Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық



бет439/503
Дата08.07.2017
өлшемі67,2 Mb.
1   ...   435   436   437   438   439   440   441   442   ...   503
Геометрия. Геометрия аксиомалары

  • Негізгі ұғымдар мен анықтамалар

  • Негізгі геометриялық объектілер


    1. Қоршаған ортаны, заттарды бақылай отырып, олардың сыртқы түрінің, қасиеттерінің көптеген айырмашылықтарын байқаймыз.

    Бір зат екіншісінен өзінің түрі, салмағы сұйықты, қаттылық т.б. қасиеттері арқылы ерекшеленеді. Әрбір зат осындай көптеген қасиетке ие бола тұра олардың барлығына ортақ мынандай қасиеттердің бар болатынан байқауға болады: әр заттың формасы (сыртқы пішіні) және өлшемі болады. Әртүрлі заттарды даярлағанда талапқа қарай оның формасы мен өлшемі беріледі.

    Мысалы, артиллерия снарядына ол көздеген қашықтыққа ұшып жететіндей форма берсе, корабльдің сыртқы қорабын – су бетінде тепе-теңдік қалыпты сақтайтындай және теңіз толқындарын тез кесіп өтетіндей формада жасайды.

    Әрбір заттың басқа заттардың арасында өзінің алатын орны, атқаратын рөлі бар екенін байқаймыз.

    Практикада заттардың ара қашықтығын анықтай алу, оларды белгілі бір қашықтыққа орын ауыстыра білудің маңызы зор.

    Заттың формасын, өлшемін және олардың өзара орналасуын зерттеу адам білімінің жаңа бөлігін құрайды.

    Заттардың формасын, өлшемін, өзара орналасуын зерттейтін ғылым геометрия деп атайды.

    Адамдар өзінің дамуының алғашқы сатысында ақ қоршаған ортаны, заттарды, олардың формалары, қайда орналасқанын біле бастады. Олар аң аулау, мекен ету, тұрақтау орындарын еске сақтады. Біртіндеп әртүрлі заттардың ара қашықтығын анықтауға, мекен жайларының өлшемін білуге т.с.с. үйрене бастады.

    Адамдардың қоғамдық өмірінің дамуына қарай заттардың формасын, өлшемін, олардың өзара орналасуын білу қажеттілігі арта түсті және бұл жөнінде үлкен білімділікті талап етті.

    Ертедегі Египетте (Мысырда) Ніл өзенінің көктемгі тасуы көптеген жер иілімдерінің шекаралары жыл сайын жайып кетіп отырды. Оны қалпына келтіру үшін бұл жерде үлкен есептеу және өлшеу жұмыстары жүргізілді. Осындай жұмыстарды орындау барысында сызықтардың ұзындығын, жер телімінің ауданын есептеуге, оларды жоспарлауға ықыңғайлы ережелер жазылып, сақталып отырды.

    Гректер мысырлықтармен сауда жасау барысында осы ережелермен танысып, оларды толықты және оны біртіндеп біртұтас ғылымға дейін жетілді. Бұл ғылым – жер өлшеу өнері ғылымы – геометрия деп аталды (ńn-жер, metretv-өлшеу).

    Б.э.д III-ғасырда өмір сүрген грек ғалымы Евклид бұл ғылымды ерекше нақты зерттеп, оны арифметикамен қоса, өзінің «Негіздер» деп аталатын он бір кітабында баяндады. Содан бері ғасырлар бойы геометрия осы кітап бойынша оқытылып келді. Қазіргі мектептегі геометрия оқулығы «Негіздер» кітабының үлгісі бойынша жасалған.


    2.1.Геометриялық дене.

    Заттың физикалық қасиетіне көңл аудармай оның формасы мен өлшемін зетегенде бұл затты «геометриялық дене» деп атайды. Егер формалары мен өлшемдері бірдей, бірақ әртүрлі материалдан жасалған екі затты қарастырсақ, оларды физикалық қасиеттерінің әр түрлі екеніне көңіл аудармай, бірдей геометриялық дене деп ұғамыз.

    Мысалы, өлшемдері бірдей резина доп пен сабын көпіршігі бірдей геометриялық дене болады.

    Физикалық дене өз орнын басқа денелерге қатысты өзгертсе немесе бір ортадан екінші ортаға ауыса, физикалық қасиетін, формасын, өлшемін аздап болса да өзгертеді. Ал геометриялық дене заттың физикалық қасиетінетәуелсіз деп қарстырылады. Сондықтан оның мынандай қасиеті болады: геометриялық дене басқа денелердің арасында өзінің өлшемін, формасын, құрамдас бөліктерінің өзара орналасуын өзгертпей еркін орын ауыстыра алады.



    1. Бет.

    Кез келген физикалық дене басқа денелерден өзінің беті арқылы бөлектенеді.

    Дененің бетін сол дененің өзінен бөлек қарастыруға болады. Шындығында мұндай жеке бет болмайды. Оны біз көз алдымызға елестету арқылы ғана жасаймыз. Практикада беттің мысалы ретінде өте жұқа қағаз бетін, сабын көпіршігінің қабығын келтіруге болады. Геометриялық бетті біз ешқандай қалдықсыз елестетеміз.



    1. Сызық.

    Дене беттерінің қиылысатынын білеміз. Мысалы, пеш мұржасының төбенің бетімен, кубтың жағы оның табанымен қиылсады. Беттердің қиылысуы сызық болады. Сызықты әдетте геометриялық денеден жеке бөліп ешқандай ені жоқ жіңішке жіп сияқты қарастырады. Геометриялық сызықтар табиғатта кездеспейді. Оны да біз өз елесімізде тудырамыз.

    1. Нүкте.

    Екі сызық қиылысуы мүмкін. Осындай қиылысу негізінде нүкте пайда болады. Мысалы, кубтың ені қырыының қиылысу оның төбесі болады. Кубтың төбелері – нүктелер.

    Нүктені сызықтан бөлекте қарастыруға болады. Оны өте ұсақ түйір немесе өте жіңішке инемен қағаз бетін тескенде пайда болған із түрінде елестетуге болады. Нүктенің ешқандай өлшемі жоқ. Геометриялық нүкте табиғатта кездеспейді.

    Нүктелерді латынның бас әріптерімен: A, B, C... белгілеу қабылданған.
    Сызық және беттің пайда болуы.

    Егер нүкте қандай да бір қозғалыста болса, ол сызық сызады. Мысалы, ұшы өте үшкір қарындаш қағаз бетімен қозғалса, қарындаш ұшының ізі сызық болады. Дәл осылайша, найзағайдың жарқылының ізі де сызық. Мұндай мысалдарды көптеп келтіруге болады.

    Егер сызық бір қалыптан екінші қалыпқа ауыссы, ол бет сызады. Мысал ретінде велосипед тұтастай диске айналды.
    Қарапайым сызық және бет.


    1. Түзу сызық.

    Сызықтардың ішіндегі ең қарапайымы – түзу. Түзулер латынның кіші әріптерімен a,b,c,d…. белгіленеді.

    Түзу сызық шектеусіз, суретте біз оның бөлігін ғана кескіндеп, екі жаққа да шексіз созыла береді деп қабылдаймыз.

    5
    51- сурет
    1-суретте
    А нүктені а түзуінен тыс орналасқан. Бұл жағдайда А нүктесі а түзуіне тиісті емес немесе А нүктесінде жасайды дейді. Ал В және С нүктелері а түзуінің бойында тиісті немесе В,С нүктелері а түзуіне тиісті немсе В,С нүктелері а түзуінде жатады дейді. Түзуді кейде оның бойында жатқан кез келген екі нүкте арқылы да белгілейді. 51-суреттегі а түзуін ВС түзуін деп те атауға болады. Жазықтықтағы түзудің мынанадай негізгі қасиеті бар


    1. Түзуге тиісті нүктелер де, тиісті емес те жүргізуге болады.

    2. Кез келген екі нүкте арқылы жалғыз ғана түзу жүргізуге болады.

    Түзудің бұл қасиеті практикада өте кең қолданылады. Мысалы, құрылыс жұмыстарында үйдің іргетасын түзу қалау үшін жерге екі ағаш қағып, оларды жіппен қосып тартса, сол жерде түзу жүргізілді деп есептеледі.

    1. Жазықтық.

    Беттің ішіндегі ең қарпайымы – жазықтық. Мысал ретінде столдың беті, тынық судың беті, айнаның беті, тақтаның беті т.с.с. қарастыруға болады, жазықтық та түзу сияқты шексіз болады.

    Жазықтықтың негізгі қасиеті мынандай: жазықтықтың кез келген екі нүктесін қосатын түзудің барлық нүктесі сол жазықтықты жатады. Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.



    1. Кесінді.

    Екі жағынан шектелген түзудің бөлігін кесінді деп атайды.

    К


    52-сурет
    есіндінің шектеп тұрған екі нүкте
    А және В (52-сурет) кесіндінің ұштары деп аталады.

    К
    53-сурет


    есіндіні оның ұштары арқылы оқып, белгілейді. «АВ кесіндісі» дегенде ұштары А және В екенін ұғамыз. Кесіндіні де латынның кіші әріп берілген а ,b ,с, d белгілеуге болады (51-сурет).

    Түзудің бойынан кез келген үш нүкте алсақ АВ, АС, ВС кесінділерінің пайда болғанын көреміз (53-сурет). Осы үш нүктені үзудің бойына қандай ретпен орналастырсақта мына қасиеттің орындалатынына көзіміз жетеді:

    Түзудің бойындағы кез келген үш нүктенің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

    Кесінді түзудің шектеулі бөлігі болғандықтан оның ұзындығын өлшеуге болады.


    54- сурет
    Кесіндінің ұзындығы оның ұштарының ара қашықтығына тең.

    54-суреттегі АВ кесіндісінің ұзындығын АС және СВ кесінділерінің ұзындықтарын қосу арқылы да табуға болады. Сонымен, кесіндіні өлшеудің мынандай қасиеттеріне көз жеткіземіз:


    1. Әрбір кесіндіге оның ұзындығын анықтайтын нөлден өзгеше оң сан сәйкес келеді.

    2. Кесіндінің ұзындығы өзінің кез келген нүктелерімен бөлінген бөліктерінің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

    4.Сәуле.

    а
    55- сурет
    түзуінің бойынан А нүктесін белгілейтін (55-сурет). Бұл нүкте берілген түзуді екі бөлікке бөледі. Әрбір бөлігінің бір нүктесімен шенелген, ал екінші жағы шектеусіз. Түзудің мұндай бөлігін жарты түзу немесе сәуле деп атайды.

    Сонымен, түзудің берілген нүктесінің бір жағында жатқан бөлігі сәуле деп аталады. Сәуле – бір ұшынан ғана шенелген түзудің бөлігі болып табылады. Бұл нүкте сәуленің басы деп аталады.



    5. Сынық сызық.

    Ж


    56- сурет
    азықтықта бір түзудің бойында жатпайтын бірнеше нүкте А, В, С, D, E, K нүктелері берілсін. Оларды кесінді арқылы тізбектей қосайық (56-сурет).

    О


    57-сурет
    сындай кесінділердің жиынтығын сынық сызық деп атайды.

    A, B, C, D, E нүктелері сынық сызықтың төбелері деп, ал AB, BC, CD, DE кесінділері сынық сызықтың қабырғалары (звеносы) деп аталады.

    Осы қабырғалардың ұзындықтарының қосындысын сынық сызықтың периметрі деп атаймыз.

    Е
    58- сурет
    гер сынық сызықтың барлық қабырғалары оның кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзудің бір жағында жатса,
    дөңес (57-сурет) деп, ал оның кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзу сынық сызықтың басқа да қабырғаларын қиса, ал дөңес емес аталады (58-сурет). Егер сынық сызықтың басы мен ұшы беттессе, оны тұйық сынық сызық деп атайды.

    6.Бұрыш.

    Бір нүктеден шығатын екі сәуледен құралған фигура бұрыш деп аталады.

    Б
    59- сурет
    ұрышты құрайтын сәулелер бұрыштың қабырғалары деп, ал сәулелердің ортақ басы бұрыштың төбесі деп аталады. Бұрыш төбесіне қойылған бір әріппе
     н немесе төбесіндегі әріп ортасына, екі қабырғаларындағы әріп шетіне жазылатындай үш әріппен  белгіленеді (59-сурет).

    Кейде бұрыш гректің кіші әріптері  арқылы немсе бір цифрмен  ден белгіленеді

    (60-сурет).

    Бұрыштың қабырғалары жазықтықты екі облысқа бөледі. ВАС бұрышының қабырғаларынан µ, N нүктелерін алып, µN кесіндісін жүргізейік (59-сурет). µN кесіндісі жазықтықтың бір бөлігінде жатадф. Осы бөлік бұрыштың ішкі облысы деп (61-сурет а) ал жазықтықтың қалған бөлігі бұрыштың сыртқы облысы деп аталады. (61-сурет б)

    Бір нүктеден есептейтін екі сәуле бір түзуді құраса, онда мұндай бұрышты жазық бұрыш деп атайды (62-сурет).

    Егер АВС және ЕµN жазық бұрыштарын төбелері мен қабырғалары беттесетіндей етіп бірінің үстіне бірін салсақ, олар беттеседі. Демек, жазық бұрыштар өзара тең болады.



    Б
    61- сурет
    ұрыштың шамасы транспортирдің негізгі қасиеттері бар.

    1. Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градустың өлшемі бар.

    2. Жазық бұрыштың шамасы 1800 –қа тең.

    3. Б
      62- сурет
      ұрыштың градустық өлшемі оның кез келген бөліктерінің градустық өлшемдерінің қосындысына тең болады.


    Егер екі бұрыштың төбелері және бір қабырғалары ортақ болса, олар іргелес бұрыштар деп аталды.

    А
    63- сурет

    64- сурет
    ВС
    бұрышының ішіне ВD сәулесін жүргізсек, АВD және DBC бұрыштарының ортақ төбесі В нүктесі, ал ортақ қабырғасы ВD сәулесі болады. Олай болса,  және  іргелес бұрыштар (63-сурет).

    АВС бұрышы осы екі іргелес бұрыштардың қосындысы болады, оны былай жазады.

    

    Егер екі іргелес бұрыштың ортақ емес қабырғалары бір түзуді құраса, мұндай бұрыштар сыбайлас бұрыштар деп аталады.



    6
    65- сурет
    4-суреттегі  және  сыбайлас бұрыштар. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы жазық бұрыш екенін көреміз. Демек, сыбайлас бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең. Егер екі сыбайлас бұрыш өзара тең болса, олардың әр қайсысы тік бұрыш деп аталады.

    65-суреттен тік бұрыш жазық бұрыштың жартысына тең екенін көреміз олай болса, тік бұрыштың шамасы 900-қа тең болады.

    Е
    66- сурет
    гер бір бұрыштың қабырғаларының созындысы болса, мұндай бұрыштар
    вертикаль бұрыштар деп аталады.

    66 -суреттен  және ЕВА, сондай-ақ ЕВD және АBC бұрыштары өзара тең болады. Бұрыштың төбесі арқылы өтіп, оны қақ бөлетін сәуле бұрыштың биссектрисасы деп аталды. ВЕ сәулесі АВС бұрышы қақ бөлетіндіктен ВЕ-биссектриса (67-сурет) яғни .



    Үшбұрыш.

    Ү


    68- сурет
    шбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді қос-қостан қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны атайды. Нүктелер үшбұрыштың төбелері, ал кесінділер қабырғалары деп аталады.

    68-суретте төбелері А, В, С ал қабырғалары АВ, ВС, АС болатын үшбұрыш кескінделген. Үшбұрышты төбелері арқылы белгілейді. «Үшбұрыш» деген сөздің орнына кейде Δ таңбасын қолданады. Мысалы, 68-суреттегі үшбұрыш былай белгіленеді: ΔАВС.

    Үшбұрыштың бір қабырғасын оның табаны деп, ал оған қарсы жатқан төбесін үшбұрыштың төбесі деп атайды. Мысалы, 68 -суретте АС-табаны болса, В төбесі болады.

    Ү
    70- сурет



    69- сурет
    шбұрыштың төбесінен оның табанына түсірілген перпендикуляр оның биіктігі деп аталады. Үшбұрыштың биіктігі
    ВD кейде оның табанын қияды, кейде табанының созындысына түседі (69-с урет). Үшбұрыштың бұрышын қаққа бөлетін түзу оның биссектрисаның оған қарсы қабырғамен қиылысуына дейінгі кесіндінің ұзындығы осы бұрыштың биссектрисасының ұзындығы деп аталады. 70-суретте В бұрыштың биссектрисасы ВК көрсетілген.

    Үшбұрыштың төбесіне оның қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын түзу үшбұрыштың медианасы деп аталады.

    Б


    71- сурет
    ұл түзудің үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғаның ортасына дейінгі кесіндісінің ұзындығы медиананың ұзындығы деп аталады (71-сурет).

    Кез келген үшбұрыштың үш биіктігі, үш биссектрисасы, үш медианасы болады.




    Үшбұрыштың түрлері.

    Үшбұрыштар бір-бірінен біріншіден, бұрыштармен, екіншіден, қабырғаларының сипаттамалары бойынша ерекшеленді.



    Бұрыштарының сипаттамасы бойынша:

    1. Егер үшбұрыштың барлық бұрыштары сүйір болса, ал сүйір бұрышты үшбұрыш деп аталады. (72-сурет, а)

    2. Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік болса, оны тік бұрышты үшбұрыш деп атайды (72-сурет б)

    3. Егер үшбұрыштың бір бұрышы доғал болса, оны доғал бұрышты үшбұрыш деп атайды (72-сурет в)

    Қабырғаларының сипаттамасы бойынша:

    1. Егер үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы әр түрлі болса, оны әртүрлі қабырғалы үшбұрыш деп атайды.

    2. Егер үшбұрыштың екі қабырғаларының ұзындығы бірдей болса, яғни екі қабырғасы тең болса, оны тең бүйірлі үшбұрыш деп атайды. (73-сурет, а)

    3. Е
      73- сурет
      гер үшбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, онда оны тең қабырғалы үшбұрыш деп атайды.




    3.1. Екі түзуді үшінші түзумен қиғанда пайда болатын бұрыштар.

    А
    74-сурет
    В
    және СD түзулерін кез келген ЕF түзуін қисын (74-сурет) ЕF түзуін қиюшы деп атайды. Осы үш түзудің қисуында 8 бұрыш пайда болады олардың төртеуі G төбесінде, ал төртеуі H төбесінде орналасқан. Бұл бұрыштарды әр қайсысының ішіне жазылған цифрлар арқылы белгілейік. Оларды біреуі G төбесінен, екіншісі H төбесінен алынатын етіп, қос-қостан топтайық. Бұл қостар АВ, СD түзулері мен қиюшыға қатысты орналасуларына байланысты әртүрлі аталады.

    1. 1 мен 5; 2 мен 6; 4 пен 8; 3 пен 7 бұрыштары сәйкес бұрыштар деп аталады.

    2. 1 мен 7; 2 мен 8 бұрыштары ішкі айқыш бұрыштар деп аталады.

    3. 3 пен 5; 4 пен 6 бұрыштары сыртқы айқыш бұрыштар деп аталады.

    4. 1 мен 8; 2 мен 7 бұрыштары ішкі біржақты немесе ішкі тұстас бұрыштары деп аталады.

    5. 4 пен 5; 3 пен 6 сыртқы сыртқы біржақты немесе сыртқы тұстас бұрыштар деп аталады.

    Бұл бұрыштардың қостарының арасындағы қатыс мына теоремамен анықталады.

    Теорема: Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда сәйкес бұрыштар өзара тең болса, онда

    1. Ішкі айқыш бұрыштар өзара тең;

    2. Сыртқы айқыш бұрыштар өзара тең;

    3. Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең;

    4. Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең;

    Дәлелдеуі.

    1. Теореманың шарты бойынша сәйкес бұрыштар тең, ; ;  екенін дәлелдеу керек. Шындығында да, вертикаль бұрыштар болғандықтан , теореманың шартынан  болғандықтан  болады. Дәл осылайша, вертикаль бұрыш болғандықтан , ал сәйкес бұрыштар болғандықтан теореманың шарты бойынша . Олай болса, . Демек, ішкі айқыш бұрыштар тең.

    2. Сәйкес бұрыштар  болғандықтан  және  екенін дәлелдеу керек. Шынында да,  болғандықтан және вертикаль бұрыштар теңдігінен  мына бұрыштардың  екенін көреміз. Дәл осылайша,  екенін көруге болады.

    3. Берілгені ; ,  болатынын дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан , теореманың шарты бойынша  болғандықтан  екенін көреміз.

    4. Берілгені: ; ,  екенін дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан , сонымен қатар , олай болса, . Вертикаль бұрыштар болғандықтан , теореманың шарты бойынша . Бұдан , ал сыбайлас бұрыштар болғандықтан . Сондықтан  болады.

    Сонымен, бұрыштардың арасында мынанадай бес ара қатынас орындалады:

    1. Сәйкес бұрыштар тең.

    2. Ішкі айқыш бұрыштар тең.

    3. Сыртқы айқыш бұрыштар тең.

    4. Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең;

    1. Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең;

    Егер осы арақатынастардың кез келген біреуі орындалса, онда қалған төртеуі де орындалады.

    Параллель түзулер.

    Екі түзудің қиылысу нүктесі жалғыз болатынын білеміз. Бір жазықтықта жатып, мүлдем қиылыспайтын екі түзу бола ма деген сұрақ тұрады.

    М
    75- сурет
    ұндай түзулерді бар болатынын оңай көрсетуге болады. Шындығында да,
    АВ және CD екі түзуін үшінші EF түзуімен қиғанда ішкі айқыш бұрыштары тең болсын: ,  (75-сурет). Бұл жағдайда АВ және CD түзулері қиыылыспайтынын дәлелдейік. Әрбір түсу қиюшымен қиылысу нүктесінде екі сәулеге бөлінді: АВ түзуі GA және GB; ал CD түзуі HC және HD.

    Ыңғайлы болу үшін GB және HD сәулелерін оң жақты, ал CA және HC сәулелерін сол жақтың сәулелер деп атайық. Егер АВ және CD түзулері қиылысса, онда олардың оң жақтық немесе сол жақтық сәулелері қиылысады:

    А
    76- сурет
    йталық, GB және HD оң жақты сәулелер қандай да бір О нүктесінде қиылсын (76-сурет). Суретті ЕF түзуімен бөлінген екі жарты жазықтықта қарастырайық. GH кесіндісінің ортасы К нүктесі арқылы КG кесіндісі КН кесіндісімен беттесетіндей етіп суреттің оң жағын бұрайық. Бұл жағдайда  болғандықтан GB сәулесі HC сәулесімен беттеседі және  болғандықтан АВ және CD түзулерінің оң жақтық сәулелері олардың сол жақтық қиылысу нүкте О сол жақтық қиылысу нүктесі О мен беттесуі керек. АВ және CD екі түзуінің оң жақтық және сол жақтық екі қиылысу нүктелерінің болуы мүмкін емес.

    Сонымен мынандай теорема дәлелденді.




    О.м.жолымбаев, г.е.берікханова
    Санның ондық
    Жай көбейткіштерге жіктелген екі немесе бірнеше
    Бөлшектің алымымен өрнектелетін бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп санауға келісілген. мысалы,
    Алымы бөлімінен кем болатын бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.
    Ауыстырымдылық (коммутативтік) заңы.
    Бөлшектерді азайту
    Бөлшектерді көбейту.
    Монотондылық.
    Алымы жүйелі бүтін сан болып, ал бөлімі жүйе негізінің дәрежесі болып келген бөлшек жүйелі бөлшек деп аталады.
    Ондық бөлшектерді бөлу бүтін сандарды бөлу сияқты болады.
    Егер екі санның айырмасы және олардың біреуі қандай да болсын бір санға бөлінсе, онда екіншісі де сол санға бөлінеді.
    Жай санның анықтамасы және қасиеттері
    Егер бірнеше жай сандардың көбейтіндісі берілген жай санға бөлінсе, онда бұл сан көбейткіштердің біреуіне тең болады
    Нумерацияның
    Комбинаториканың негізгі формулалары
    Паскаль үшбұрышы
    Функция деген не?
    Х аралығындағы
    Тура пропорционалдық деп
    Көрсеткіштер туралы ұғымды жалпылау. бүтін көрсеткіштер
    Нольдік көрсеткіш.
    Бөлшек көрсеткіштің негізгі қасиеті.
    Берілген санның берілген негіздегі логарифмі деп сол негіздің берілген санға тең болатын дәрежесінің көрсеткішін айтады.
    Көбейтіндінің логарифмі (негіз қандай болса да) көбейткіштердің (сол негізбен алынған) логарифмдерінің қосындысына тең болады.
    Сандық теңсіздіктер
    Егер қосылғыш теңсіздіктің бір жағындағы бөлігінен екінші жағындағы б
    Синус, косинус, тангенс, котангенс периодты функциялар болып табылады.
    Сегменттің ауданы.
    Кез келген әр түрлі екі нүкте арқылы бір, тек бір ғана түзу өтеді.
    Бір түзуге тиісті емес үш нүкте арқылы бір, тек бір ғана жазықтық өтеді.
    Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда олардың қиылысуы түзу болады.
    Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара парллель болады.
    Егер екі параллель жазықтық үшінші жазықтықпен қиылысса, онда қиылысу сызықтары параллель болады.
    Жазықтыққа жүргізілген екі перпендикуляр параллель болады.
    Кеңістіктің берілген нүктеге дейінгі ара қашықтығы оң
    Геометриялық денелер бетінің аудандарын есептеу
    Көпжақтардың көлемі. тік бұрышты параллелепедтің көлемі
    Айналу денелердің көлемдерін есептеу

    Каталог: ebook -> umkd
    umkd -> Мамандығына арналған Сұлтанмахмұттану ПӘнінің ОҚУ-Әдістемелік кешені
    umkd -> Қазақстан Республикасының
    umkd -> Қазақстан Республикасының
    umkd -> Студенттерге арналған оқу әдістемелік кешені
    umkd -> ПӘннің ОҚУ Әдістемелік кешені 5В011700 «Қазақ тілі мен әдебиеті» мамандығына арналған «Ұлы отан соғысы және соғыстан кейінгі жылдардағы қазақ әдебиетінің тарихы (1941-1960)» пәнінен ОҚытушыға арналған пән бағдарламасы
    umkd -> «Балалар әдебиеті» пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар 2013 жылғы №3 басылым 5 в 050117 «Қазақ тілі мен әдебиеті»
    umkd -> ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешенінің
    umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
    umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
    umkd -> «Филология: қазақ тілі» мамандығына арналған


    Достарыңызбен бөлісу:
  • 1   ...   435   436   437   438   439   440   441   442   ...   503


    ©engime.org 2017
    әкімшілігінің қараңыз

        Басты бет