Математика қазіргі кезде ғылым саласында ерекше орын алады. Математиканың ғылыми теориялық ізденістерімен бірге тәжірибелік қолданыстарының да ауқымының кең екені белгілі

Айнымалыға тәуелді теңсіздіктер. Сызықтық теңсіздіктер

жүктеу/скачать 0,56 Mb. бет 5/34 Дата 13.12.2022 өлшемі 0,56 Mb. #162541

1.3 Айнымалыға тәуелді теңсіздіктер. Сызықтық теңсіздіктер Теңсіздіктер те теңдіктер сияқты айнымалыға тәуелді болуы мүмкін. Мысалы, x>2, x<-5, 7x+2>18, 3x-15<0 теңсіздіктері x айнымалысына тәуелді теңсіздіктер және оларды шешуге болады. Теңсіздікті шешу дегеніміз, берілген теңсіздік ақиқат болатын х айнымалысының мәндерін табу. Теңсіздік ақиқат болатын айнымалының мәні теңсіздіктің шешімі деп аталады. x > 2 теңсіздігінің оң жағында орналасқан 2 саны осы теңсіздіктің шекарасы деп аталады. Теңсіздіктің белгісіне қарай шекара теңсіздік шешімдерінің жиынына жатуы да, жатпауы да мүмкін. x > 2 теңсіздігін қатаң теңсіздік деп атайды да, оны былай оқуға болады: «x 2-ден қатаң үлкен». Яғни, x айнымалысы қабылдайтын барлық мәндер 2-ден үлкен болуы керек. Әйтпесе, теңсіздік ақиқат болмайды. Егер бізге қатаң емес x ≥ 2 теңсіздігі берілсе, онда бұл теңсіздіктің шешімдері 2 санының өзін қоса алғандағы 2-ден үлкен барлық сандар болар еді. Бұл теңсіздікте 2 шекарасы шешімдер жиынына жатады. Теңсіздік 2 саны ≥ 2 болғанда, біз 2 ≥ 2 шынайы теңсіздікті аламыз. Қатаң емес теңсіздік оның шарттарының ең болмағанда біреуі орындалса, ақиқат теңсіздікке айналады. 2 ≥ 2 теңсіздігі 2 = 2 шартын қанағаттандыратындықтан 2 ≥ 2 теңсіздігі ақиқат болады. Теңсіздіктерді шешу кезінде мынадай қасиеттерді қолданылады: теңсіздіктің бір бөлігінен екінші бөлігіне мүшелерді ауыстыру, таңбасын өзгерту; теңсіздіктің екі жағын бірдей санға көбейту (немесе бөлу). Бұл қасиеттерді пайдалану бастапқы берілген теңсіздікке эквивалентті теңсіздікті алуға мүмкіндік береді. Шешімдері бірдей теңсіздіктер эквивалентті теңсіздіктер деп аталады. Теңсіздіктерді шешу кезінде осы теңсіздіктің сол жағында айнымалы, ал оң жағында шекаралық мәні қалғанша, бастапқы теңсіздікті оған эквивалентті теңсіздікке ауыстыра беру керек. Мынадай теңсіздіктерді қарастырайық: kx + b > 0, kx + b ≥ 0, kx + b < 0, kx + b ≤ 0, (1) мұндағы   , x - айнымалы, сызықтық теңсіздіктер (немесе бірінші дәрежелі теңсіздіктер) деп аталады. (1) түріндегі берілген айнымалысы бар теңсіздікті ақиқат сандық теңсіздікке айналдыратындай айнымалының әрбір мәні теңсіздіктің шешеімі деп аталады. Айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу – оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдері жоқ екенін дәлелдеу. Шешімдері беттесетін бір айнымалысы бар екі теңсіздік пара-пар теңсіздік деп аталады, дербес жағдайда шешімдері жоқ екі теңсіздік пара-пар деп аталады. (1) түріндегі берілген теңсіздіктерінің шығарылу тәсілдері ұқсас болады, тек бірінші тұрған теңсіздікті шығаруға тоқталайық, яғни kx + b > 0 теңсіздігінің шешімдерін табуды қарастырайық. Ол үшін мынадай жағдайлар қарастырылады: k> 0 деп ұйғарайық, сонда kx + b > 0   kx > -b   x > -b/k осыдан, kx + b > 0 теңсіздігінде (k > 0) шешімдері мынадай түрде жазылады (-b/k;+ ); k < 0 деп ұйғарайық, сонда kx + b > 0  kx > -b  x < -b/k осыдан, kx + b > 0 теңсіздігінде (k < 0) шешімдері түрде жазылады (-;-b/k) k = 0 болғанда теңсіздік 0·x + b > 0 түріне келеді де, b > 0 болатын барлық нақты сан теңсіздікке шешім бола алады, ал b ≤ 0 болғанда қарастырылып отырған теңсіздіктің шешімі болмайды. Сызықтық (бірінші дәрежелі) теңсіздіктің шешімдері жайлы жоғарыда көрсетілгендерді көбінесе былай жазады: kx + b ( бірінші дәрежелі көпмүшелігі: а) k>0 болғанда барлық үшін теріс; үшін оң болады б) k<0 болғанда барлық үшін оң және барлық үшін теріс болады. Дербес жағдайда, екі мүшелігі санын білдіретін сандық осьтің нүктесінің оң жағында орналасқан барлық тер үшін оң сан, ал сол нүктенің сол жағында орналасқан барлық тер үшін теріс сан болады. Сонымен, нүктесі сандық осьтің екі бөлігінде орналасады: нүктесінің оң жағы үшін екімүшелігі оң, ал нүктесінің сол жағы үшін, ол – теріс сан болады. Сызықтық теңсіздіктерді шешуге мынадай мысалдар қарастырайық: a) 3x + 6 > 0 6 санын теңсіздіктің оң жағына шығарайық, сонда 3x > -6 болады. Теңсіздіктің екі жағын да 3-ке бөліп жібереміз, сонда x > -2, демек, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2;+ ) болады. б) -2x + 3 ≥ 0. 3 санын теңсіздіктің оң жағына шығарамыз: -2x ≥ -3. Енді теңсіздіктің екі жақтағы бөліктерін (-1)-ге көбейтіп жібереміз, сонда теңсіздіктің таңбасы қарама-қарсыға өзгереді, сонан соң теңсіздіктің екі жақ бөлігі 2-ге бөліп, мынадай шешімін табамыз x ≤ 3/2, немесе бұл табылған шешімді мынадай жиындар түрінде көрсетуге де болады (-∞;3/2]. в) 2(x+1)+x<3x+1. Алдымен элементар түрлендірулер жасаймыз да сызықтық теңсіздікке келтіреміз: 2(x + 1) + x < 3x + 1 2x + 2 + x < 3x + 1 0·x + 1 < 0. 1 < 0 – жалған сандық теңсіздік шыққандықтан, бастапқы берілген теңсіздіктің шешімдері болмайды. г) 3x + 2 ≥ 3(x - 1) + 1. Элементар түүрлендіру жасау нәтижесінде 3x + 2 ≥ 3(x - 1)+1 мынадай эквивалентті теңдеуге келтіреміз: 3x + 2 ≥ 3x - 3+1. Ұқсас мүшелерін біріктіргенде шығатыны: 0·x + 4 ≥ 0. Демек, кез келген нақты сан бастапқы берілген теңсіздіктің шешімі бола алады.  Сызықтық теңсіздікке келтірілетін теңсіздікті шешу мысалын қарастырайық: жүктеу/скачать 0,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу: