Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Салдар-1.
- Т 85- сурет еорема.
- Синустар теоремасы.
Теорема. Тік бұрышты үшбұрышытың тік бұрышының төбесінен гипотенузаға түсірлген перпендикуляр катеттердің орта пропорционал, ал әрбір катет гипотенуза мен сол катеттің гипотенузадағы проекциясының орта пропорционалы болады. Д 
83- сурет әлелдеуі. 1. АВС тік бұрышты үшбұрыш болсын (83-сурет). Тік бұрышының төбесінен гипотенузаға CD биіктігін түсірсек, ADC және CDB ұқсас үшбұрыштар аламыз.  , себебі  және  . Сондықтан  дәлелдеу керегі шықты
Оcы жазылған пропорциядан Енді АСD және ABC үшбұрыштарын қарастырайық, олар ұқсас үшбұрыштар  , себебі  - ортақ және  . Сондықтан  , дәлелдеу керегі шықты.
Бұл пропорциядан  яғни катеттің квадраты гипотенуза мен сол катеттің гипотенузадағы проекциясының көбейтіндісіне тең.
Бұл теоремадан ішкі бұрыштардың қасиетін сипаттайтын мынандай салдарлар шығады: Салдар-1. Шеңбердің кез келген нүктесінен диаметрдің осы кесінділерінің пропорционал ортасы болады. Салдар-2. Шеңбердің кез келген хордасы оның ұшы арқылы өтетін диаметр мен хорданың диаметрдегі проекциясының пропорционал ортасы болады. 
Пифагор теоремасы. Теорема. Тік бұрышты үшбұрыш гипотенузасының квадраты оның катеттерінің квадраттарының қосындысына тең болады. Д
әлелдеуі: АВС үшбұрышы берілсін (84-сурет).  екенін дәлелдеу керек. Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен гипотенузаға түсірілген биіктіктің қасиеті бойынша  және  екені белгілі. Осы екі теңдікті мүшелеп қоссақ.
 . Сонымен дәлелдеу керегі шықты.
К  осинустар теоремасы.
Т 85- сурет еорема. Үшбұрыштың кез келген қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасы квадраттарының қосындысынан осы қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш косинусының екі еселенген көбейтіндісін шегергенге тең болады. Дәлелдеуі. АВС үшбұрышы берілсін (85-сурет). С төбесінен АВ қабырғасына CD биіктігін түсірейік, сонда АСD және BCD тік бұрышты үшбұрыштарын пифагор теоремасы бойынша  (1)
 және  шамаларын есептейік. АСD тік бұрышты үшбұрышынан  екені және  белгілі. Осы теңдіктің екі жағында квадраттасақ,  немесе  . АСD тік бұрышты үшбұрышынан  немесе  теңдігін қолдансақ,  . Сонымен, теорема дәлелденді.
Синустар теоремасы. Т  еорема. Үшбұрыштың қабырғалары қарсы жатқан бұрыштардың синустарына пропорционал болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС – үшбұрышта, а, b, c оның қабырғалары болып, ал оларға қарама-қарсы жатқан бұрыштары α, β, γ болсын (86-сурет). Мынаны дәлелдейік: 
C  төбесінен CD биіктігін түсіреміз. Тік бұрышты АСD үшбұрышынан, егер α – сүйір бұрыш болса, мынау шығады:
(55, а-сурет). Ал егер α – доғал бұрыш болса, онда 86- сурет 
(86, б-сурет). ВСD үшбұрышынан да осыған ұқсас түрде мынаны табамыз:
Сонымен, Бұдан Мына теңдікті осыған ұқсас түрде дәлелдейміз: 
Оны дәлелдеу үшін үшбұрыштың А төбесінен биіктік жүргізу керек болады. Теорема дәлелденді. Салдар.
Мұндағы R-осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы. жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
екені белгілі, яғни тік бұрышыты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен гипотенузаға түсірілген перпендикулярдың квадраты катеттерінің гипотенузадағы проекцияларының көбейтіндісіне тең.
. 
