Бүтін сандар сақинасындағы бөлінгіштік. Санның бүтін бөлігі және бөлшек бөлігі туралы қысқаша түсінік беріңіз және мысалдар арқылы көрсетіңіз Негізгі

Евклид алгоритмі.

Жоғарғы ЕҮОБ анықтамасынан кез келген ақырлы бүтін сандардың ЕҮОБ табылатыны шықпайды. Бұл сұраққа Евклид алгоритмі көмегімен жауап беруге болады. Ол төменгі екі леммаға көзделген:

1. 
   Лемма. Егер a⁝b , онда a; b  b
   
2. 
   Лемма. Егер a  b  q  r, a  0, b  0, r  0 , онда a, b  b, r 
   

2. 
   теорема. Егер
   

a  b  q₀  r₁,0  r₁  b, b  r₁q₁  r₂ ,0  r₂  r₁ ,
....................................
^rn2 ^{ r}n1^qn1 ^{ r}n ^{,0  r}n ^{ r}n1, ^,
rn1 ^{ r}n ^qn
Онда a; b  r_n
Мысал. (2585,7975)=55

ЕҮОБ қасиеттері

2. 
   теорема. Егер a₁ , a₂ ,..., a_n    жəне d   , a_n  онда d  a₁ , a₂ ,..., a_n  .
   

2. 
   теорема.
   

a₁ , a₂ ,..., a_n
бүтін сандарының шамасы бойынша ең үлкен оң ортақ бөлгіші

осы сандардың ЕҮОБ болады.

2. 
   теорема. a  k, b  k   k  a, b
   
3. 
   теорема. Егер d  a, b, онда x, y  Z : ax  by  d
   

Анықтама.
ax  by  d
теңдігі ЕҮОБ-тің а мен b сандарының сызықтық

комбинациясы ретінде көрсетілуі деп аталады.
Мысал. ЕҮОБ(90,35)-тің сызықтық көрсетілуі : 5=2*90+(-5)*35 болып табылады.

Өзара жай сандар, қасиеттері.

Анықтама: Егер a₁ , a₂ ,..., a_n   1, онда a₁ , a₂ ,..., a_n сандары өзара жай деп аталады.

1. 
   теорема. a мен b сандары өзара жай болуы үшін қажетті жəне жеткілікті.
   

x, y  Z : ax  by  1
болуы

2. 
   теорема.
   

a
a, b
мен
b
a, b
сандары өзара жай.

3. 
   теорема. Егер a  b⁝c жəне a, c  1, онда b⁝c
   
4. 
   теорема. Егер a, b  1 , онда c⁝ab  c⁝a жəне c⁝b
   

1-мысал. 876⁝6 , өйткені
876⁝2 жəне
876⁝3. 876-жұп сан жəне оның цифрлар

қосындысы 3-ке бөлінеді N ⁝30  N ⁝2,3 жəне 5.

5-теорема. Егер a, c  1
болады.

ЕКОЕ.

жəне b, c  1 , онда
a  b
көбейтіндісі с санымен өзара жай

Анықтамалар. 1)

a₁ , a₂ ,..., a_n  Z
нолден өзгеше сандар. М саны осы сандардың

ортақ еселігі деп аталады, егер бұл сан a₁ , a₂ ,..., a_n
сандарының əрқайсысына бөлінсе.

2) m  Z саны a₁ , a₂ ,..., a_n сандарының ЕКОЕ деп аталады. Егер осы сандардың кез
келген ортақ еселігі осы m -ге бөлінсе жəне m  a₁,..., a_n  символымен белгіленеді.

1-теорема.

a  b

a,b

саны a мен b сандарының ЕКОЕ болады Мысал.

364,143  ^{364 143}  4004
13

ЕКОЕ қасиеттері.

1. 
   қасиет. a  k, b  k   a,b k
   

2. 
   қасиет. Егер a⁝k
   

жəне b⁝k , онда
^{ a} , ^{b }  a,b⁝k

^_ k k ^_
2-теорема. Егер a₁,..., a_{n 1}    жəне , a_n   m , онда a₁,..., a_n   m .

3-теорема. Егер a₁, a₂   m₁ , m₁, a₃   m₂ ,...,m_{n  2} , a_n   m_{n 1}
Мысал. 35,77,1141  62755 .

Жай сандар жəне құрама сандар.

онда a₁,..., a_n   m_{n 1}

Анықтамалар. 1) p натурал саны жай деп аталады, егер өзгеше оң бөлгіштері жоқ болса.
p  1 жəне оның 1 мен p -дан

2) n  N
саны құрама деп аталады, егер
n  1 жəне оның 1 мен n -нен басқа кемінде

бір оң бөлгіші бар болса. Соңғы анықтамаға сəйкес, егер n -құрама, онда мұндағы 1  n₁  n,1    n .
  Z : n  n₁ ,

Ескерту. 1 саны жай да құрама да екен. Натурал қатардағы бірінші жай сандар:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,... Жай сандар арасында жалғыз жұп сан бар, ол 2 саны.

Қасиеттері.

1. 
   қасиет. Егер p жай саны кейбір n  1натурал санына бөлінсе, онда
   

p  n .

2. 
   қасиет. Егер p₁  p₂ жай сандар, онда p₂ ⁝/ p₁ .
   
3. 
   қасиет. Кез келген n  1 натурал саны кемінде бір жай санға бөлінеді.
   
4. 
   қасиет. Егер n  N , ал p -жай сан, онда немесе n⁝ p , немесе n, p  1
   

Теорема (арифметиканың негізгі теоремасы). Кез-келген
n  1натурал саны немесе

жай, немесе жай көбейткіштерге лғызəдіспен жіктелуі мүмкін.


Px
сақинасынан
 x жəне
 x көпмүшеліктерін таңдап