Евклид кеңістігіндегі тұрақты иілімді және бұралымды сызықтар мен беттер туралы Беттің ішкі квадраттық формасы. Беттің берілген бағыттағы нормал қисықтығы. Менье теоремасы. Бас қисықтар мен бас бағыттар

(Г) формулалар деривациалық формулалар деп аталады.

Ф: r = r (u, v) C^k(G), k1, регулярлық беті және Ф регулярлық сызығы берілсін.

А н ы қ т а м а 2.14. Егер Ф сызығының кез келген нүктесіндегі бас нормалі, Ф бетінің сол нүктедегі нормалімен бірдей болса, онда сызығы беттің геодезиялық сызығы деп аталады.

Беттегі түзу сызық геодезиялық сызық деп есептеуге болады, сферадағы үлкен дөңгелек шеңберлері геодезиялық сызықтарға мысал бола алады, өйткені үлкен дөңгелек шеңберінің бас нормалі мен сфераның нормалі сфера центрі арқылы өтеді.

Енді кез келген регулярлық беттегі геодезиялық сызықтарды қалай табуға болады? - деген сұрақты қарастырайық. Ф бетінде орналасқан геодезиялық сызықтың ішкі теңдеу u = u (s), v = v (s) болсын.

1. Беттің кез келген (u₀, v₀) нүктесіарқылы берілген бағытта бір ғана геодизиялық сызық өтеді.

2. Беттің әрбір түрлі (u₀, v₀) , (u₁, v₁) екі нүктесі арқылы бір ғана геодизиялық сызық өтеді.

Вариациялық есептеу әдістерін қолданып, мына қасиеттің орынды болатынын көрсетуге болады

3. А және В - беттің мейлінше жақын орналасқан нүктелері болсын. Онда А және В нүктелері арқылы өтетін геодизиялық сызықтың дағасы осы нүктелерді қосатын сызықтардың ең қысқасы болады.

Ф регулярлық беттің геодезиялық сызығы берілсін. Кез келген М нүктесіне Т(М₀) жанама жазықтық жүргізіп, оған иілім векторын проекциалайық. Сонда иілім векторының проекциясы геодезиялық сызықтың геодезиялық иілімі деп аталады: g =

Бұл формуладан геодизиялық иілім үшін мына теорема шығады.

Т е о р е м а 2.3. Геодезиялық тілім беттің ішкі геометриясының объектісі болады.

Гаусс – Бонне теремасы

Ф регулярлық бет берілсін. Осы бетте орналасқан Q бетшесі дөңгелекке гомеоморфты болсын және оның шекарасы геодезиялық сызықтардан құрылсын. Мұнда әр түрлі екі геодезиялық сызық бір нүктеде қилыссын. Онда Q геодезиялық көпбұрыш берілді дейміз. Ал, оның шекарасында жатқан геодезиялық сызықтарды геодезиялық көпбұрыштың қабырғалары, қилысу нүктелерді – төбелері дейміз.

Төбелері А₁, А₂, ..., А_n болатын геодезиялық n – бұрыш берілсін. арқылы және қабырғалардың арасындағы бұрыштарды белгілейік.

Онда (Г- Б)

теңдігі орындалады, мұнда К беттің гаусстық иілімі, ал .

(Г- Б) формула Гаусс-Бонне теоремасы деп аталады.

(Г-Б) формуланы геодизиялық үшбұрыш үшін мына түрде жазылады:

Бұл теңдіктегі шама геодизиялық үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы жазық бұрыштан қаншалықты ауытқығанын көсетеді. Егер К гаусстық иілім тұрақты сан болса, онда (2.56) теңдікті

түрінде жазуға болады, мұнда S(Q) - Q бетшенің ауданы.

Сонымен, гаусстық иілімі тұрақты беттер үшін геодезиялық үшбұрыштың төмендегідей қасиеттерге ие болады:

1⁰. K > 0 болса, онда геодезиялық үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ден артық болады, яғни > .

Радиусы а-ға тең сфера оң йілімді бет екені белгілі, ал сферада геодезиялық сызықтар үлкен дөңгелек шеңберлер болғандықтан мұндағы геодезиялық үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы -ден артық болады.

2⁰. K = 0 болса, онда геодизиялық үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ге тең болады, яғни = .

Жазықтықтың барлық нүктелері үшін иілім нөлге тең, жазықтықтағы геодезиялық сызықтар түзулер болғандықтан мұда үшбұрыштың үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ге тең болады.

3⁰. K < 0 боса, онда геодезиялық үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ден кем болады, яғни < .

Иілімі тұрақты сан болатын беттердің бірі - псевдосфера екені белгілі. Псевдосферадағы геодезиялық үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -ден кем болады.

Тұйық беттердің топологиялық қасиеттері

Гомеоморфты бейнелеулер кезінде өзгермейтін шамалар (топологиялық инварианттары) көмегімен беттерді әртүрлі топтарға бөлуге болады. Мұндай зерттеулерде беттің эйлер сипаттамасы (топологиялық инварианты) негізгі орын алады.

21 – сурет. 22 – сурет. 23 – сурет.

сызықтар S₀ сферадағы кіші шеңберлер болсын және + жиындары қос-қостан ортақ нүктелерге ие болмасын. Сонда S₀ - - … - беті p ойықты сфера деп аталады (22 - сурет ).Тұтқа деп тік дөңгелек цилиндрдің бүйір бетіне гомеоморфты шеті бар бет аталады (23 - сурет). Тұтқаның шеті әрқайсысы шеңберге гомеоморфты болатын және екі жай тұйық сызықтардан құрылған.

Егер S₀ - - ойық сфераға үш тұтқа жапсырсақ, онда алынған бет 3 тұтқалы сфера деп аталады (24 - сурет).

24 – сурет. 25 – сурет.

Бір тұтқалы сфераны созу арқылы, яғни топологиялық түрлендіру арқылы торға айналдыруға болады. 25 – суретте мұндай деформацияның схемасы көрсетілген. Демек бір тұтқалы сфера торға гомеоморфты болады.

Сол сиқты p тұтқалы сфераны p ойықты крендельге гомеоморфты болатынын тағайындауға болады (26 - сурет).

26 – сурет.

1. 
   барлық сызықтар кесіндіге гомеоморфты;
   
2. 
   кез келген екі сызық екіден артық емес ортақ нүктелерге ие болады;
   
3. 
   кез келген сызықтың екі шетінен басқа сызықтардың кем дегенде бірі тарайды;
   
4. 
   бет сызықтар арқылы G₁, G₂, …,G_s бетшелерге (клетка)
   

5. 
   әрбір сызығы тек қана екі бетшенің шекарасына тиісті;
   
6. 
   Ф₀ =
   

шеттерінің қилысу нүктелері - төбелері, ал сызықтар тобымен шектелген бөліктер - бетшелер деп аталады. Сонда тұйық Ф₀ беті үшін эйлер сипаттамасы деп аталатын e – k + f сан анықталады, мұнда е – төбелер саны, k - қырлар саны, ал f – бетшелер саны.

Т е о р е м а. 1. Эйлер сипаттамасы бетті бөліктерге бөлу тәсіліне тәуелді болмайды.

Бұл теоремалардың дәлелдемелері П.С.Александровтың «Комбинаторная топология», М.-Л.,1947 және Зейферт және Трельфалльдің «Топология», М.-Л., ОГИЗ, 1933 кітаптарында келтірілген.

Есеп 2.2. r(t) = (Cos³t , Sin³t , Cos2t) сызығының t₀ = нүктесіндегі

= {M₀, , , } реперінің координаталық векторларын табыңдар, осы нүктедегі жанаманың, бинормальдің, бас нормальдің теңдеуін жазыңдар және иілімін, бұралымын есептеңдер.

Шешуі. r'(t₀), r''(t₀), r'''(t₀) векторлардың координаталарын есептелік:

x' = -3Cos²t ∙ Sint, x' () = - , y' = 3Sint Cost, y'() = , z' = - 2Sin2t, z' () = -2,

r'() = (- , , -2 ).

x'' = 3Cost (2Sin² t - 1), x'' () = , '' = 3Sint (Sint – 1), y''() = , z'' = - 4Cos2t , z''() = 0, r''() = (, , 0 ).

x''' = 3Sint (Sin² t - 2), x''' () = , y''' = 3Cost (2 - 9Sin² t), y''' () = - ,

z''' = 8Sin2t , z''' () = 8, r'''() = (, -, 8 ).