§ 14. Рационал сандарды қосудың қасиеттері

37
4-парақша
Өрнектің мәнін табыңдар:
–7 + (–6 + 4)
–7 + (–6) + 4
–7 + (–6 + 4) = (–7 + (–6)) + 4 теңдігі тура ма?
Өрнектің мәнін табыңдар:
(–3 + 0,6) + 0,4
 –3 + (0,6 + 0,4)
(–3 + 0,6) + 0,4 = –3 + (0,6 + 0,4) теңдігі тура ма?
Егер 
а, b – рационал сандар болса, а + b өр не гін қалай түрлендіруге болады?
Рационал сандар үшін қосудың ауыстырым дылық қасиеті орындала ма?  
§ 15. Рационал сандарды азайту
Келісемін 
Келіспеймін
Қорытынды 
а санынан, мұндағы а > 0,  b санын азайту 
үшін   
b  санына  (–а)  санын  қосады,  яғни  
координатасы 
b болатын нүктені солға қарай 
а бірлікке жылжыту керек, сондықтан 
b – а = b + (–а)
Рационал сандарды азайтуды қосындымен 
алмастыруға болады.
Рационал  саннан  екінші  рационал  сан-
ды  азайту  үшін  азайғышқа  азайтқышқа 
қарама-қарсы санды  қосу керек.
Рационал  сандарды  азайту  әруақытта 
орындалады.
Теріс саннан теріс санды азайтқанда теріс 
сан шығады.

38
§ 16. Рационал сандарды қосу және азайту
 

39
§ 17. Координаталық түзудегі нүктелердің арақашықтығы
1-парақша
Тапсырма
Шешуі
Егер 
а = 3, b = 9; а = –7, b = –4; а = –5, b = 2 болса, онда коор-
динаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табыңдар.
O
x
A(a)
B(b)
0 1
3
9
?
O
x
A(a)
B(b)
0 1
–4
–7
?
O
x
A(a)
B(b)
0 1 2
–5
?
Координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табуға болатын өрнекті жазыңдар.
Егер 
а  =  3,  b  =  9;  а  =  –7,    b  =  –4;  а  =  –5,  b  =  2  болса,  онда 
координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табу үшін |
b – а| өрнегін қолдануға бола ма?
2-парақша
Тапсырма
Шешуі
Егер 
а = 6, b = 13; а = –8,  b = –3; а = –6, b = 3 болса, координаталық 
түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы  ара қашықтықты 
табыңдар.
O
x
A(a)
B(b)
0 1
13
6
?
O
x
A(a)
B(b)
0 1
–8
–3
?
O
x
A(a)
B(b)
0 1
3
–6
?
Координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
ара қашықтықты табуға болатын өрнекті жазыңдар.
Егер 
а  =  6,  b  =  13;  а  =  –8,  b  =  –3;  а  =  –6,  b  =  3  болса,  онда 
координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табу үшін |
b – а| өрнегін қолдануға бола ма?

40
3-парақша
Тапсырма
Шешуі
Егер  
а = 4, b = 12; а = –6, b = –2; а = –10, b = 2,5 болса, онда 
координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табыңдар.
O
O
O
x
x
x
A(a)
A(a)
A(a)
B(b)
B(b)
B(b)
0
0
0
1
1
1 2,5
4
12
–6
–10
–2
?
?
?
Координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табуға болатын өрнекті жазыңдар.
Егер 
а = 4, b = 12; а = –6, b = –2; а = –10, b = 2,5 болса, онда 
координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табу үшін |
b – а| өрнегін қолдануға бола ма?
4-парақша
Тапсырма
Шешуі
Егер 
а  =  5,  b  =  12;  а  =  –8,  b  =  –4;  а  =  –  9,  b  =  3  болса,  онда 
коор ди на талық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табыңдар.
O
O
O
x
x
x
A(a)
A(a)
A(a)
B(b)
B(b)
B(b)
0
0
0
12
–4
–9
1
1
1
3
5
–8
?
?
?
Координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табуға болатын өрнекті жазыңдар.
Егер  
а = 5,  b = 12; а = –8, b = –4; а = –9, b = 3 болса, онда 
координаталық  түзуде 
А(а)  және  В(b)  нүктелерінің  арасындағы 
арақашықтықты табу үшін |
b – а| өрнегін қолдануға бола ма?

41
§ 18. Рационал сандарды көбейту
1-парақша
Тапсырма
Шешуі
Теріс  санның  натурал  санға  көбейтіндісі  натурал  сандардың 
көбейтіндісі тәрізді екенін ескеріп,  (–4) · 3 өрнегінің мәнін табыңдар.
Рационал  сандарға  арифметикалық  амалдардың  қасиеттері  орын-
далатынын  ескеріп,  3  ·  (–4)  және  (–4)  ·  3  өрнектерінің  мәндерін 
салыстырыңдар. 
Таңбалары әртүрлі екі рационал санның көбейтіндісі қандай (оң не-
месе теріс) сан болады?   
Таңбалары әртүрлі екі рационал санды қалай көбейтеді?
4 және (–1) · 7; 0,8 және 0,8 · (–1) сандар жұбы қандай сандар болады?
Оң сан мен (–1) санына көбейту қасиетін теріс сандарға қолданып, 
келесі өрнектердің мәнін табыңдар: 
1) –21 · (–1) = …;
2) (–1) · (–4) = … .  
–3 = (–1) · 3 теңдігін және арифметикалық амалдардың қасиеттерін 
қолданып, –3 · (–4) өрнегінің мәнін есептеңдер.   
Екі теріс рационал санның көбейтіндісі қандай (оң немесе теріс) сан 
болады?  
2-парақша
Тапсырма
Шешуі
Теріс санның натурал санға көбейтіндісі натурал сандардың көбей-
тіндісі тәрізді екенін ескеріп,  (–5) · 4 өрнегінің мәнін табыңдар.
Рационал  сандарға  арифметикалық  амалдардың  қасиеттері  орын-
далатынын  ескеріп,  4  ·  (–5)    және  (–5)  ·  4  өрнектерінің  мәндерін 
салыстырыңдар. 
Таңбалары  әртүрлі  екі  рационал  санның  көбейтіндісі  қандай  (оң 
немесе теріс) сан болады?   
Таңбалары әртүрлі екі рационал санды қалай көбейтеді?
7 және (–1) · 7; 0,25 және 0,25 · (–1) сандар жұбы қандай сандар 
болады?
Оң сан мен (–1) санына көбейту қасиетін теріс сандарға қолданып, 
келесі өрнектердің мәнін табыңдар: 
1) –17 · (–1) = …;
2) (–1) · (–17) = … .  
–5 = (–1) · 5 теңдігін және арифметикалық амалдардың қасиеттерін 
қолданып, –5 · (–4) өрнегінің мәнін есептеңдер.   
Екі  теріс  рационал  санның  көбейтіндісі  қандай  (оң  немесе  теріс) 
сан болады?  

42
3-парақша
Тапсырма
Шешуі
Теріс санның натурал санға көбейтіндісі натурал сандардың көбейтін-
дісі тәрізді екенін ескеріп, (–9) – 3 өрнегінің мәнін табыңдар.
Рационал  сандарға  арифметикалық  амалдардың  қасиеттері  орын-
далатынын  ескеріп,  3  ·  (–9)  және  (–9)  ·  3  өрнектерінің  мәндерін 
салыстырыңдар. 
Таңбалары әртүрлі екі рационал санның көбейтіндісі қандай (оң не-
месе теріс) сан болады?   
Таңбалары әртүрлі екі рационал санды қалай көбейтеді?
2
3
 және (–1) · 
2
3
; 0,5 және 0,5 · (–1) сандар жұбы қандай сандар
 
болады?  Оң  сан  мен  (–1)  санына  көбейту  қасиетін  теріс  сандарға 
қолданып, келесі өрнектердің мәнін табыңдар: 
1) –4,4 · (–1) = …;
2) (–1) · (–4,4) = … .  
–3 = (–1) · 3 теңдігін және арифметикалық амалдардың қасиеттерін 
қолданып, –3 · (–9) өрнегінің мәнін есептеңдер.   
Екі теріс рационал санның көбейтіндісі қандай (оң немесе теріс) сан 
болады?  
4-парақша
Тапсырма
Шешуі
Теріс  санның  натурал  санға  көбейтіндісі  натурал  сандардың 
көбейтіндісі тәрізді екенін ескеріп,  (–5) · 4 өрнегінің мәнін табыңдар.
Рационал  сандарға  арифметикалық  амалдардың  қасиеттері  орын-
далатынын  ескеріп,  4  ·  (–5)  және  (–5)  ·  4  өрнектерінің  мәндерін 
салыстырыңдар. 
Таңбалары әртүрлі екі рационал санның көбейтіндісі қандай (оң не-
месе теріс) сан болады?   
Таңбалары әртүрлі екі рационал санды қалай көбейтеді?
20 және (–1) · 20; 2,25 және 2,25 · (–1) сандар жұбы қандай сандар 
болады?
Оң сан мен (–1) санына көбейту қасиетін теріс сандарға қолданып, 
келесі өрнектердің мәнін табыңдар: 
1) –37 · (–1) = …;
2) (–1) · (–49) = … .  
–5 = (–1) · 5 теңдігін және арифметикалық амалдардың қасиеттерін 
қолданып, –5 · (–4) өрнегінің мәнін есептеңдер.   
Екі теріс рационал санның көбейтіндісі қандай (оң немесе теріс) сан 
болады?  

43
§ 19. Рационал сандарды көбейтудің 
ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері
Сенемін +
Сенбеймін –
Қорытынды 
1. Рационал сандар үшін көбейтудің ауыстырымдылық 
заңы қолданылатынына сенесің бе? 
2.  Рационал сандар үшін көбейтудің терімділік заңы 
қолда ныла тынына сенесің бе?
3.  Егер  теріс  таңбалы  көбейткіштердің  саны  тақ 
болса, онда көбейтіндінің мәні теріс сан болатынына 
сенесің бе?  
4.  Егер  теріс  таңбалы  көбейткіштердің  саны  жұп 
болса,  онда  көбейтіндінің  мәні  оң  сан  болатынына 
сенесің бе?  
§ 20. Рационал сандарды бөлу
Келісемін 
Келіспеймін 
Қорытынды 
15 : (–5) = –3 теңдігі тура.
–15 : (–3)  = 3 теңдігі тура.
2  санын  3  санына  бөлгенде  периоды 
6-ға тең шексіз периодты ондық бөлшек 
шығады.
–90 : 45 = 2 теңдігі тура.
–90 : (–45) = –2 теңдігі тура емес.

44
§ 21. Рационал сандарға арифметикалық амалдар қолдану
 (1
1
5
: 0,25) – 1,8(3) = (1,2 : 0,25) – 1
83
8
90
−
 = 4,8 – 1
5
6
 = 3 + (
4
5
–
5
6
) = 3 – 
1
30
 = 2
29
30
.
 
0,3 + 0,7(6) + 1
4
11
 = 
3
10
 + 
76
7
90
−
 + 1
4
11
 = 
3
10
 + 
23
30
 + 1
4
11
 = 
32
30
 + 1
4
11
 = 1
1
15
 + 1
4
11
=
= 2
71
165
       
=
 
2,430303030...  = 2,4(30).
0,(1122) + 
67
303
– 3,(3) · 0,3  = 
1122
9999
     + 
67
303
 – 3
3
9
 ·    0,3  = 
374
3333
 + 
67
303
   – 3
1
3
 · 0,3 =
374
737
3333
+
– 3
1
3
 · 
3
10
= 
= 
1
3
 – 1 = –
2
3
. 
§ 22. Айнымалы
“Дейін”
“Кейін”
Қорытынды
Менің ойымша 
…
Менің ойлағаным 
дұрыс (дұрыс емес) ... 
Неліктен санды өрнектерде, әріпі 
бар  теңдіктер  мен  теңсіздіктерде 
әріптерді айнымалы деп атайды?  
Неліктен  әріптері  бар  өрнектерді 
ай  ны малысы  бар  өрнектер  деп 
атайды?
Санды өрнектің мәнін әр уақытта 
табуға бола ма?
Қандай  жағдайда  әріпті  өрнектің 
мәнін табуға болмайды?
Айнымалысы  бар  өрнектің  мәнін 
әр уақытта табуға бола ма?
Қандай жағдайда айнымалысы бар 
өрнектің мәнін табуға болмайды?

45
§ 23. Көбейтудің үлестірімділік қасиеті. Жақшаны ашу
1-парақша
Өрнектің мәнін табыңдар:
−
⋅
+




25 0 4
1
5
,
−
⋅
+ −
( )
⋅
25
4
25
0
1
5
,
 
−
⋅
+




= −
⋅
+ −
( )
⋅
25
0
1
5
1
5
0
,
,
4
25
4
25
 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда а · (b + c) өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Өрнектің мәнін табыңдар:
0
1
5
5
6
,6
+
⋅




0
5
6
1
5
5
6
,6
⋅ + ⋅
0
0
1
5
5
6
5
6
1
5
5
6
,
,
6
6
+
⋅ + ⋅




⋅ =
 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда (а  + b) · с өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Рационал сандар үшін үлестірімділік қасиет орындала ма?
2-парақша
Өрнектің мәнін табыңдар:
0
1
8
,8
125
⋅ −
+




0
0 8
1
8
,
,
8
125
⋅ −
+
⋅
( )
0
1
8
0
0 8
1
8
,
,
,
8
125
8
125
⋅ −
+
=
⋅ −
+
⋅




( )
 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда а · (b + c) өрнегін қалай түрлендіруге болады? 
Өрнектің мәнін табыңдар:
0 16
1
7
7
8
,
+
⋅




0 16
1
7
1
7
7
8
,
⋅ + ⋅
 
0 16
1
7
7
8
0 16
1
7
1
7
7
8
,
,
+
⋅
=
⋅ + ⋅




 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда (а  + b) · с өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Рационал сандар үшін үлестірімділік қасиет орындала ма?

46
3-парақша
Өрнектің мәнін табыңдар:
−
⋅
+




50
0 2
4
5
,
−
⋅
+ −
⋅
( )
50 0 2
50
4
5
,
−
⋅
+
= −
⋅
+ −
⋅




( )
50
0 2
4
5
50 0 2
50
4
5
,
,
 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда а · (b + c) өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Өрнектің мәнін табыңдар:
0 27
3
5
1
3
,
+
⋅




0 27
1
3
3
5
1
3
,
⋅ + ⋅
0 27
3
5
1
3
0 27
1
3
3
5
1
3
,
,
+
⋅
=
⋅ + ⋅




 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда (а  + b) · с өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Рационал сандар үшін үлестірімділік қасиет орындала ма?
4-парақша
Өрнектің мәнін табыңдар:
−
⋅
+




17
0 1
1
17
,
−
⋅
+ −
⋅
( )
17 0 1
17
1
17
,
−
⋅
+




17
0 1
1
17
,
= 
−
⋅
+ −
⋅
( )
17 0 1
17
1
17
,
 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда а · (b + c) өрнегін қалай түрлендіруге болады? 
Өрнектің мәнін табыңдар:
 
33
1
5
5
11
+
⋅




33
5
11
1
5
5
11
⋅
+ ⋅
33
1
5
5
11
33
5
11
1
5
5
11
+
⋅
=
⋅
+ ⋅




 теңдігі ақиқат па?
Егер 
а, b, c — рационал сандар болса, онда (а  + b) · с өрнегін қалай түрлендіруге болады?
Рационал сандар үшін үлестірімділік қасиет орындала ма?

47
§ 24. Коэффициент. Ұқсас қосылғыштар.  
Ұқсас қосылғыштарды біріктіру
   
“Дейін”
“Кейін”
Қорытынды 
Менің 
ойымша... 
Менің айтқаным 
дұрыс (дұрыс 
емес), өйткені ... 
2 · 
х · 10 өрнегінің коэффициенті неге тең?
Коэффициент қай орынға жазылады: 2
х
2
у 
немесе 
х
2
у · 2?
х
4
у
7
  өрнегінің коэффициенті 1-ге тең?
Коэффициенті  –1-ге  тең  –1  · 
abc  өрнегі 
қалай жазылады? 
2 · 
х · 10 өрнегін қалай ықшамдауға бо-
лады?
–2
х · 10у · (–7) өрнегін қалай ықшамдауға 
болады?
2
х + 15х + 10х өрнегін қалай ықшамдауға 
болады?
2
х
 
+
 
15
 
+
 
10
х
 
–
 
12 өрнегін қалай ықшамдауға 
болады?

48
§ 25. Тепе-теңдік. Өрнектерді тепе-тең түрлендіру
Оңай сұрақтар
.
Түсіндіретін сұрақтар
.
Шығармашылық сұрақтар
 
.
Бағалау сұрақтары
.
Практикалық сұрақтар
.
Нақтылайтын сұрақтар 
 
.

49
§ 26. Мәтінді есептерді шығару
Тақырыпты өзіндік игеруді жүзеге асыру үшін сыни тұрғыдан ойлауды 
дамыту технологияларының бірі  “Қарлы кесек”  тәсілін қолдануға болады.
1-парақша
Тапсырма
Шешуі
С у р е т т і   қ о л д а н ы п ,   м ә т і н д і   е с е п т і 
шығарыңдар. 
В пунктінен  а км/сағ жыл-
дам дықпен автобус шықты. Егер 
А және В 
пункттерінің аралығы 250 км болса, онда 
2  сағ  кейін  автобус 
А  пунктінен  қандай 
қашықтықта?
2 сағ
2 сағ
250 км
250 км
А
А
B
B
а км/сағ
а км/сағ
1.
2.
2-парақша
Тапсырма
Шешуі
Суретті  қолданып,  мәтінді  есепті  шыға-
рың дар. 
В  пунктінен  а  км/сағ  жыл дам-
дықпен  автомобиль  және 
v км/сағ жыл-
дам дықпен  автобус  шықты.  2  сағ  кейін 
олардың арақашықтығы неге тең болады?
2 сағ
2 сағ
А
А
B
C
C
B
а км/сағ
v км/сағ
а км/сағ
v км/сағ
1.
2.

50
3-парақша
Тапсырма
Шешуі
С у р е т т і   қ о л д а н ы п ,   м ә т і н д і   е с е п т і 
шығарыңдар. 
В  пунктінен    5  км/сағ 
жылдамдықпен  турист  шықты.  Егер 
А 
және 
В  пункттерінің  аралығы  s  км  бол-
са,  онда  2  сағ  кейін  турист 
А пунктінен 
қандай қашықтықта болады?  
2 сағ
2 сағ
А
А
B
B
5 км/сағ
5 км/сағ
S км
S км
1.
2.
§ 27. Санды теңдіктер және олардың қасиеттері 
Сенемін +
Сенбеймін –
Қорытынды
1.   6 – 7= 101 – 100 теңдігі санды теңдік болатынына 
сенесің бе? 
2. Теңдіктер тура және тура емес теңдіктер болаты-
нына сенесің бе?
3. Егер 
а = b болса, онда  а  + с = b + с теңдігі де 
тура болатынына сенесің бе?
4. Егер 
а = b болса, онда  а · с = b · с теңдігі де тура 
болатынына сенесің бе? 
5. Егер
 а = b,  b = c  болса, онда  а = с теңдігі де 
тура болатынына сенесің бе?
6. Егер 
а = b,  c = d болса, онда  а + с = b + d  теңдігі 
де тура болатынына сенесің бе?
7. Егер
 а = b,  c = d болса, онда  а · с = b · d  теңдігі 
де тура болатынына сенесің бе?

51

жүктеу/скачать 2,17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: