Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

Вычисление площади сечения. Воспользуемся формулой, связываю
щей площади данной фигуры и ее ортогональной проекции.
1) При ортогональном проектировании многоугольника сечения на
плоскость нижнего основания призмы он проектируется в многоуголь
ник Х
1
X
2
СKTA. Площадь проекции Q
=
a
2
– 2
×
1
2 2 2
3
4
2
× × =
а а
а
;
2) найдем теперь угол между плоскостью сечения и плоскостью ос
нования. Из прямоугольного треугольника ОМО
1
имеем:
ОО
1
=
а, О
1
М
=
1
4
2
4
BD
а
=
, tg
a =
ОО
О М
а
а
1
1
4
2
2 2
= × =
;
3) тогда соs
a =
1
1
1
1 8
1
3
2
+
=
+
=
tg
a
;
4) имеем: Q
=
S
cеч
×
cos
a Þ
S
cеч
=
Q
a
a
cos
a
=
× =
3
3
4
9
4
2
2
.
Задача 2
(41, е, рис. 57).
Замысел решения. Так как параллелепи
пед — прямоугольный, то боковое ребро АА
1
яв
ляется искомой высотой. Для решения задачи
удобно рассмотреть
D
АА
1
D. Предварительно
в нем необходимо найти какуюлибо сторону.
Решение.
1) Пусть DC и A
1
B
1
— большие стороны
нижнего и верхнего оснований. Тогда плос
кость DCB
1
A
1
— плоскость, проведенная через
эти стороны;
2) в прямоугольном параллелепипеде
DC
^
АА
1
D
1
D. Поэтому DC
^
АD и DC
^
А
1
D.
Значит,
Ð
A
1
DA — угол между плоскостью нижнего основания и плос
костью DCB
1
A
1
. По условию
Ð
A
1
DA
=
b
;
3) искомую высоту АА
1
можно найти из прямоугольного
D
АА
1
D,
предварительно найдя катет АD. Этот отрезок будем находить, исполь
зуя данные, указанные для основания параллелепипеда;
4) так как в
D
ACD
Ð
ACD
=
a
2
, то AD
=
АС
×
cos
a
2
=
d cos
a
2
;
5) тогда АА
1
=
AD
×
tg
b =
d cos
a
2
tg
b
.
Ответ:
АА
1
=
d cos
a
2
tg
b
.
—
44
—
А
B
С
D
А
1
В
1
С
1
D
1
α
β
d
?
O
Рис. 57
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Задача 3
(42, б, рис. 58).
Построения. 1) Так как точка М рав
ноудалена от вершин
D
АВС, то она ор
тогонально проектируется в центр опи
санной около
D
АВС окружности (в дан
ном случае в центр О правильного
D
АВС). Тогда МО — высота призмы;
2) так как А
1
В
1
|| АВС, то прямая А
1
В
1
ортогонально проектируется на плос
кость АВС в прямую PQ, проходящую
через точку О и параллельную А
1
В
1
(па
раллельную АВ);
3) если теперь из точки А
1
провести
А
1
А
2
|| МО (А
2
Î
PQ), то отрезок А
1
А
2
— искомая высота призмы, прове
денная из точки А
1
;
4) так как плоскость А
1
В
1
QP проходит через перпендикуляр МО
к плоскости АВС, то А
1
В
1
QP
^
АВС и четырехугольник А
1
В
1
QP — иско
мое сечение призмы;
5) требуется построить еще угол наклона грани АА
1
В
1
В к плоскости
основания АВС. Для этого проведем медиану CN
D
АВС, получим, что
ОN
^
АВ;
6) так как МО
^
АВС, то NО — ортогональная проекция МN на плос
кость АВС. По теореме о трех перпендикулярах, если АВ
^
ОN, то
АВ
^
МN. Поэтому
Ð
МNО
= a
— угол наклона грани АА
1
В
1
В к плоско
сти основания АВС.
Вычисления.
7) ОN
=
1
3
1
3
3
2
3
6
CN
a
a
= ×
=
, А
1
А
2
=
МО
=
ОN tg
a =
a 3
6
tg
a
;
8) сечением является трапеция А
1
В
1
QP (А
1
В
1
|| PQ), МО — высота
этой трапеции. Имеем: PQ
=
2
3
2
3
АВ
а
=
, А
1
В
1
=
а, МО
=
a 3
6
tg
a
;
9) S
PQ
A B MO
PA B Q
1 1
1
2
1
1
=
+
=
(
)
1
2
2
3
3
6
a a
a
+
æ
èç
ö
ø÷
tg
a =
5 3
36
2
a
tg
a
.
Ответ:
А
1
А
2
=
a 3
6
tg
a
, S
PA B Q
1 1
=
5 3
36
2
a
tg
a
.
Задача 4.
Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда,
имеющие общую вершину, равны соответственно 10, 5 и 1. Найдите
ребра параллелепипеда и постройте его развертку. (Решите само
стоятельно.)
—
45
—
A
B
C
А
В
С
A
P
O
Q
α
M
N
1
1
1
2
Рис. 58
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

§ 3. ПИРАМИДА
3.1. Теория
Пусть ABCDE... — выпуклый многоуголь
ник, лежащий в плоскости
a
(рис. 59),
и Р — точка, не принадлежащая этой плос
кости. Каждую точку Х многоугольника
ABCDE... соединим с точкой Р отрезком
ХР. Множество всех таких отрезков за
полняет некоторый многогранник. Этот
многогранник называется пирамидой.
Многоугольник ABCDE... называется
основанием пирамиды, точка Р — верши
ной пирамиды. Треугольники АРВ, ВРС,
CPD, ... называются боковыми гранями
пирамиды, а отрезки РА, РВ, PC, ... — боковыми ребрами пирамиды.
Пирамида называется пугольной, если в основании ее лежит
nугольник. (Обратим внимание на то, что приведенное ранее опреде
ление nугольной пирамиды получило здесь свое уточнение.)
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее
вершины на плоскость основания.
В зависимости от формы пирамиды основание высоты может находить
ся внутри основания пирамиды (рис. 60, а), на его границе (рис. 60, б),
вне основания (рис. 60, в). Если какоелибо боковое ребро пирамиды
окажется перпендикулярным к основанию, то высота совпадет с этим
боковым ребром (рис. 60, г).
—
46
—
А
B
С
D
E
X
P
α
Рис. 59
Рис. 60
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Правильной пирамидой называется пирамида, основанием которой
служит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает
с центром этого многоугольника.
На рисунках 61, а, б изображены соответственно правильные тре
угольная и четырехугольная пирамиды.
—
47
—
Рис. 60
Рис. 61
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Очевидно, что у правильной пирамиды (рис. 61, в) все боковые реб
ра равны между собой и наклонены к плоскости основания под одним
и тем же углом
a
; боковые грани также наклонены к плоскости основа
ния под одним и тем же углом
b
.
Высота боковой грани h
бок
правильной пирамиды, проведенная из
вершины пирамиды, называется апофемой (см. рис. 61, в).
Тетраэдром называется любая треугольная пирамида.
Правильным тетраэдром называется тетраэдр, все ребра которого
равны между собой.
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых реб
ра (рис. 62, а), не принадлежащих одной грани, называется диагональ
ным сечением пирамиды, а сама секущая плоскость — диагональной плос
костью.
—
48
—
Рис. 62
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 62, б),
называется параллельным сечением пирамиды.
Параллельное сечение пирамиды отсекает от нее подобную пирами
ду. Другая часть пирамиды, представляющая собой также многогран
ник, называется усеченной пирамидой (см. рис. 62, б). Грани усечен
ной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются
основаниями пирамиды, остальные грани — боковыми.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: