Функцияны Фурьенің тригонометриялық қатарына жіктеу. Кез келген аралықтағы Фурье қатары. Дәрістің мақсаты

Функцияны Фурьенің тригонометриялық қатарына жіктеу.
Кез келген аралықтағы Фурье қатары. 
Дәрістің мақсаты:
әр түрлі периодты процестерде қолданылатын Фурье қатары туралы 
түсінік беру. 
Фурьенің тригонометриялық қатары. 
Функционалдық қатардың келесі түрін тригонометриялық қатар дейді:
(1) 
мұндағы a0, an, bn (n=1,2,…) қатардың коэффициенттері деп аталады. an және 
bn коэффициенттерін есептейік. Ол үшін (1) теңдігін –π ден π-ге дейін 
интегралдаймыз:
(2) 
Бұдан
. (3) 
(2) теңдігінің екі жағын да cosmx-ке көбейтіп, -π мен π аралығында 
интегралдасақ:
Бұдан
Тура осы жолмен (6) теңдікті sinmx-ке көбейтіп, [-π; π] аралығында жеке-жеке 
интегралдасақ, келесі формула шығады: 
.

функциялары ортогональдық қасиетімен иемденеді, яғни ұзындығы 2π болатын 
интервалда осы функциялардың кез келген екеуінің көбейтіндісінің интегралы 0-ге тең. 
(3-5) формулаларымен анықталатын a0, an, bn сандарын f(x) функциясының Фурье 
коэффициенттері, (2) қатарын – f(x) функциясының Фурье қатары дейді. 
[-π;π] арлығында интегралданатын f(x) функциясын келесідей жазады: 
. 
Егер бұл қатар жинақты болса, онда оның қосындысын S(x) арқылы белгілейміз. 
Периоды 2π болатын периодты функцияларды Фурье қатарына жіктеу. Дирихле 
теоремасы. 
Периоды Т=2π болатын f(x) функциясын қарастырамыз. 
Функцияны Фурье қатарына жіктеудің жеткілікті шарттарын көрсететін теореманы 
тұжырымдайық. 
Теорема. Периоды 2π-ге тең периодты f(x) функциясы [-π;π] аралығында мына екі 
шартты қанағаттандырсын: 
1) f(x) функциясы бөлікті-үзіліссіз, яғни үзіліссіз немесе тек қана 1-текті үзілісі бар; 
2) f(x) бөлікті-монотонды, яғни бүкіл кесіндіде монотонды немесе әр интервалда 
берілген функция монотонды болатындай бұл кесіндініні ақырлы интервалдар санына 
бөлуге болады. 
Онда f(x) функциясына сәйкес Фурье қатары осы кесіндіде жинақты болады, 
сонымен қатар: 
1) функцияның үзіліссіз нүктелерінде S(x) қатардың қосындысы беріл-ген 
функциямен сәйкес келеді: S(x)=f(x); 
2) әр х0 үзіліс нүктесінде қатардың қосындысы 
яғни f(x) функциясының арифметикалық ортасына тең;
3) х=-π және х=π кесіндінің шеткі нүктелерінде қатардың қосындысы: 
. 
Сонымен, f(x) функциясы теореманың 1 және 2 шарттарын қанағаттан-дырса 
(Дирихле шарттары), онда [-π; π] аралығында (1) жіктеліс орын алады. 
Жұп және тақ функцияларды Фурье қатарына жіктеу. 
Егер f(x) жұп болса,онда оның Фурье қатары мынадай: 
(4) 
Егер f(x) тақ болса, онда оның Фурье қатары мынадай: 
(5) 
Егер f(x) функция функциясы жұп болса, онда f(x)cosnx –жұп 

функция 
, ал f(x)sinnx –тақ 
функция 
. 
Егер f(x) тақ функция болса, онда f(x)cosnx тақ болатыны белгілі, ал f(x)sinnx жұп 
болады. 
(4) және (5) қатарлар толық емес тригонометриялық қатарлар немесе косинус 
арқылы және синус арқылы жіктелген қатарлар деп аталады. 
Егер f(x) функциясы –периоды 2π болатын периодты функция болса, онда мына 
формула орынды: 
мұндағы –кез келген сан. 
Кез келген аралықтағы Фурье қатары. 
Бізге периоды 2λ болатын периодты f(x) функциясы берілсін. Бұл функцияны Фурье 
қатарына [-λ;λ] аралығында жіктеу керек болсын.
функциясын қарастырамыз. Бұл функция t аргументі бойынша пе-риоды 2π-
ге тең периодты функция, себебі t=π болса, онда f(λ), t=-π, онда f(-λ). 
Олай болса, оны Фурье қатарына [-π; π] аралығында жіктеуге болады, яғни 
, 
мұндағы коэффициенттерді табу формулалары: 
Коэффициенттерді табу формулаларында ескі x айнымалысына көшсек: 

Тура осылай
, 
коэффициенттерін табамыз:
Сонымен [-λ;λ] кесіндісінде периодты функциясы үшін Фурье қатарын алдық: 
. (6)