Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н
жүктеу/скачать 9,35 Mb. Pdf көрінісі
|
fz geometr 11
- Бұл бет үшін навигация:
- § 8. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
- Правильным многогранником
| Рис. 102
Рис. 101 © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » § 8. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 8.1. Теория Аналогом правильных многоугольников, изученных в курсе планимет рии, являются правильные многогранники. Ознакомимся с ними. Правильным многогранником называется выпуклый многогран ник, у которого все грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. Примером правильного многогранника является куб. Из определе ния следует, что в правильном многограннике равны все плоские углы, все двугранные углы и все ребра. Убедимся, что правильных многогранников может существовать не более пяти видов. Для этого учтем, что в многогранном угле наимень шее число граней три и что сумма плоских углов многогранного угла меньше 360 ° . 1. Сколько может быть правильных многогранников, гранями кото рых являются правильные треугольники? Каждый угол правильного треугольника равен 60 ° . Если повторим слагаемым 60 ° 3 раза, 4 раза и 5 раз, то получим суммы, меньшие 360 ° , а если повторим слагаемым 60 ° 6 раз или более, то получим суммы, равные 360 ° и более. Поэтому из плоских углов правильного треугольника можно образовать выпуклые многогранные углы только трех видов: трехгранные, четырехгранные и пятигранные. 2. Выясним, сколько же может быть правильных многогранников, гранями которых являются квадраты (правильные пятиугольники). Угол квадрата равен 90 ° , а угол правильного пятиугольника — 108 ° . Повторяя эти углы слагаемым 3 раза, получаем суммы, меньшие 360 ° , а повторяя 4 раза и более, получаем 360 ° или более. Поэтому из пло ских углов, равных углам квадрата или правильного пятиугольника, можно образовать только трехгранные углы. 3. Угол правильного шестиугольника равен 120 ° . Поэтому из таких углов нельзя образовать даже трехгранный угол. 4. Если правильный многоугольник имеет большее число сторон, то из его углов тем более нельзя образовать трехгранный угол. 5. Проведенные рассуждения свидетельствуют о том, что правиль ных многогранников может существовать не более чем пять видов. Однако из этих рассуждений не следует, что правильных много гранников действительно существует пять видов. Прояснить этот во прос помогут только построения. — 79 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » 6. Начнем с многогранника, гранями которого могут служить квад раты. Правильный многогранник с такими гранями действительно су ществует — это куб. С помощью куба можно построить остальные пра вильные многогранники. 7. Если в кубе провести диагонали граней так, как показано на ри сунке 103, а, то получим правильный многогранник, называемый пра вильным тетраэдром. 8. Если в кубе построить центры всех его граней, то шесть получен ных точек будут вершинами правильного многогранника, называемого правильным октаэдром. Такой правильный многогранник изображен на рисунке 103, б. 9. Если теперь через каждое ребро куба (рис. 103, в, г) проведем плоскость, не имеющую с поверхностью куба других общих точек, кро ме точек этого ребра, то получим некоторый двенадцатигранник. Мож но подобрать наклон этих плоскостей к граням куба так, чтобы гранями этого двенадцатигранника были правильные пятиугольники. Этот правильный многогранник называется правильным додекаэдром. 10. Центры граней правильного додекаэдра (рис. 103, д, е) будут вершинами правильного многогранника, называемого правильным икосаэдром. — 80 — жүктеу/скачать 9,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|