Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз
жүктеу/скачать 1,29 Mb.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
- Бұл бет үшін навигация:
- Үй жұмыстары
- 2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер 2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y
- 2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері. Анықтама. Лагранж теңдеуі
- Клеро теңдеуі
| Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешуін екі əдіспен де көрсет. 1) Жауабы: 2) (2x + yexy )dx + (1+ xexy )dy = 0 Жауабы: x2 + y + exy = C 3) sin (x+y) dx+xcos(x+y)(dx+dy) =0 Жауабы: x sin (x + y)= C 4) dx +(y 3 + ln x)dy = 0 Жауабы: 4 y ln x + y 4 = C 5) 2x(1+ )dx − dy = 0 Жауабы: x2 +2/3 (x2 − y)3/2= C Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап. 6) (x 2 − 3 y 2 )dx + 2 xydy = 0 Жауабы: 7) (sin x + e y )dx + cosx dy = 0 Жауабы: =e−y; e−y cosx=C+x 8) (xsiny+ y)dx+(x2cosy+xlnx)dy=0 Жауабы: 9) (x 2 − y )dx + xdy = 0 Жауабы: 10) 2xtgydx+ (x2 − sin y)dy = 0 Жауабы: Үй жұмыстары Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешілуін екі əдіспен де көрсет. 11) 3х2(1+lny)dx=(2y-x3/y)dy Жауабы: x 3 + x 3 ln y − y 2 = C 12) (2 x 2 y 2 + 7 )dx + 2 x 3 ydy = 0 Жауабы: x 3 y 2 + 7 x = C 13) (ey + yex +3)dx= (2−xey −ex )dy Жауабы: xey + yex +3x−2y =C 14) Жауабы: x 3 y + x 2 − y 2 = Cxy 15) Жауабы: x + arctg = C 16) (2 x 3 − ху 2 )dx + ( 2 у 3 − х 2 у ) dy = 0 Жауабы: х4-х2у2+у4=С 17) еуdx+(xey-2y)dy=0 Жауабы: хey-у2=С 18) yxy-1dx+xy lnxdy=0 Жауабы: хy =С Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап. 19) dx +(y 3 − ln x)dy = 0 Жауабы: 20) y(1 + xy )dx − xdy = 0 Жауабы: x 2 + 21) (e 2 x − y 2 )dx + ydy = 0 Жауабы: =e−2х; у2=(С-2х)е2х 22) (1+3x2 sin y)dx− xctgydy= 0 Жауабы: 23) y 2 dx + (yx − 1)dy = 0 Жауабы: 24) (x2+y)dx-xdy=0 Жауабы: 25) (x2+y2+2x)dx+2ydy=0 Жауабы: (x2+y2)ex=C 26) (xcosy-ysiny)dy+(xsiny+ycosy)dx=0 Жауабы: (xsiny+ycosy-siny)ex=C 2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер 2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y/) және x = f(y/) түріндегі теңдеулер. Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады: Бірінші теңдеулер үшін: Алмастыруды қолданамыз: Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз: Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі: Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз. x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз: 2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері. Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды: Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’. Бұл теңдеуді екенін ескере отырып дифференциалдайық: Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі болса, онда Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады: Анықтама. Клеро теңдеуі деп: түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады: алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді: Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін: немесе Бірінші жағдайда: Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр. Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі: р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады. Мысал. теңдеуін шеш. Шешуі: p = y’делік, сонда болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда: немесе Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда: Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады: Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз: Бұдан, . Сондықтан . у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ. жүктеу/скачать 1,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|