Болєандыќган оныѕ туындысы бар болуы мїмкін
жүктеу/скачать 368 Kb.
|
«Математика курсындағы экономика элементтері»
- Бұл бет үшін навигация:
- Есептер шығару
- 23 сабақ. Аны қтал ған интегралдың экономика да қолдануын Кобба-Дуглас функциясы арқылы шығару
| 21-22 сабақ. Анықталған интегралдың экономикада қолдану
z=f(t) функциясы бір өндіріс өнімділігінің уақытқа байланысты өзгеруін сипаттасын.. [0,Т] уақыт аралығында өндірілген өнім мөлшерін анықтайық. Осы өнім мөлшерін V мен белгілейміз. Егер өндірістің өнімділігі [t, t + Δt] уақыт аралығында өзгермесе (f (t) = С), онда осы уақыт аралығында өндірілген өнім Δи, Δи=f(t)·Δt формуласымен анықталады. Жалпы жағдайда Δи ≈ f(ζ)· Δt мәні кішірек болған сайын бұл теңдіктің дәлдігі өсе береді. Жалпы жағдайды қарастыралық. Ол үшін [0,Т] уақыт аралығын 0 = t0< t1 < t2<..< tп = Т нүктелерімен п бөлікке бөлеміз: [0,Т] =[t0, t1]U=[t1, t2]U... U. [tп-1, tп]; [tі-1, tі] уақыт аралығында өндірілген Δиі өнімі үшін Δиі ≈ f(ζі)· Δtі жуық теңдігі орындалады. Мұнда ζі €[tі-1, tі] , Δ tі= tі - tі-1 , і=1,2,...п. Сонда п п и ≈ ∑ Δиі = ∑ f(ζі) · Δt λ і=1 і=1 = тах{Δtі саны нөлге ұмтылған сайын бұл жуық тендіктің дәлдігі өсе береді. Сондықтан и п і=1 =lim λ→0 ∑ f(ζі) · Δtі А Т нықталған интегралдың анықтамасын ескере отырып, осы теңдікті былай жазамыз и 0 =∫ f (t)dt Т С 0 онымен, егер f (t) - t уақыттағы еңбек өнімділігі болса, онда ∫ f (t)dt интегралы [0,Т] уақыт аралығындағы өндірілген өнімнің көлемін көрсетеді. Интегралдың анықтамасына тағы да тоқталалық. Әрине, кез келген функция үшін қосындысының шегі болмауы мүмкін. Қандай функцияның аныкталған интегралы болады? Осы сұрақка әзірше былай жауап береміз: Теорема: (анықталған интегралдың бар болуының жеткілікті шарты). [а,в]сегментінде үзіліссіз кезкелген у - f (х) функциясының осы аралықта анықталған интегралы бар. Есептер шығару Анықталған интегралды дәлдікпен есепте: π -π ∫ sin2x/2dx 3 1 2 .2 ∫dx/x2(х-1) 2 1 ∫dx/x (1+х2) 3 2 ∫3х2+2х-3/х3-х dx 5 4 ∫ dx/(х-1)(х+2) 10 8 ∫х2+3/х3-х2-6х)∙dx 23 сабақ. Анықталған интегралдың экономикада қолдануын Кобба-Дуглас функциясы арқылы шығару К r обба-Дуглас функциясы арқылы шығаруды қарастыралық. Егер еңбектің шығымы уақытқа тәуелді, ал капиталдың шығыны тұрақты болса, онда Кобба-Дуглас функциясы ретінде g(t) =(at + β)еп функциясын алуға болады. Мұндай жағдайда Т уақытындағы өнімнің көлемін есептейміз: Q 0 = ∫ (at + β)еп dt (1) Мысал. Кобба-Дуглас функциясы g(t) = (2 + t)е2t болған жағдайда 3 жыл ішінде шығарылған өнімнің көлемін табу керек. Шешуі. (1) формуласы бойынша іздеп отырған өнімнің көлемі анықгалады. Сонымен, жауабынан ¾ (3е6 -1) екенін табамыз. Ел табысы пайызының осы табысты табатын түрғындар, пайызына қатынасын Лоренц қисығы арқылы зерттейді. Лоренц қисығы арқылы ел табысының біркелкі үлестіруін (табыс бөлу теңсіздігінің дөрежесін) анықтайды. А 100(1)% (үлес) тұрғындар С 0 ОВА-Лоренц қисығы. Ел табысы біркелкі үлескенде (таралғанда) Лоренц қисығы ОА биссектрисасына айналады. Сондықтан ОА биссектрисасымен және ОВА қисығымен қоршалған фигура ауданының ΔОАС үшбұрыш ауданына қатынасы табыс бөлу теңсіздігінің дәежесін сипаттайды. Осы қатынасты Жини коэффициенті дейді. Мысал: Ел табысының тұрғындар арасында бөліну нәтижелерін зерттегенде Лоренц қисығының у=1-√1–х2 функциясы графигі болатындығы көрсетілген. Мұндағы х-тұрғындардың, ал у - тұрғындар табыстарының үлесі. Жини коэффициентін табу керек. Шешуі. Жини коэффициентін К әрпімен белгілейік. Сонда К=SОАВ/SΔОАС = SОВАС - SОВАС /SΔОАC =1 - 2SОВАC6 өйткені, SΔОАС=1/2 Енді жоғарыдан Лоренц кисығымен қоршалған қисық сызықты үшбүрыштың ауданын табамыз: SОВАС =1 – π/4 Олай болса, k=1-2(1- π/4) = π/2-1≈0,57. Есептелген К -нің үлкен мәні Ұлттық табыстың түрғындар арасында өте кең бөлінбеуін көрсетеді. Жылдық пайызы (пайыздық қойылымы) р болғанда t уақыт еткеннен кейін бастапқы қаржыны оның соңғы шамасы бойынша табуды дисконттау дейді. Мұндай есеп күрделі қаржы еңгізудің экономикалық тиімділігін анықтауда кездеседі. t жыл ішінде алынған қаржы Кt болсын, ал алғашқы (дисконтталатын) қаржы К болсын. Финанстық талдауда бұл қаржыны қазіргі қаржы деп айтады. Егер пайыз жай болса, онда Кt = К(1+іt) болады, мұнда і = р/100 -үлестік пайыздық қойылым. Сондықтан К=(1+іt)/Кt Егер пайыз күрделі болса, онда Кt = К(1 + іt) t. Сондықтан К= Кt/(1+іt) k Жыл сайын түсіп отыратын табыс уакытқа байланысты өзгеріп отырған жағдайда, яғни f(х) функциясымен өрнектелетін жөне үлестік пайыздық қойылым f-ге тең болтан жағдайда пайыз үзіліссіз қосылып отырсын. Мұндай жағдайда дисконтталған табыс К Т уақыт аралығында Т К 0 = ∫ f(t)е-іtdt (1) формуласымен есептеледі. х -партиядағы бұйымның реттік нөмірі болсын, ал t)= t (х) —функциясы өндірістің жетілуіне қарай t -ға байланысты шығынның өзгеру заңдылығын көрсетсін. Сонда х1-ден х2-ге дейінгі бұйымдарды жасау кезіндегі бір бұйымға жұмсалатын орташа уақыт tор. анықталған интегралдың орта мән формуласы арқылы табылады: tор=1/ х2-х1 ∫ t(х)dx (2) t = t(х) функциясы көп жағдайда t=ах -в (3) түрінде беріледі. Мұнда а—бірінші өнімге жұмсалатын уақыт, в — өнеркәсіп процесінің көрсеткіші. Есептер шығару 1. Егер күрделі каржының енгізілуі 10 млрд. тенге болып, жыл сайын ол 1 млрд.теңгеге өсетін болса, онда пайыздық қойылым 8% болғанда 3 жыл ішіндегі дисконтталған қаржыны табу керек. Шешуі. Әрине, күрделі қаржының енгізілуі f(t) = 10 + 1t = 10 +t функциясымен анықталады (1)формуласы бойынша шығарылады. Жауабын жуықтап аламыз, сонда ≈30,5 млрд.теңге екені белгілі болады. 2. Кобба-Дуглас функциясы f(х) = (3 + х)е2х болған жағдайда 2 жыл ішінде шығарылған өнімнің көлемін табу керек. 3. Өзін тұратын көшенің тұрғындарының арасында бөліну нәтижелерін зертте. Лоренц қисығының қай функцияның графигі болатындығын көрсетіп, Жини коэффициентін тап. жүктеу/скачать 368 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|