Практикум по решению задач
Таблица спектров механических моментов и их проекций
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
Атомная физика. Практикум по решению задач.
- Бұл бет үшін навигация:
- Примеры решения задач Пример 7.1.
- Пример 7.2.
- Пример 7.3.
Таблица спектров механических моментов и их проекций
Примеры решения задач Пример 7.1. Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов: а) , если (x) = (x+a), где а =const. б) , если (x) = 0 при x = 0, l Решение Составим уравнение на собственные функции и собственные значения оператора , где - собственное значение оператора . Решим это уравнение для операторов а) и б): а) . Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое будем решать методом разделения переменных: . Интегрируя это уравнение, получим , откуда - собственная волновая функция оператора , const C находится из условия нормировки. Чтобы найти , накладываем на найденную волновую функцию заданное условие непрерывности (x) = (x + a), . из этого уравнения получим, что , или по теореме Эйлера Из полученного уравнения следует: Из решения системы уравнений найдем, что - собственное значение оператора, где n = 0, 1, 2… . б) или + = 0 – линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Составим характеристическое уравнение: Z2 + k2 = 0, где k2 = . Так как корни этого характеристического уравнения мнимые , решение дифференциального уравнения можно записать в виде: , где С1 и С2 – const. Для нахождения накладываем на полученную волновую функцию , заданные граничные условия, а именно: , , где n = 0, 1, 2…… Следовательно собственное значение оператора , будет иметь вид: . Пример 7.2. Найти собственное значение оператора , принадлежащее собственной волновой функции А(x) = exp (-x2/2). Решение Составим уравнение на собственные волновые функции и собственные значения оператора . , где - спектр собственных значений оператора или результат действия оператора на волновую функцию (x). Так как вид собственной волновой функции известен, подействуем оператором на собственную волновую функцию А(x) = exp (- x2/2): . Таким образом, получили, что . Сравнивая последнее уравнение и первое, видим, что =1. Пример 7.3. Проверить следующие равенства для коммутаторов: а) , где f (x) - произвольная функция координаты x. б) в потенциальном поле U(x). Решение Подействуем коммутаторами на произвольную волновую функцию а) . Учитывая, что оператор , а f (x) – оператор умножения, найдем: . Таким образом, получили следующее равенство: . Откуда видно, что коммутатор . б)
Так как оператор Гамильтона , где U(x) – оператор умножения, получим: , . Проведя несложные математические преобразования, найдем разность: . Введя в полученное выражение оператор проекции импульса , найдем, что . Следовательно . жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|