально его можно записать с нулевым коэффициентом:  

 

Таким образом:. 

Проверка найденного частного решения: 

 

 

Подставим  и  в левую часть исходного уравнения: 

– в результате получена правая часть, в чём и требовалось убедиться. 

 

Составим общее решение неоднородного уравнения:  

 

 

Ответ: общее решение:  

 

Пример 55. Решение:  

 

а) составим и решим характеристическое уравнение: 

 

,  – получены два различных действительных корня и два сопряженных 

комплексных корня. 

 

Ответ: общее решение 

 

 

б) Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

, – получены пять кратных  нулевых корней  и действительный корень  

 

Ответ: общее решение  

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

98