Дәрістердің қысқаша мазмұны 1-дәріс. Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар

Матрицаның рангысы мен белгісіздер саны тең болғанда ғана үйлесімді(1) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешім болады.

n белгісізді n біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері болуы үшін жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Үш x, y, z белгісізді үш сызықтық теңдеу жүйесін қарастырайық:

(1)

(x, y, z алдындағы коэффициенттер h₁,h₂,h₃ бос мүшелері берілген деп есептеледі).

Егер x_o, y_o, z_o үш сандар парын (1) жүйенің x, y, z айнымалыларының орнына қойғанда (1) барлық теңдеу де тепе - теңдікке айналатын болса, онда x_o, y_o, z_o - сандар пары (1) жүйенің шешуі деп аталады.

1. Жүйені Крамер әдісімен шығару.

Келесідей белгілеулер енгізейік:


∆ анықтауышы (1) жүйенің анықтауышы деп аталады. ∆_х, ∆_у, ∆_z анықтауыштары ∆ жүйенің

анықтауышынан сәйкес бірінші, екінші, үшінші бағандарын бос мүше элементтерімен ауыстыру арқылы алынған. Екі жағдай қарастырайық.

1 жағдай. . Бұл жағдайда (1)жүйенің шешуі бар және ол біреу ғана, және келесі формуламен анықталады:

(2)

(2) формулалары Крамера формулалары деп аталады.

2 жағдай. ∆=0, ∆_х=∆_у= ∆_z=0

Бұл жағдайда (1) жүйенің шексіз көп шешімі болады (шешуі болмауы да мүмкін).

Біртекті жүйені қарастырайық.

Мұндағы , яғни:

Егер болса,онда (3) жүйенің бір ғана нольдік шешімі х=0, у=0, z=0 болады.

1) Айталық ∆ анықтауыштың бір миноры нольден өзгеше болсын. Айталық, мәселен . Онда (4)

Үш белгісізді екі теңдеуден тұратын біртекті жүйе аламыз.

Онда (4) жүйенің шешімі Крамер формулалары бойынша

деп алайық; мұндағы t кез келген мән қабылдайды. Онда (4) біртекті жүйенің келесі формулалармен анықталған шексіз көп шешімі болады:

2) Айталық анықтауыштың барлық минорлары нольге тең болсын. Бұл дегеніміз (3) барлық үш теңдеудің коэффициенттерінің пропорционалдығын білдіреді. Онда бір ғана теңдеу шығады және оның шексіз көп шешімі болады.