Берілген вектор ішкі кеңістігінің элементі болу үшін, яғни ,
(4.17)
теңдіктердің орындалуы қажетті әрі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) теңдіктерге қойып, және ортонормалданған векторлар екенін ескерсек, онда
(4.18)
мұндағы вектор х-тің координаттары. Бұл (4.18) біртекті сызықты теңдеулер жүйенің матрицасының рангісі k. Сондықтан, (4.18) жүйенің (n - k)сызықты тәуелсіз шешімі бар. Олай болса, .Теорема дәлелденді.
берілген 
вектордың координаттары.
ішкі 
кеңістігінің элементі болу үшін, яғни 
,
(4.17)
ортонормалданған 
(4.18)
вектор х-тің координаттары. Бұл (4.18) біртекті сызықты теңдеулер жүйенің 
. Теорема дәлелденді.