Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз
ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
жүктеу/скачать 1,29 Mb.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
- Бұл бет үшін навигация:
- Аудиториялық жұмыстар
- Үй жұмыстары
- 3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
- 3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер
| 3 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
3.1 Кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер Анықтама. F(x, y, y' , y" ,...y(n) = 0 n-ші ретті дифференциалдық теңдеу немесе y(n) = f (x, y, y' , y" ,..., y(n−1) ) бас туындыға қатысты шешілген теңдеу деп аталады. n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімдерін тек кейбір жағдайларда ғана анықтауға болады. Бұл теңдеуді мынадай үш жағдайда қарастырайық: I. y(n) = f (x), яғни y, y' , у" ,..., у(n−1) − қатыспаған жағдай. Жалпы шешімі бұл теңдеуді n рет интегралдау арқылы алынады: у(n-1) = ∫ f (x)dx = f1 (х) + C1 , у(n -2) = ∫( f1 (х) + C1 )dx = f 2(х) + C1 х + C2 , у n-3 = ∫( f2 (х) + C1 х + C2 )dx = f3 (х) + C1 + C2 х + C3 , …………………………………………………... у =f n( х) Мысалы: у IV = cos2 x теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Теңдеудің екі бөлігін dx-ке көбейтіп интегралдайық: у = ∫cos 2хdx = ∫ (1+ сos2 x) dx = (х + ) + C1 Cол əрекетті қайталап: Жауабы: ізделінді жалпы шешім. Аудиториялық жұмыстар Берілген теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңдар: 1) у''' = е2х Жауабы: у= 2) у'' = хsin х Жауабы: у= 3) y'' = 3х2 ; y(0) = 2, у' (0) = 1 Жауабы: 4y = x4 + 4х + 8 4) у'' = х + sin x Жауабы: у= 5) у'' = ln x Жауабы: у= 6) у'''= 1/x Жауабы: y= 7) у''' = cos 2x Жауабы: у= 8) у'' = 2/x3 Жауабы: у= 9) у '' = arctgx Жауабы: у= 2 10) у ''=3e x/2+ cos3 x Жауабы: у= II. F(x, y(к) , у(к+1) ,...,у(n) ) =0, яғни у-қатыспаған жағдай у(к) = z - ауыстыруы арқылы теңдеудің ретін төмендетуге болады. у(к+1) = z' у(к+2) = z" ................. у(n) = z(n−к) Мысалы: у" = у' + х теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі : у ' = z(х), y " = z ′ ауыстыруын енгізсек: z' − z = x - сызықтық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді шешу үшін z= uv , z'=u'v+uv' белгіленуін пайдаланатынбыз, яғни осы берілгенді сызықтық теңдеуге қоямыз: u/ v+ u v/ -u v= x u/ v+ u(v/ -v)= x 1) v/ -v= 0 v/ =v Демек, z= uv болғандықтан, əрі z = y' екенін ескерсек: у/=(- хе- х –е- х+C1)ех=((- х-1) е- х+C1)ех= - х-1+C1 ех у-ті табу үшін екі бөлігін де интегралдау қажет: у = ∫(−х −1+C1 ех )dx = − х2/2 − х + C1 ех + C2 Жауабы: у = − х2/2 − х + C1 ех + C2 Аудиториялық жұмыстар Берілген теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңдар: 1) xy″=y′ Жауабы: y=С1x2+С2 2) y″= y′/х+x Жауабы: y= +С1х2+С2 3) (1+x2) y″+( y′)2+1=0 Жауабы: y=(1+C12)ln 4) xy″= y′ln(y′/x) Жауабы: y=(C1x-C1 2 ) +C2 Үй жұмыстары Берілген теңдеулердің жалпы немесе дара шешімдерін табыңдар: 5) 6) 7) 8) 9) 10) III. f(y,y′,y′′,...,y(n))=0 , яғни x- қатыспаған жағдай у′=z алмастыруын енгіземіз, мұндағы z=z(y). Kелесі туындылардың табылу реті: у′′= , т.с.с. жалғасады. Мысалы: ( у' )2 + 2уу'' = 0 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: у' = z, y'' = z'z алмастыруын берілген теңдікке қойсақ: ізделінді жалпы шешім. 3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер Анықтама: у функциясы және оның туындыларына қатысты сызықты түріндегі теңдеу біртекті емес n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Анықтама. Егер f(x) = 0 болса, онда Ln(y) = теңдеуі сызықтық біртекті дифференциалды теңдеу деп, ал егер f(x) ≠ 0 болса, онда Ln(y) = f(x) теңдеуі сызықтық біртекті емес деп, егер барлық p0, p1, p2, … pn коэффициенттері – тұрақты сандар болса, онда Ln(y) = f(x) теңдеуі жоғарғы ретті тұрақты кооэффициентті сызықтық дифференциалды теңдеу деп аталады n-ші ретті сызықтық диффренциалдық оператордың қасиеттері. 1) L[су]=cL[y] Мысалы: L[y]= у′′−2у′+4у берілсе, L[сy ] = ( су ) ′′ − 2 ( су ) ′ + 4 ( су ) = с ( у ′′ − 2 у ′ + 4 у ) = с L[y ] 2) у=y1+y2 L[y]=L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]- аддитивтік қасиеті. 3) С1, С2,...Сn- тұрақтысы берілсе, онда Мұнда функцияның тəуелді жəне тəуелсіздігі ұғымдарына тоқтала кеткен жөн. y1,y2,y3,…,yn функциялар тізбегін α1,α 2 ,α3,…, αn сандар тізбегіне қоссақ функциялар тізбегінің сызықтық комбинациясы алынады. Анықтама. y1,y2,y3,…,yn функциялары өзара сызықты тәуелді делінеді, егер олардың сызықтық комбинациясы нөлге тең: болатындай бәрі бір мезгілде 0-ге тең болмайтын α1,α 2 ,α3,…, αn сандары табылатын болса, керісінше жағдайда сызықты тәуелсіз делінеді. Басқаша айтқанда, тізбектің функциясын басқалары арқылы сызықты өрнектеуге болады. Мысалы: у1 =Sin2x , у2 =Cos2x, у3=а2 - сызықты тәуелді функциялар. α 1 =1, α2 =1, α3= - Функцияның сызықты тəуелді, тəуелсіздігін анықтауда Вронскиан деп аталатын анықтауыш қарастырылады. -Вронский анықтауышы (вронскиан). (а,в) аралығында (n-1)-ші туындыларымен бірге үзіліссіз n функцияның сызықты тəуелсіздігі үшін сол функциялардың Вронский анықтауышы (Вронскиан) (а,в) –ның кез келген нүктесінде нөлден өзге болуы жеткілікті, яғни Анықтама: Егер n-ретті сызықты біртекті теңдеудің n шешімдер жинағы (а,в) аралығында анықталған жəне сызықты тəуелсіз болса, онда олар теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады. Мысалы: y=С1e3x+С2e-3x функциясы у′′−2у = 0 теңдеуінің жалпы шешімі болатынын көрсетіңіз. Шешуі: y1=С1e3x, y=С2e-3x y1=3С1e3x, y2=-3С2e-3x W( y1, у2) = , ендеше берілген функция теңдеудің жалпы шешімі. Сызықтық біртекті дифференциалды теңдеудің шешімі: 1)Егер у1 функциясы теңдеудің шешімі болса, онда Су1 функциясы да шешімі болады, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. 2) Егер у1 және у2 функциялары теңдеудің шешімі болса, онда у1+у2 функциясы да шешімі болады. 3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер Коэффиценттері тұрақты сан болатын теңдеулерді қарастырайық: түрінде берілген теңдеудің шешімін (қысқаша ) түрінде іздейміз ( k - тұрақты). болғандықтан көпмүшесі дифференциалдық теңдеудің сипаттамалық (характеристикалық) көпмүшесі деп аталады. функциясы берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болу үшін қажетті және жеткілікті шарттар: яғни ekx ≠ 0 болғандықтан - бұл теңдеу сипаттамалық (характеристикалық) теңдеу деп аталады. сипаттамалық теңдеудің n түбірі бар. Оның әрбір ki-ші түбіріне дифференциалдық теңдеудің шешімі сәйкес табылады. Сипаттамалық теңдеудің шешімдеріне қатысты дифференциалдық теңдеудің келесі шешімдері алынады: Егер k1,k2,...kn – сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әртүрлі сандар болса, онда біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі: (*) Егер k1,k2,...kn – сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әрі k1 түбірі m-еселі болса: k1= k2=…= km=k, онда (*) біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі: Егер сипаттамалық теңдеу түбірлері ішінде k1,2= комплекс (кешенді) түбірлер жұбы бар болса, онда (*) формуласының екі мүшесі келесі қосылғыштармен алмастырылады: Егер k1,2= комплекс түбірлер жұбы m-еселі болса, онда (*) формуласының m-мүшелер жұбы келесі қосылғыштармен алмастырылады: Мысалы: yIV+10y′+9y=0, y(0)=1, y′(0)=3, у′′(0)= -9, y′′(0)= -27 Коши есебін шешу керек. Шешуі: k4+10k2+9=0 Егер k2=a деп белгілесек, онда k4=a2 а2+10a+9=0 D=100-4*9=64, а1,2= k2 = a = k2 = -9 k1,2 = 3i=03i =0, =3 k2 = -1 k1,2 = i=0i =0, =1 - берілген төртінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Енді бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дара шешімін табайық. Бастапқы шарттарды қолданамыз: 1=C1+C3 C4=0 3=3C2+C4 C3=0 -9=-9C1-C3 C1=1 -27=-27C2-C4 C2=1 Жауабы: y=cos3x+sin3x- дара шешімі. жүктеу/скачать 1,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|