2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу.
Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жіктеуге болатынын көрсетейік. дұрыс рационал бөлшегі берілсін. Бұл бөлшек қарапайм болсын және мұндағы көпмүшеліктердің коэффициенттері нақты сан болсын.
Теорема 1. Егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болсын, яғни болсын. Онда берілген дұрыс бөлшек ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде жіктеуге болады. (*). Мұндағы А-нөлге тең емес тұрақты сан, ал дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік.
Салдар. (*) –ші теңдікке кіретін дұрыс рационал бөлшекке алдағыға ұқсас талқылауды қолдануға болады. Сондықтан, егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болса, онда оны былай жіктеп жазуға болады. . Мұндағы - қысқармайтын дұрыс бөлшек. Бұл бөлшекке де алдыңғы теореманы қолдануға болады, егер тің басқа нақты түбірлері болса.
Енді бөліміндегі көпмүшеліктің комплекс түбірлері болғандағы жағдайды қарастырайық. Нақты коэффициентті көпмүшеліктердің комплекс түбірлері қос-қостан түйіндес болатынын еске салайық. Сонда көпмүшеліктің нақты көбейткіштерге жіктегенде көпмүшеліктің әрбір түйіндес комплекс түбіріне түріндегі өрнек сәйкес келеді.егер комплекс түбірінің еселігі болса, оған өрнегі сәйкес келеді.
Теорема 2.Егер болсын, мұндағы көпмүшелігі -ға бөлінбейді, онда дұрыс рационал бөлшек -ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы на жіктеуге болады.
. Мұндағы көпмүшелігінің дәрежесі -тің дәрежесінен кем болады.
