Математикалық анализдiң негiзгi ұғымдарын есептердi қолдану негiзiнде қалыптастырудың әдiстемесi

Алдан ала дайындық немесе кіріспе шараларының қажеттілігі жөнінде көптеген зерттеулерде жазылған болатын. Д.А.Антоновтың диссертациясында шек ұғымының «» тіліндегі анықтамасына келтіретіндей жаттығулар жүйесін құрастырған. Шек ұғымын мектепте саналы түрде қалыптастыру үшін алдын ала дайындау қажет. Оқушыларды негізгі мектепте шек ұғымының әлі қалыптаспаған тұжырымдамасымен мазмұндық түрде таныстыруға мүкіндік болады. Бұл тек қана мүмкіндік емес, қажеттілік. Өйткені осы кезеңде оқушылардың жас ерекшелігіне қарай интуициялы түрде меңгеруге икемделеді.

Оқушыларды шек және шекке көшу ұғымдарымен 8-сыныпта алғаш рет таныстыруға болады. Мұндай жағдайда қарастыратын мысалдар қарапайым көрнекі-геометриялық сипатта болуы тиіс.

Шек ұғымының мәнін ашуда көрнекі-интуитивтік түрде берілген алдын ала дайындық есебін қарастырайық.

1-мысал. АВС үшбұрышының С төбесі MN түзуінің бойымен бірқалыпты қозғалсын. MN түзуі АВ табанына параллель (1-сурет). Осындай қозғалыс кезінде АВС үшбұрышының бұрыштарының шамасы, қабырғаларының ұзындығы, периметрі мен ауданының шамасы қандай өзгерістерге түседі?

1сурет – 1-мысалдың геометриялық кескіні

Оқушыларының көпшілігі қарастырып отырған үдерістегі А бұрышының шамасы (оны  деп белгiлеймiз) нөлге шектеусіз, ал В бұрышының шамасы (оны деп белгiлеймiз) 180⁰-қа жақындайтығын түсiне алады. Шешiм былайша жазылады: егер ұмтылғанда , ал ⁰ ұмтылады.

2 сурет – Дене температурасының өзгерісі көрсетілген график

Осы типтес есептер жүйесі арқылы 7-8 сыныптарда оқушылардың зейінін көрнекі геометриялық кескіндерге аудару негізінде шек ұғымының интуитивтік түрде қалыптастыруына ықпал етеді. Бұл шек ұғымын формалды қабылдаудың жойылуына, шек ұғымының мән-мағынасын түсіне отырып, оны күнделікті өмірде практикада қолдана білуіне жол ашады. Шек ұғымын және шекке көшу ұғымын қалыптастырудың алдында оқушыларды нақты үдерістің жүру барысында айнымалы шаманың берiлген қандай да бiр шамаға шексiз жуықтау барысы көрсетіледі. Содан соң үдерістің өзiн емес, оның математикалық модельдерi қарастырылады.

Функцияның нүктедегі шегі туралы ұғымды қалыптастыруды оның негізінде жатқан ұмтылыс, үздіксіздік және басқа алғашқы ұғымдардың мағынасын ашудан бастаған жөн. Бұған тек аналитикалық ойлау құралымен ғана жету қиындық тудырады, ол үшін оқушы түсінігінде бейне қалыптастыру маңызды болып табылады.

Оқытудың бірінші кезеңінде визуалды бейне соңында тұжырымдылыққа дейін дамитын танымдық бейне қалыптастырылады.

2-мысал. Физикалық дененің салқындауы немесе температураның көтерілуі. Т- қоршаған ортаның қалыпты температурасы болсын. Дене температурасының салқындауы кезінде температура уақытқа байланысты алынған функция болады.

Графиктен уақыт өткен сайын дененің температурасы қоршаған ортаның температурасына ұмтылатынын 2-суреттен көрнекі түрде байқауға болады

3-мысал. Нақты санның геометриялық кескінінен 2 санына оң және сол жақтан сандардың жақындауы көрнекі түрде байқалады. 3 - суреттен 2 санына шектеусіз жақындайтын сандардың бар екенін, олардың 2 санына ұмтылатынын көрсетеміз.

3 сурет – Нақты санның геометриялық кескіні

Функцияның нүктедегі шегі ұғымын қалыптастыру үшін жаратылыстану-математика бағыты бойынша оқытуға арналған 10 сыныптың алгебра және анализ бастамалар оқулығындағы есепті қарастырайық.

1 кесте – Аргумент мәніне сәйкес функция мәні көрсетілген кесте

Кестеден аргументтің мәндері ұмтылғанда функция мәндері 7 санына жуықтағанын көреміз. Осы функцияның графигін сала отырып, х аргументтерінің мәндері 1 санына неғұрлым жақын болса, функцияның сәйкес мәндері мәніндегі функция мәнінен айтарлықтай айырмашылығы жоқ екенін көреміз.

Есептің ә) б)

в) шегін есептей отырып, функцияның нүктедегі шегін есептеуде мыналарды ескерген жөн:

Егер функция нүктесінде анықталса, онда функцияның ұмтылғандағы шегі функция мәніне тең болуы.

Функцияның нүктесінде шегі бар, нүктесінде анықталмаған болуы;

Функцияның нүктесінде шегі бар, бірақ нүктесіндегі мәніне тең болмауы мүмкін.

4-5 мысалдар оқушыларда аналитикалық, графикалық түрде берілген функциялардың нүктедегі шегі бар немесе жоқ болатындай функция бейнесін қалыптастыру мақсатында берілген. Есептер көрнекі-иллюстрациялық тілдегі түсінік формасынан екіншіге, аналитикалық тілге көшу әрекетін жүзеге асыратындай етіп құрылады. Яғни, аргументтің мәні қандай да бір санға ұмтылғанда функция мәні де қандай да бір санға ұмтылатындығын меңгереді.

4-мысал. f функциясының графигін сал.

а)f функциясы х=-2 нүктесінде анықталған, х=-2 нүктесіндегі шегі 0-ге тең;

ә) және х=3 нүктесінде анықталмаған;

б) х D(f) үшін f функциясы х=4 нүктесінде шегі жоқ;

в) х D(f) f функциясының х=5 нүктеде шегі жоқ.

5- мысал. f функциясының төмендегі шарттарды қанағаттандыратындай қандай да бір формуласын ойлап тап.

а) f функциясы х=-1 нүктесінде шегі жоқ және х D(f);

ә) және f функциясы х=5 нүктесінде анықталмаған;

б) f функциясының х=3 нүктесіндегі шегі жоқ және х D(f);

в) , х D(f).

6-мысал. функция графигін сал, f(1,9); f(2,1); f(2,01); f(1,999); f(2,001) нүктедегі мәндерін есепте.

Шешімі: Берілген функцияның анықталу облысында қарастырамыз

f функциясының графигі x=2 нүктесінде үзілді, y=x+2 түзуі болады. Бұл график 4-суретте көрсетілген.

4 сурет - Функция графигі

7-мысал. Графиктері 5–суретте көрсетілген функциялардың ішінен х=1 нүктесінде үзіліссіз функцияларды көрсет.

5 сурет – Функция графиктері

Егер f функциясы нүктесінде анықталған және шегі бар болып, ол функцияның нүктесіндегі мәніне тең болса, онда y=f(x) функциясы х= нүктесінде үзіліссіз болады.

Математикалық анализдің негізгі ұғымдарының бірі - функция туындысы ұғымын енгізуде алдын ала дайындық ретінде жанама ұғымын қиюшының шектік жағдайы ретінде қарастырады. Шек және шекке көшу ұғымы енгізілгеннен кейін бұл қиындық тудырмайды.

Негізгі мектепте y=аx+b, y=x² және y=x³, , , y=аx² және y=аx²+bх+с функциялары қарастырылады. Бұл функциялардың графиктерінің әрқайсысын оқып-үйренуде оларға жанама жүргізу туралы мәселеде қарастырған жөн.

Физика курсынан алған білімімізге сүйене отырып орташа жылдамдықты, қиюшының бұрыштық коэффициентін анықтауға берілген есептерін қарастырайық.

8-мысал 6-суретте автобустың қозғалыс графигі кескінделген. [3,25;5,25] уақыт аралығындағы қозғалыстың орташа жылдамдығын табыңдар.

6 сурет – Автобустың қозғалысы

9-мысал. 7-суретте көрсетілген қиюшының Ох осімен жасайтын көлбеулік бұрышының тангенсін табу есебін қарастырайық.

7 сурет – 9-10 мысалдардың геометриялық кескіні

10-11 мысалдар туындының геометриялық, механикалық мағынасын ашу мақсатында ұсынылады.

Бұл мысалдан оқушы қиюшының бұрыштық коэффициентінің жанаманың бұрыштық коэффициентіне ұмтылатындығын графиктен көрнекі түрде байқай алады

8-11-мысалдардан оқушылар орташа жылдамдықты есептей отырып, мына анықтамаға келуі қажет. Берілген уақыт мезетіндегі орташа жылдамдық шегі лездік жылдамдық деп аталады.

Осы есептердің негізінде мынадай жалпылау жасаймыз.

1. f функциясының нүктесіндегі өсімшесін табамыз.

2. қатынасын аламыз.

3. қандайда бір санға ұмтылады.

Анықтама. ұмтылғанда функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасы ұмтылатын тұрақты сан функцияның туындысы деп аталады.

ұмтылғанда

Эксперимент жүргiзу үшiн эксперимент жоспары, эксперимент материалдары дайындалды.

Экспериментке қамтылған оқушылар саны 30, оның ішінде эксперименттік топ -17, бақылаушы топ-13.