Екі өлшемді (бір факторлы) регрессиялық модель

Бір факторлы белгі оқиғасы үшін регрессиялық мәселелерді қалыптастырамыз. Екі өлшемді мәндер жиынтығы берілсін :

Yi - түсіндірілетін айнымалы немесе нәтиже;

Хі – түсіндіретін айнымалы немесе фактор ;

Бұл екі айнымалының арасында обьективті байланыс болады : Y=f(х) (1)

Берілген теңдеуді регрессияның “ақиқат” теңдеуі деп аталады. Берілген бақылаулар бойынша ақиқат тәуелділікті сипаттайтын функция Y*=f(х) таңдау қажет.

Функцияны таңдау – функцияналдық тәуелділік түрін анықтау үшін төмендегілерді қолданамыз:

1. 
   Алдындағы ұқсас зерттеудегі тәжірибе және теориялық ой.
   
2. 
   Графикалық тәсіл – Коррелияциялық өріс негізі немесе регрессиядағы империкалық сызық .
   

Графикалық түрде нүктелерден құралған сынық сызық түрінде бейнеленеді. Мұнда абцисса факторлық белгінің орташа мәні, ал ордината нәтижелік белгісінің орташа мәні .

3. 
   Бірнеше функцияларды алып және ішіндегілерінен регрессия теңдеуінің сапа көрсеткіші бойынша таңдау.
   

Мұндағы :

1. 
   Кездейсоқ емес құраушы – В0+В1*Хі ;
   
2. 
   Кездейсоқ құраушы – Uі ;
   

Ү

Үі

хі х

1. 
   Модельде нәтиже ге әсер ететін маңызды факторлардың болмауы . (2) формулада есептелмеген басқа факторлар болады. Бұл біз өлшей алмаған факторлар болуы мүмкін.(Психологиялық фактор).
   
2. 
   Айнымалының қосылуы .Тәуелділікті жеке қатынастың бірігуі ретінде ала аламыз. Мысалы: Тұтынудың қосынды функциясы жеке тұтынушылардың бірігуі ретінде қарастырамыз . Жеке қатынастар параметрлері әртүрлі болса , онда біріккен тәуелділік жуықталған болады.
   
3. 
   Модельдердің дұрыс емес функцияналдық ерекшекліктері .
   
4. 
   Айнымалыларды өлшеу қателіктері . Модельдердегі регрессия коэффициентінің (В1) таңбасы байланыс бағытын көрсетеді . Егер В1>0 болса , байланыс тура , ал В1<0 болса , байланыс кері. В1 шамасы Х факторы өзінің өлшеуін бір бірлікке көтеретін болса , нәтиже – Ү орташа қандай шамаға өзгеретінін көрсетеді . Модельдегі В0 параметірінің мәні Х=0 болғандағы Ү-ң орташа мәні . Жұп регрессиялық модельдердің матрицалық түрі :
   

Ү – нәтижелік белгі мәні бақыланатын өлшеуші n*1 болатын кездейсоқ баған – векторы ;

Х – (Х0,Х1) фактордың белгілі мәні бақыланатын n*2 – өлшеуші матрица .

В - ­өлшемі 2*1 модель параметрлерін бағалайтын айнымалы баған - векторы .

U - өлшемі n*1 кездейсоқ бақылау қателіктерінің баған – векторы .

Y1 X01, X11 B0 U1

Y= … X= … … B= B1 U = …

Yi X0i, X1i Ui

... … … …

Yn X0n, X1n Un

Мысалы : 20 жұмысшының жасы және еңбек ақысы туралы мәлімет берілген.

Жұмысшылардың еңбекақысы туралы регрессия моделін құру керек .

Үі – і – ші жұмысшының еңбекақысы ($) ;

Xi – і – ші жұмысшының жасы .

Егер экононмикалық құбылыстардың арасында сызықтық емес байланыс болса, онда олар сызықтық емес функция сәйкестігінің көмегімен көрсетіледі, мысалға тең жақты гипербола: у_і = а + b/х_і + u_і ; екінші дәрежелі парабола: у_і = а + b · х_і + с · х²_і + u_і (і = 1; n) және т.б.

Сызықтық емес регрессия екі топқа бөлінеді:

• 
  түсіндірілетін ауыспалы анализге салыстырмалы қосылған , бірақ бағаланатын параболалар бойынша сызықтылар;
  
• 
  бағаланатын параметр бойынша .
  

Параметрлермен сызықтық байланысты у берілген топтағы сызықтық емес регрессияның құрамындағы теңдеу. Мысалға келесі функциялар қызмет ете алады.

• 
  түрлі дәрежелі полиномдар ― у_і = b₀ + b₁ · х_і + b₂ · х_і² + b₃ · х_і³ +...+ b_k · х_і ^k + u_і (k дәрежелі полином).
  
• 
  тең жақты гипербола ― у_і = а + b/х_і + u_і.
  

Екінші деңгейлі параболаға қолданылатын әдісті қарастырайық: у_і = а + b · х_і + с · х_і² + u_і. Мұндағы х² ауыспалыны z-қа алмастырып, сызықтық регрессияның екіфакторлық теңдеуі шығады: у_і = а + b · х_і + с · z_і + u_і, параметрлерді бағалау үшін қарапайым КЕӘ қолданылады.

Соған сәйкесті k полиномы үшін у_і = b₀ + b₁ · х_і + b₂ · х_і² + b₃ · х_і³ +...+ b_k · х_і ^k + u_і, мыналарды ауыстырғандағы: z₁ = х, z₂ = х² шығады: у_і = b₀ + b₁ · z_1і + b₂ · z_2і + b₃ · z_3і +...+ b_k · z_kі + u_і.

Содан кейін, параметрлерді бағалау әдістері және болжамдарды тексерумен әртүрлі тәртіптегі полином сызықтық регрессияға байланыстырады.

Әсіресе сызықтық емес полиноминалдық регрессияда жиі екінші деңгейлі парабола қолданылады; басқа жағдайларда ― үшінші тәртіптегі полином. Зерттеліп отырған жиынтықтың міндетімен байланысты аса жоғары деңгейлі полиномдарды пайдаланудағы шектер: полином тәртібі неғұрлым жоғары болған сайын, соғұрлым қисық сызықтың айналмалары көп, соған сәйкесті нәтижелік белгісі бойынша жиынтық біркелкі болады.

Екінші деңгейлі парабола (1-сурет) қолдануға орынды,

y y

Y⁰

Y⁰

X⁰ X⁰ x

1-сурет. Параболалық тәуелділік

Егер, фактордың белгіленген мән интервалының нәтижесімен байланысты мінез-құлқы өзгерсе: түзулер байланысы керіге ауысады немесе керіден түзуге. Ондай жағдайда нәтижелік белгісінің максималдық (немесе минималдық) мәніне, онда фактордың мәндері анықталады:

Егер де шығатын мәліметтер байланыс бағыттарының өзгерістерін таппаса, онда екінші деңгейлі параболаның параметрлері қиын интерпретируемдік болады, ал байланыс формасы жиі сызықтық емес модельдермен алмастырылады.

Сызықтық емес функциялар тобындағы КЕӘ-мен бағаланатын параметрлерді экономикада жақсы белгілі тең жақты гипербола деп атаған жөн: у_і = а + b/х_і + u_і. Оны мынадай жағдайда қолдануға болады, мысалы, шикізаттың, материалдардың және отынмен бірге шығарылатын өнім көлемінің шығындарын сипаттау үшін.

Тең жақты гиперболаның параметрлерін бағалау үшін «ауыспалыны алмастыру» тәсілі қолданылады: 1/х-ті z-қа алмастырып, регрессияның сызықтық теңдеуін аламыз: у_і = а + b · z_і + u_і, мұнда да қарапайым КЕӘ қолданылуы мүмкін.

b>0 болғандағы кері тәуелділік аламыз, ондағы х → ∞ төменгі асимптотамен түсіндіріледі, яғни минималдық шекті мән у а параметрдің бағасымен атқарылады (4а-сурет).

b<0 болғандағы жоғарғы асимптотамен жай көтерілетін функция аламыз, ондағы х → ∞, яғни максималдық шекті мән у а параметрдің бағасымен атқарылады (4б-сурет).

Параметрлерді бағалау бойынша сызықтық емес регрессиялар

Регрессияның берілген тобына параметрлермен байланысты сызықтық емес тең жатады. Мысалы сызықтық емес регрессияның функциялары мынадай түрде болады:

• 
  дәрежелік ― у_і = а · х^b_і · u_і ;
  
• 
  көрсеткіштік ― у_і = а · b^х_і · u_і ;
  
• 
  экспоненциалдық ― у_і = е ^а+b·х_і · u_і .
  

1. 
   сызықтық емес модельдер ішкі сызықты;
   
2. 
   сызықтық емес модельдер ішкі сызықтық емес.
   

a

b>0

x

2-сурет. Тең жақты гипербола түріндегі тәуелділік

Егер сызықтық емес модель ішкі сызықты болса, онда оған сәйкесті өзгертулер бойынша сызықтық түрге ауысады. Егер сызықтық емес модель ішкі сызықтық емес болса, онда ол сызықтық функциялары теңестіріледі.

Ішкі сызықтық регрессияның параметрлері бойынша сызықтық емес болып дәрежелік функцияны мысал ретінде келтіруге болады, оны экономикалық зерттеулердегі бағалардан сұранысты оқытуда кең қолданады:

у_і = а · х _і^b · u_і ,

мұндағы у ― сұралатын көлем;

х― баға;

u― кездейсоқ құрастырғыш.

Салыстырмалы бағаланатын параметрлердің моделі сызықтық емес, себебі оның құрамында а және b параметрлері бар. Бірақ та оны ішкі сызықтық деп есептеуге болады. әйтпесе берілген теңдеуді логарифмдеу кезінде теңдеуді сызықтық түрге әкеледі: ln y_i = ln a + b · ln x_i + ln u_i. Мұндағы ауыспалылары мен параметрлерді алмастырып, сызықтық регрессияны аламыз. Ондағы а және b параметрлердің бағалары КЕӘ-де табылуы мүмкін.

Егер модельді мына түрде көрсетсек y_i = a · x^b_i · u_і , онда ол ішкі сызықтық емес болады. Себебі оны сызықтық түрге келтіру мүмкін емес.

∑(ln y − (ln y)′)² → min.

Дәрежелік функцияның y_i = a · x^b_i · u_і параметрлерін бағалау үшін КЕӘ линеаризовандық теңдеу ln y_i = ln a + b · ln x_i + ln u_i , яғни нормалдық теңдеудің жүйесі шешіледі:

n

∑ ln y_i = n · ln a + b ∑ ln x_i;

{ n n n

i=1 i=1 i=1

Параметр b осы жүйеден анықталады, ал параметр а жанама жолымен, ln а көлемін потенцирлеуден кейін.

а параметрлері экономикалық интерпритацияланбайтын болғасын, онда тәуелділік логарифмдік сызықтың түрінде жазылады, яғни: ln y_i = A + b · ln x_i (A = ln a).

Дәрежелі функция тек қана сұраныс икемділігін оқытып қана қоймай, ұсынысты да қамтиды. Ондағы сұраныс функциядағы параметр b<0, ал ұсыныс функциясы ― b>0.

Ал қалған жағдайда гиперболаның әр түрлілігі болып табылатын кері функция қолданамыз: y_i = 1/ (a + b ·x_i + u_i).

Баға мәні көптік теңсіздік регрессия тексеру жолмен негізгі гипотезалар орындалады.

H₀=R²_Y(X1….Xm)=0 немесе = 0 (статистикалық гипотез мағыналы емес теңсіздік регрессия).

Альтернативтік – H₁ (қашанда қолданса,егер негізгі болжам сенімді емес). Статистикалық гипотез мағыналы тесіздік регрессия болады.

R²_(x1….xm) ≠ 0 немесе ≠ ≠…≠ ≠ 0 тексеру үшін негізгі гипотезі жалпы Фишер F критерия қолданады.

Сондықтан қосылатын факторының (бақылау) мәні. Ғ статистикалық критерия, мысалы коэффицент арқылы детерминацияны R²_y (x1… xm) есептелгенде санның көрсеткіші өзгереді.

Бостандық: F =

Мұнда n - бақылау саны

h - сан бағаланған параметрлер.

(болған жағдайда 2 факторынның сызықтық регрессия h═3)

Фишер кесте бойынша бөлінуі- снедоккора табатын критериялық мағына F статистикалық – F критерия .Анықтау үшін F критерия беретін теңсіздік мағына α ( әдетте оны алатын тең – 0,05) және 2 сан көрсеткіш бостандық R1 ═ h-1 және R2 ═ n-α.

Салыстыру фактор мәні F стстистикалық критерия есептеліп, берелген бақылау бойынша- F_{бақылау} ‹ F_{критерия} (α;R1 ; R2), онда негізгі гипотезі мағыналы емес, теңсіздік регрессияны қажет етпейді.

Егер F(бақ) > Fкр (α, R1,R2) онда негізгі гипотезі қажет етпейтін және қабылдайтын альтернативтік гипотез, статистикалық мәні теңсіздік регрессия.

Бағаның мәні қосымша қосылу факторы (жеке Fкр). Қажетті сондай баға баланысы мен не әрбір емес фактор, модельге кіреді, болжам үлесті көбейтуді түсіндіру үшін, вариацияның қорытындысын анықтау. Бұл мынаумен байланысты мүмкін жағдайда кіретін факторлар(өздерінің факторларының арасында корелляция орындалады).

мұнда һ – сан бағаланған параметрлер өскенде, у арасында қосымша модель факторы x_j қосылады.

Егер бақылау мәні F_xj –дан Ғкр (α; R1=1; R2= n-α)-дан үлкен болса, онда қосымша кіріспе факторы x_j модель статистиканы анықтайды .

Айталық, бағаланған фактордың x_j мәні, яғни(как) модельге қосымша y═ƒ(x₂) қосылған.Сонда жеке F_{критерия} мына формуламен есептеледі

Жеке F_{критерия} бағаланатын коэффиценттер «таза» регрессия (b_j) болып табылады. Орындалатын қарама-қарсы жеке Ғ критериясының арасында Ғ_ху және t критерия баға мәні қатысатын коэффицент регрессия j – M фактор.

t_{(bj =0)} =

Методиканы есептеуге жалпы және жеке Ғ критерияны мысалды ретінде қарастрайық.

Берелген бойынша 20 жұмысшынның әсер ететін факторлар Y, жұмышының айлық табысы, жасы x₁ және өндірілген мерзім ішінде x₂ болсын, осы берелген бойынша 7 кестені қараңыз.

Бағалаймыз, жалпы F_{критерия} мәнінің көмегімен теңсіздік регрессияны, берелген бойынша, құрастырылған

y'_х1х2 = -16,04 + 5,1 * х₁ +8,08 * х₂

Теориалық коэффицент детерминация үшін берелген теңсіздікке тең.

R²_Y(X1X2) = 0,831

Сонда:

F_{критерия (α=0,05; R1=3-1=2; R2=20-3=17 )}=3,59

Ғ_(бақ)= 41,9 < F_{критерия ,} сондықтан, теңсіздік регрессия (4) статистикалық мәні және тәжірибиде қолдануға болады.

Жеке F_{критерия сының} көмегімен бағалаймыз.

1.Мақсатты түрде (целообразность) модельдік регрессия факторына х₁ кейін х₁(Ғ_Х2) кірістірілген .

2. Мақсатты түрде (целообразность) модельдік регрессия факторына х₁ кейін х₁(Ғ_Х2) кірістірілген .

3.Мағыналы регрессия коэффициентті.

Тексеру үшін мақсатты түрде гипотездік қосылу факторы x₂ , модель регрессиясы х₁ кейін кірістірілген, олардың бақылау мағынасын жеке Ғ_{критериясын} анықтаймыз.

Мұнда R²_y(x1)=r²_yx1=0.853²=0.728 (жұпталған корриляция коэффицентті r_yx1 есептелгенде 14 сұрақты қараңыз)

F_{критерия (α=0,05; R1=3-1=2; R2=20-3=17 )}= 4,45

Бақылау мағынасын жеке F критериясы критикасын салыстыру; Ғ_Х2 > Ғ_кр. ,сондықтан мақсатты түрде қосылу факторы x_{2 ,}модель факторы х₁ кейін кірістірілген .

Мұнда, R²_Y(X2)=r²_yx2=0.7788²=0.6065.

Бақылау мағынасын жеке Ғ критерия критикасые салыстырамыз ; Ғ_х1 > Ғ_{кр.(α=0,05;R1=1;R2=20-3=17)}=4,45, сондықтан фактор х₁- жұмысшының жолы мақсатты түрде модель қосылады , кейін өндірілген мерзім ішіндегі фактор x₂ кірістірілген.

Тексеру үшін мағыналы гипотез коэффицентті В₁, бақылау мағынасы t статистикалық, х₁ факторын анықтаймыз:

оны критикалық мәнімен салыстырамыз.

t_{кр.(0,1; R=20-3=17)}=2,11.

Яғни бақылау мәні критикадан үлкен болса, онда гипотез мағыналы емес.Коэффицент регрессиясы қажет етпейді,сондықтан коэффицент регрессия В₂ мәні нөлден өзгереді.