Евклид кеңістігіндегі тұрақты иілімді және бұралымды сызықтар мен беттер туралы Беттің ішкі квадраттық формасы. Беттің берілген бағыттағы нормал қисықтығы. Менье теоремасы. Бас қисықтар мен бас бағыттар
жүктеу/скачать 473,4 Kb.
|
реферат
|
Евклид кеңістігіндегі тұрақты иілімді және бұралымды сызықтар мен беттер туралы Беттің ішкі квадраттық формасы. Беттің берілген бағыттағы нормал қисықтығы. Менье теоремасы. Бас қисықтар мен бас бағыттар. Эйлер формуласы. Гаусс және орташа қисықтықтар. Жанасатын параболоид және регулярлық беттегі нүктелер типтері. Беттің сфералық бейнелеулері және Гаусс қисықтары. Біз бұған дейін қандай да бір болмасын қисықтың теңдеуін қорытып шығару үшін белгілі бір координаталар системасын, мәселен, аффиндік, не тік бұрышты , не поляр, не болмаса тағы басқа бір координаталар системасын қарастырдық. Өзіміз таңдаған системада қисықтың теңдеуін алып, осы теңдеу бойынша қисықтың қасиеттерін көрсетіп, пайымдаулар мен тұжырымдарға келдік. Бұдан шығатын қорытынды: қисықтың теңдеуі координаталар системасына тәуелді. Енді мынадай заңды сұрақ туады: қисықты координаталар системасына тәуелсіз яғни координаталар системасына байланыссыз теңдеу арқылы анықтап, осы теңдеу арқылы қисықты сипаттауға бола ма? Бұл сұрақты басқаша мағынада былай тұжырымдауға болады: қисықтың теңдеуін тек оның геометриялық түрімен (пішінімен), демек, формасымен ғана анықтауға болма ма? Жалпы жағдайда, алдағы уақытта қисықтың геометриялық түріне ғана тәуелді теңдеу арқылы анықтап, сипаттауға болытыны көрсетеміз. Қисықтың координаталар системасына тәуелсіз, тек геометриялық формасымен сипатталатын теңдеулері қисықтың натурал (табиғи ) теңдеулері деп аталады. Қисықтың табиғи теңдеулерін қорытпастан бұрын белгілі түсініктерді еске түсіре кетелік. Координаталар системасын түрлендіргенде фигураның өзгеріссіз қалатын қасиеттері инвариант деп аталады. Мәселен, кез келген қисықтың доғасының ұзындығы, иілім және бұралымы қисықтың инварианты болып табылады. Үзіліссіз γ қисығының ілеспелі ілеспелі үш серігі (іліктес үш серігі) осы қисықтың доғасының s ұзындығының вектор-функциясы болады, себебі: k=, x=- Олай болса, γ қисығы бойынша: k=k(s), x=x(s) функцияларын аламыз. Бұл теңдеулер қисықтың натурал немесе табиғи теңдеулері деп аталады. Қисықтың табиғи теңдеулерін табуға мысал келтірелік: 1 мысал. Гиперболалық винттік сызық келесі теңдеулер бойынша анықталады: x=a cht, y=a sht, z=at гиперболалық винттік сызықтың натурал теңдеулерін жазу керек. Шешуі. Бұл қисықтың доғасының s ұзындығы s==a Енді k – иілімді есептейміз; ол үшін әуелі x,y,z айнымалыларынан t параметрі бойынша бірінші, екінші ретті туындыларды табамыз: x′=asht, y′=acht, z′=a; x′′=a cht, x′′=a sht, z′′=0 сонда k= Сонымен, гиперболалық винттік сызықтың иілімі k: k=, ал s=a Соңғы екі теңдеуден t параметрін шығарамыз: sh t = болғандықтан, . Бірінші теңдеуге қойсақ: k= осы табылған теңдеу гиперболалық винттік сызықтың табиғи теңдеуі. 2 мысал. Циклоида x=a(t-sint), y=a(1-cost) параметрлік теңдеулерімен берілген. Циклоиданың табиғи теңдеуін жазу керек. Шешуі. t параметрі бойынша алынған бірінші және екінші ретті туындылады табамыз: x′=a(a-cost), y′sin t x′′= sint·a, y=a cost және
s=4acos Доғаның s ұзындығынан: cos Иілім k- ға қойып, түрлендіреміз: k= k= Циклоиданың табиғи теңдеуі: Беттер теориясын зерттеу үшін, қисықтар теориясын зерттегеніміздей беттің қарапайым бөлігі түсінігін анықтап, беттің топологиялық анықтамасын береміз. Егер евклидтік кеңістігінің жиыны топологиялық бейнелеуде қарапайым ω облысысының бейнесі болса, онда Ω қарапайым бет деп аталады. Аналитикалық геометрия және математикалық анализ курсынан бет F(x,y,z)=0 (1) айқындалмаған теңдеуімен берілетіндігін белгілі. Егер (1) теңдеу Z (не x, не y) бойынша шешілсе, демек, Z=f(x,y) (2) болса, онда (2) теңдеу беттің айқын теңдеуі деп аталады. y=f(x) функциясының графигін құрғандай z=f (x,y) теңдеуін де геометриялық тұрғыдан түсіндіруге болады. Кеңістікте тік бұрыш координаталар системасын алайық. жазықтығында x пен y-тің өзгеру облысын G деп белгілеп, сосын M′ (x,y) нүктесінде тұрғызылған перпендикуляр түзудің бойын z=f (x,y) мәнін өлшеп салсақ, сонда пайда болған нүктелердің геометриялық орны z=f (x,y) функциясының кеңістіктегі графигі болады. ω облысындағы (α жазықтығында) нүктесінің декарттық координаталары (u,ν) , ал Ω облысында(u,ν) нүктесіне сай М нүктесінің координаталары (x,y,z) болсын, сонда x=x(u,ν) , y=y(u,ν) , z=z(u,ν) (3) тәуелділігінің орындалатыны анық. (3) теңдеу Ω бетінің, параметрлік теңдеуі деп аталады. Бет нүктелерінің ішкі координаталары Ф: r = r(u, v), (u, v) G беті берілсін. Онда беттің әрбір нүктесіне (u, v) қос сан сәйкес келеді. Бұл сандарды беттің нүктесінің ішкі немесе гаусстық координаталары деп атаймыз. Беттің теңдеуі және оның ішкі координаталары берілсе. Онда сол нүктенің декарттық координаталарын табуға болады. G жиынындағы (u, v) координаталарының біреуі өзгеріп, екіншісі тұрақты болатын сызықтарды координаталық сызықтар деп атайды. G жиынындағы бірнеше координаталық сызықтар жүргізейік (3-сурет). Егер бет регулярлық болса, онда осы сызықтарға сәйкес Ф беті де сызықтармен бөлінеді. Бұл сызықтарды Ф бетіндегі қисық сызықты координаталық сызықтар дейді. Сонда ru , rv векторларға бағытталған осы қисық сызықты координаталық сызықтардағы берілген нүктедегі сәйкес u = const , v = const сызықтарының жанамалар болады. u v = const ru G Ф u = const rv М v
3 – сурет. Беттің екінші квадраттық формасы (өрнегіі) Ф: r = r(u, v) Ck(G), k1, регулярлық беті берілсін. - беттегі қандай да бір регуляр сызық болсын. Кез келген М(u, v) нүктеде жүктеу/скачать 473,4 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|