«Доказательства теоремы Пифагора»

«Доказательства теоремы Пифагора»

• Работу выполнила ученица группы 8-1,2
• Кузакова Екатерина

Содержание:

• Вступление
• Биография Пифагора
• Теорема Пифагора
• Доказательства теоремы
• Пифагоровы «тройки»
• Список использованной литературы

Древний Египет

• Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
• 3² + 4² = 5²
• было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея)
• По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

• Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем
• веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Древний Вавилон

• Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

• Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

• Древняя Индия

Биография Пифагора

• Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.

• Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

• А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.
• ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

• Теорема Пифагора

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

• Другие формулировки теоремы.

• У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
• "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

• В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:
• "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

Доказательства теоремы Пифагора

• Простейшее доказательство.

•   Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два.

Доказательства методом разложения.

• Доказательство Эпштейна
• Начнем с доказательства Эпштейна ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

• Доказательство.

• Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали двух квадратов, построенных на катетах треугольника и проведем прямую CD перпендикулярно EF через вершину прямого угла треугольника.
• Из точек А и В Продлим стороны квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.
• Соединим полученные на прямой EF точки с противо-лежащими вершинами квадрата и получим попарно равные треугольники.
• Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить на треугольники, составляющие квадраты на катетах.И получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника.
• Теорема доказана.

Доказательство Нильсена.

• 1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.
• 2. Построим прямую EF, параллельную ВС.
• 3. Построим прямую FH, араллельную АВ.
• 4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.
• 5. Построим прямую из точки А, параллельную СG
• 6. Проведем отрезок MN, параллельный СН
• 7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.
• Теорема доказана.

• В

• С

• А

• D

• G

• E

• F

• H

• M

• N

Доказательство Бетхера.

• Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую.
• Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью.
• Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника.
• Теорема доказана.

• Доказательство методом дополнения.

• От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе.

• На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат ,построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

• Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
• Теорема доказана.

• Доказательство методом вычитания.

• Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
• треугольники 1, 2, 3, 4;
• прямоугольник 5;
• прямоугольник 6 и квадрат 8;
• прямоугольник 7 и квадрат 9;

• Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:
• прямоугольники 6 и 7;
• прямоугольник 5;
• прямоугольник 1(заштрихован);
• прямоугольник 2(заштрихован);
• Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
• прямоугольник 5 равновелик самому себе;
• четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
• прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
• прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
• Теорема доказана

Пифагоровы «тройки»

• В школе Пифагора также были подробно изучены так называемые Пифагоровы тройки натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство
• a 2 + b 2 = c 2 ( a,b,c - натуральные числа)
• Таковы, например, числа 3, 4, 5.
• Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:
• a= 2n+1
• b=2n (n+1)
• c=2n 2 +2n , где n - натуральное числа

Список используемой литературы.

• Сайты в Интернете:
• http://th-pif.narod.ru/dopoln.htm
• http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm

жүктеу/скачать 20,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: