Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық

Бір зат екіншісінен өзінің түрі, салмағы сұйықты, қаттылық т.б. қасиеттері арқылы ерекшеленеді. Әрбір зат осындай көптеген қасиетке ие бола тұра олардың барлығына ортақ мынандай қасиеттердің бар болатынан байқауға болады: әр заттың формасы (сыртқы пішіні) және өлшемі болады. Әртүрлі заттарды даярлағанда талапқа қарай оның формасы мен өлшемі беріледі.

Мысалы, артиллерия снарядына ол көздеген қашықтыққа ұшып жететіндей форма берсе, корабльдің сыртқы қорабын – су бетінде тепе-теңдік қалыпты сақтайтындай және теңіз толқындарын тез кесіп өтетіндей формада жасайды.

Әрбір заттың басқа заттардың арасында өзінің алатын орны, атқаратын рөлі бар екенін байқаймыз.

Практикада заттардың ара қашықтығын анықтай алу, оларды белгілі бір қашықтыққа орын ауыстыра білудің маңызы зор.

Заттың формасын, өлшемін және олардың өзара орналасуын зерттеу адам білімінің жаңа бөлігін құрайды.

Заттардың формасын, өлшемін, өзара орналасуын зерттейтін ғылым геометрия деп атайды.

Адамдар өзінің дамуының алғашқы сатысында ақ қоршаған ортаны, заттарды, олардың формалары, қайда орналасқанын біле бастады. Олар аң аулау, мекен ету, тұрақтау орындарын еске сақтады. Біртіндеп әртүрлі заттардың ара қашықтығын анықтауға, мекен жайларының өлшемін білуге т.с.с. үйрене бастады.

Адамдардың қоғамдық өмірінің дамуына қарай заттардың формасын, өлшемін, олардың өзара орналасуын білу қажеттілігі арта түсті және бұл жөнінде үлкен білімділікті талап етті.

Ертедегі Египетте (Мысырда) Ніл өзенінің көктемгі тасуы көптеген жер иілімдерінің шекаралары жыл сайын жайып кетіп отырды. Оны қалпына келтіру үшін бұл жерде үлкен есептеу және өлшеу жұмыстары жүргізілді. Осындай жұмыстарды орындау барысында сызықтардың ұзындығын, жер телімінің ауданын есептеуге, оларды жоспарлауға ықыңғайлы ережелер жазылып, сақталып отырды.

Гректер мысырлықтармен сауда жасау барысында осы ережелермен танысып, оларды толықты және оны біртіндеп біртұтас ғылымға дейін жетілді. Бұл ғылым – жер өлшеу өнері ғылымы – геометрия деп аталды (ńn-жер, metretv-өлшеу).

Б.э.д III-ғасырда өмір сүрген грек ғалымы Евклид бұл ғылымды ерекше нақты зерттеп, оны арифметикамен қоса, өзінің «Негіздер» деп аталатын он бір кітабында баяндады. Содан бері ғасырлар бойы геометрия осы кітап бойынша оқытылып келді. Қазіргі мектептегі геометрия оқулығы «Негіздер» кітабының үлгісі бойынша жасалған.

Заттың физикалық қасиетіне көңл аудармай оның формасы мен өлшемін зетегенде бұл затты «геометриялық дене» деп атайды. Егер формалары мен өлшемдері бірдей, бірақ әртүрлі материалдан жасалған екі затты қарастырсақ, оларды физикалық қасиеттерінің әр түрлі екеніне көңіл аудармай, бірдей геометриялық дене деп ұғамыз.

Мысалы, өлшемдері бірдей резина доп пен сабын көпіршігі бірдей геометриялық дене болады.

Физикалық дене өз орнын басқа денелерге қатысты өзгертсе немесе бір ортадан екінші ортаға ауыса, физикалық қасиетін, формасын, өлшемін аздап болса да өзгертеді. Ал геометриялық дене заттың физикалық қасиетінетәуелсіз деп қарстырылады. Сондықтан оның мынандай қасиеті болады: геометриялық дене басқа денелердің арасында өзінің өлшемін, формасын, құрамдас бөліктерінің өзара орналасуын өзгертпей еркін орын ауыстыра алады.

1. 
   Бет.
   

Дененің бетін сол дененің өзінен бөлек қарастыруға болады. Шындығында мұндай жеке бет болмайды. Оны біз көз алдымызға елестету арқылы ғана жасаймыз. Практикада беттің мысалы ретінде өте жұқа қағаз бетін, сабын көпіршігінің қабығын келтіруге болады. Геометриялық бетті біз ешқандай қалдықсыз елестетеміз.

2. 
   Сызық.
   

3. 
   Нүкте.
   

Нүктені сызықтан бөлекте қарастыруға болады. Оны өте ұсақ түйір немесе өте жіңішке инемен қағаз бетін тескенде пайда болған із түрінде елестетуге болады. Нүктенің ешқандай өлшемі жоқ. Геометриялық нүкте табиғатта кездеспейді.

Нүктелерді латынның бас әріптерімен: A, B, C... белгілеу қабылданған.
Сызық және беттің пайда болуы.

Егер нүкте қандай да бір қозғалыста болса, ол сызық сызады. Мысалы, ұшы өте үшкір қарындаш қағаз бетімен қозғалса, қарындаш ұшының ізі сызық болады. Дәл осылайша, найзағайдың жарқылының ізі де сызық. Мұндай мысалдарды көптеп келтіруге болады.

Егер сызық бір қалыптан екінші қалыпқа ауыссы, ол бет сызады. Мысал ретінде велосипед тұтастай диске айналды.
Қарапайым сызық және бет.

1. 
   Түзу сызық.
   

Түзу сызық шектеусіз, суретте біз оның бөлігін ғана кескіндеп, екі жаққа да шексіз созыла береді деп қабылдаймыз.

5
51- сурет
1-суретте А нүктені а түзуінен тыс орналасқан. Бұл жағдайда А нүктесі а түзуіне тиісті емес немесе А нүктесінде жасайды дейді. Ал В және С нүктелері а түзуінің бойында тиісті немесе В,С нүктелері а түзуіне тиісті немсе В,С нүктелері а түзуінде жатады дейді. Түзуді кейде оның бойында жатқан кез келген екі нүкте арқылы да белгілейді. 51-суреттегі а түзуін ВС түзуін деп те атауға болады. Жазықтықтағы түзудің мынанадай негізгі қасиеті бар

1. 
   Түзуге тиісті нүктелер де, тиісті емес те жүргізуге болады.
   
2. 
   Кез келген екі нүкте арқылы жалғыз ғана түзу жүргізуге болады.
   

2. 
   Жазықтық.
   

Жазықтықтың негізгі қасиеті мынандай: жазықтықтың кез келген екі нүктесін қосатын түзудің барлық нүктесі сол жазықтықты жатады. Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

3. 
   Кесінді.
   

К

К
53-сурет

Түзудің бойынан кез келген үш нүкте алсақ АВ, АС, ВС кесінділерінің пайда болғанын көреміз (53-сурет). Осы үш нүктені үзудің бойына қандай ретпен орналастырсақта мына қасиеттің орындалатынына көзіміз жетеді:

Түзудің бойындағы кез келген үш нүктенің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

Кесінді түзудің шектеулі бөлігі болғандықтан оның ұзындығын өлшеуге болады.

54- сурет
Кесіндінің ұзындығы оның ұштарының ара қашықтығына тең.
54-суреттегі АВ кесіндісінің ұзындығын АС және СВ кесінділерінің ұзындықтарын қосу арқылы да табуға болады. Сонымен, кесіндіні өлшеудің мынандай қасиеттеріне көз жеткіземіз:

1. 
   Әрбір кесіндіге оның ұзындығын анықтайтын нөлден өзгеше оң сан сәйкес келеді.
   
2. 
   Кесіндінің ұзындығы өзінің кез келген нүктелерімен бөлінген бөліктерінің ұзындықтарының қосындысына тең болады.
   

Сонымен, түзудің берілген нүктесінің бір жағында жатқан бөлігі сәуле деп аталады. Сәуле – бір ұшынан ғана шенелген түзудің бөлігі болып табылады. Бұл нүкте сәуленің басы деп аталады.

Ж

О

Осы қабырғалардың ұзындықтарының қосындысын сынық сызықтың периметрі деп атаймыз.

Е
58- сурет
гер сынық сызықтың барлық қабырғалары оның кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзудің бір жағында жатса, дөңес (57-сурет) деп, ал оның кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзу сынық сызықтың басқа да қабырғаларын қиса, ал дөңес емес аталады (58-сурет). Егер сынық сызықтың басы мен ұшы беттессе, оны тұйық сынық сызық деп атайды.

6.Бұрыш.

Бір нүктеден шығатын екі сәуледен құралған фигура бұрыш деп аталады.

Б
59- сурет
ұрышты құрайтын сәулелер бұрыштың қабырғалары деп, ал сәулелердің ортақ басы бұрыштың төбесі деп аталады. Бұрыш төбесіне қойылған бір әріппе_ н немесе төбесіндегі әріп ортасына, екі қабырғаларындағы әріп шетіне жазылатындай үш әріппен _ белгіленеді (59-сурет).

Кейде бұрыш гректің кіші әріптері _ арқылы немсе бір цифрмен _ ден белгіленеді

(60-сурет).

Бұрыштың қабырғалары жазықтықты екі облысқа бөледі. ВАС бұрышының қабырғаларынан µ, N нүктелерін алып, µN кесіндісін жүргізейік (59-сурет). µN кесіндісі жазықтықтың бір бөлігінде жатадф. Осы бөлік бұрыштың ішкі облысы деп (61-сурет а) ал жазықтықтың қалған бөлігі бұрыштың сыртқы облысы деп аталады. (61-сурет б)

Бір нүктеден есептейтін екі сәуле бір түзуді құраса, онда мұндай бұрышты жазық бұрыш деп атайды (62-сурет).

Егер АВС және ЕµN жазық бұрыштарын төбелері мен қабырғалары беттесетіндей етіп бірінің үстіне бірін салсақ, олар беттеседі. Демек, жазық бұрыштар өзара тең болады.

1. 
   Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градустың өлшемі бар.
   
2. 
   Жазық бұрыштың шамасы 180⁰ –қа тең.
   
3. 
   Б
   62- сурет
   ұрыштың градустық өлшемі оның кез келген бөліктерінің градустық өлшемдерінің қосындысына тең болады.
   

А
63- сурет

64- сурет
ВС







Егер екі іргелес бұрыштың ортақ емес қабырғалары бір түзуді құраса, мұндай бұрыштар сыбайлас бұрыштар деп аталады.





65-суреттен тік бұрыш жазық бұрыштың жартысына тең екенін көреміз олай болса, тік бұрыштың шамасы 90⁰-қа тең болады.

Е
66- сурет
гер бір бұрыштың қабырғаларының созындысы болса, мұндай бұрыштар вертикаль бұрыштар деп аталады.

66 -суреттен _ және ЕВА, сондай-ақ ЕВD және АBC бұрыштары өзара тең болады. Бұрыштың төбесі арқылы өтіп, оны қақ бөлетін сәуле бұрыштың биссектрисасы деп аталды. ВЕ сәулесі АВС бұрышы қақ бөлетіндіктен ВЕ-биссектриса (67-сурет) яғни _.

Үшбұрыш.

Ү

68-суретте төбелері А, В, С ал қабырғалары АВ, ВС, АС болатын үшбұрыш кескінделген. Үшбұрышты төбелері арқылы белгілейді. «Үшбұрыш» деген сөздің орнына кейде Δ таңбасын қолданады. Мысалы, 68-суреттегі үшбұрыш былай белгіленеді: ΔАВС.

Үшбұрыштың бір қабырғасын оның табаны деп, ал оған қарсы жатқан төбесін үшбұрыштың төбесі деп атайды. Мысалы, 68 -суретте АС-табаны болса, В төбесі болады.

Ү
70- сурет

Б

Кез келген үшбұрыштың үш биіктігі, үш биссектрисасы, үш медианасы болады.

Үшбұрыштың түрлері.

Үшбұрыштар бір-бірінен біріншіден, бұрыштармен, екіншіден, қабырғаларының сипаттамалары бойынша ерекшеленді.

1. 
   Егер үшбұрыштың барлық бұрыштары сүйір болса, ал сүйір бұрышты үшбұрыш деп аталады. (72-сурет, а)
   
2. 
   Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік болса, оны тік бұрышты үшбұрыш деп атайды (72-сурет б)
   
3. 
   Егер үшбұрыштың бір бұрышы доғал болса, оны доғал бұрышты үшбұрыш деп атайды (72-сурет в)
   

1. 
   Егер үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы әр түрлі болса, оны әртүрлі қабырғалы үшбұрыш деп атайды.
   
2. 
   Егер үшбұрыштың екі қабырғаларының ұзындығы бірдей болса, яғни екі қабырғасы тең болса, оны тең бүйірлі үшбұрыш деп атайды. (73-сурет, а)
   
3. 
   Е
   73- сурет
   гер үшбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, онда оны тең қабырғалы үшбұрыш деп атайды.
   

А
74-сурет
В

1. 
   1 мен 5; 2 мен 6; 4 пен 8; 3 пен 7 бұрыштары сәйкес бұрыштар деп аталады.
   
2. 
   1 мен 7; 2 мен 8 бұрыштары ішкі айқыш бұрыштар деп аталады.
   
3. 
   3 пен 5; 4 пен 6 бұрыштары сыртқы айқыш бұрыштар деп аталады.
   
4. 
   1 мен 8; 2 мен 7 бұрыштары ішкі біржақты немесе ішкі тұстас бұрыштары деп аталады.
   
5. 
   4 пен 5; 3 пен 6 сыртқы сыртқы біржақты немесе сыртқы тұстас бұрыштар деп аталады.
   

1. 
   Ішкі айқыш бұрыштар өзара тең;
   
2. 
   Сыртқы айқыш бұрыштар өзара тең;
   
3. 
   Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;
   
4. 
   Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;
   

1. 
   Теореманың шарты бойынша сәйкес бұрыштар тең, _; _; _ екенін дәлелдеу керек. Шындығында да, вертикаль бұрыштар болғандықтан _, теореманың шартынан _ болғандықтан _ болады. Дәл осылайша, вертикаль бұрыш болғандықтан _, ал сәйкес бұрыштар болғандықтан теореманың шарты бойынша _. Олай болса, _. Демек, ішкі айқыш бұрыштар тең.
   
2. 
   Сәйкес бұрыштар _ болғандықтан _ және _ екенін дәлелдеу керек. Шынында да, _ болғандықтан және вертикаль бұрыштар теңдігінен _ мына бұрыштардың _ екенін көреміз. Дәл осылайша, _ екенін көруге болады.
   
3. 
   Берілгені _; _, _ болатынын дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан _, теореманың шарты бойынша _ болғандықтан _ екенін көреміз.
   
4. 
   Берілгені: _; _, _ екенін дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан _, сонымен қатар _, олай болса, _. Вертикаль бұрыштар болғандықтан _, теореманың шарты бойынша _. Бұдан _, ал сыбайлас бұрыштар болғандықтан _. Сондықтан _ болады.
   

1. 
   Сәйкес бұрыштар тең.
   
2. 
   Ішкі айқыш бұрыштар тең.
   
3. 
   Сыртқы айқыш бұрыштар тең.
   

5. 
   Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;
   

Екі түзудің қиылысу нүктесі жалғыз болатынын білеміз. Бір жазықтықта жатып, мүлдем қиылыспайтын екі түзу бола ма деген сұрақ тұрады.

М
75- сурет
ұндай түзулерді бар болатынын оңай көрсетуге болады. Шындығында да, АВ және CD екі түзуін үшінші EF түзуімен қиғанда ішкі айқыш бұрыштары тең болсын: _, _ (75-сурет). Бұл жағдайда АВ және CD түзулері қиыылыспайтынын дәлелдейік. Әрбір түсу қиюшымен қиылысу нүктесінде екі сәулеге бөлінді: АВ түзуі GA және GB; ал CD түзуі HC және HD.

Ыңғайлы болу үшін GB және HD сәулелерін оң жақты, ал CA және HC сәулелерін сол жақтың сәулелер деп атайық. Егер АВ және CD түзулері қиылысса, онда олардың оң жақтық немесе сол жақтық сәулелері қиылысады:

А
76- сурет
йталық, GB және HD оң жақты сәулелер қандай да бір О нүктесінде қиылсын (76-сурет). Суретті ЕF түзуімен бөлінген екі жарты жазықтықта қарастырайық. GH кесіндісінің ортасы К нүктесі арқылы КG кесіндісі КН кесіндісімен беттесетіндей етіп суреттің оң жағын бұрайық. Бұл жағдайда _ болғандықтан GB сәулесі HC сәулесімен беттеседі және _ болғандықтан АВ және CD түзулерінің оң жақтық сәулелері олардың сол жақтық қиылысу нүкте О сол жақтық қиылысу нүктесі О мен беттесуі керек. АВ және CD екі түзуінің оң жақтық және сол жақтық екі қиылысу нүктелерінің болуы мүмкін емес.

Сонымен мынандай теорема дәлелденді.