Гильберт аксиомалар жүйесі: аксиоматикалық теория, аксиомалар жүйесіне шолу

жүктеу/скачать 0,56 Mb. Дата 08.02.2022 өлшемі 0,56 Mb. #117398

Бұл бет үшін навигация:

• Назарларыңызға рахмет!

Гильберт аксиомалар жүйесі: аксиоматикалық теория, аксиомалар жүйесіне шолу Давид Гильберт – 1862 жылы 23 қаңтарда дүниеге келген неміс математигі, математикаға үлкен үлес қосқан ғалым. 1884 жылы Кенигсберг университетін бітірді. 1893-1895 жылдары – Кенигсберг университетінің профессоры, ал 1895-1943 жылдары – Геттингенск университетінің профессоры болды. Гильберттің ең бір маңызды ғылыми шығармаларының бірі «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегі. Пиери еңбектері сияқты, Гильберттің бұл еңбегі 1899 жылы бірінші баспадан шыққан. Қазіргі аудармасы 1930 жылы жетінші баспадан бастап істеген. Осы еңбегінде Евклидтің геометриясының аксиомасының толық жүйесін берді. Гильберт жүйелі түрде өз аксиомаларының өзара тәуелсіздігін үйренеді және өзі іргелі геометриялық теоремалардың аксиомаларын жасады.  Гильберттің «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегіндегі аксиоматикаға арналған бөлімінің алғы сөзінде былай деп жазылған «Геометрия – арифметика сияқты өзінің құрастырған тек қана біршама негізгі ережелерін талап етеді. Бұл негізгі ережелер геометриялық аксиомалар деп аталады. Геометриялық аксиомалардың анықталуы және олардың арақатынастарының зерттелуі Евклид заманындағы математикалық әдебиеттің көп ғажайып шығармаларының тақырыбы болып табылған. Зерттеулердің жаңа талаптарын ескере отырып толық және оңай аксиомалар жүйесін геометрия үшін орнатуға болады, сонымен қатар ең маңызды геометриялық аксиомалармен теоремалар түсінікті болу үшін аксиомалардың әр түрлі топтарынан жеке аксиомалар пайда болды». Геометриялық элементтер және аксиоманың бес тобы Біздің ойымызша үш түрлі жүйенің жиыны бар: бірінші жиынды нүкте деп атаймыз және олар А, В, С , . . . ; екінші жиынды түзу деп атаймыз және олар а, в, с, . . . ; үшінші жиынды жазықтық деп атаймыз және олар α, β, γ, . . . ; нүкте сонымен қатар сызықтық геометрияның элементі, нүкте және түзу – геометриялық жазықтықтың элементі, нүкте, түзу және жазықтық – геометриялық кеңістіктің элементі. Біздің ойымызша нүкте, түзу және жазықтық арасындағы қатынастар анықталған және осы қатынастарды мынадай сөздер арқылы енгіземіз: «жатады», «аралық», «конгруенттік», «параллельдік», «үзліссіздік». Нақты және математикалық мақсаты үшін толық қатынастар сипатталады және ол геометриялық аксиомаларға сүйенеді. Геометриялық аксиомалар бес топқа бөлінеді. Әр топтағы аксиомалар бір – бірімен байланысты. Олар былай аталады: I1-8. байланыс аксиомасы, II1-4. реттілік аксиомасы, III1-5. конгруенттілік аксиомасы, IV. параллельдік аксимасы V1-2. Үзліссіздік аксиомасы. Аксиоманың бірінші тобы: байланыс аксиомасы Бұл топтағы аксиомаларға нүктелер жиыны, түзулермен жазықтардың аралық тиістілігінің қатынасы енгізілген және осы топ аксиомалары мынадай салдарларға бөлінеді: I1. А және В кез келген екі нүктелер үшін тиісті а түзуі бар. I2. А және В нүктелерінің кем дегенде біреуі бір түзуде жатады. I3. Түзудің бойында кем дегенде екі нүкте жатады, кем дегенде үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. I4. Кез келеген үш нүкте А, В, С бір түзудің бойында жатпайды, үш нүктенің әрқайсысы α жазықтығына тиісті. Қандайда бір жазықтыққа тиісті әрқашанда нүкте болады. I5. Кез келген А, В, С нүктелері, бір түзудің бойында жатпайтын, кем дегенде бір жазықтықта осы нүктелер жатады. I6. Егер екі А, В нүкте а түзу α жазықтығында жатса, онда α жазықтығында нүкте а түзуінде жатады. I7. Егер екі α және β жазықтығына ортақ А нүктесі болса, онда осы жазықтықтарға кем дегенде тағы бір ортақ нүктесі В болады. I8. Кем дегенде төрт нүкте бір жазықтықта жатпауы мүмкін. Бұл топтағы аксиомалар «аралық» ұғымымен байланысты және осы ұғым арқылы кеңістіктегі жазықтықтың, нүктелердің, түзулердің реттілігінің негізін қалайды. II1. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің аралығында жатса, онда А,В,С нүктелері бір түзудің бойында және В нүктесі С және А нүктелерінің аралығында жатады. II2. Кез келген А және С нүктелері бір түзудің бойында жатады. А,С нүктелерімен қатар сол түзуге кем дегенде бір В нүктесі тиісті және С нүктесі А және В нүктелерінің аралығында жатады. II3. Бір түзудің бойында жататын үш нүктенің кем дегенде біреуі екі нүктенің арасында жатады. II4. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте А,В,С және осы нүктелерден құралған АВС жазықтығын а түзуі қиып өтсін,осы нүктелердің ешқайсысы а түзуінде жатпайды. а түзуі АВ кесіндісін қию үшін АС немесе ВС кесіндісін қиып өтеді. Аксиоманың екінші тобы: реттілік аксиомасы Аксиоманың үшінші тобы: конгруенттілік аксиомасы Конгруэнттік аксиомалары конгруэнттік немесе теңдік қатынасын анықтайды. Конгруэнттік қатынастар кесінділер (бұрыштар) үшін қарастырылады Аксиоманың үшінші тобы: параллельдік аксиомасы IV а түзуі бар дейік, түзуге тиісті емес нүкте берілген, олар жазықтықта анықталған болсын. а түзуімен қиылыспайтын А нүктесі арқылы көптеген түзулер жүргізуге болады және олардың біреуі а түзуіне параллель болады. Аксимасның бесінші тобы: үзліссіздік аксиомасы V1. (Архимед аксиомасы ). Егер қандайда бір АВ және СD кесінділері бар болсын; онда түзудегі АВ кесіндісі А1, А2, А3,…,Аn нүктелерді қабылдайды, сондай-ақ, сол нүктелерден құралған кесінділер АА1, А1 А2, А2 А3 ,…, Аn-1 Аn конгруентті СD кесіндісіне және В нүктесі А және Аn нүктелерінің арасында жатады. V2. Түзудегі нүктелерден жүйе құралады, сызықтық реттілігі сақталған, бірінші конгруенттілік аксиомаларына және Архимед аксиомаларына ешқандай рұқсат етілмеген, осы нүктелер жүйесіне тағы да осылай нүктелер енгізу, себебі жүйе, бастапқы және енгізілген нүктелер, толық барлық аксиомаларға тиісті. Үздіксіздік аксиомасын неміс математигі Рихард Дедекинд 1872 жылы тағайындады. Паш аксиомасын неміс математигі Мориц Паш 1882 жылы ғана тұжырымдады. «Негіздер» ондаған ұлы геометрлердің қолынан өтті: Кавальери, Дезарг, Паскаль, Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Гюйгенс, Эйлер, Лагранж, Понселе, Штаудт т.б. бұлардың бәрі ол аксиоманы көрмеген, ал Евклид бұлардан 18-20 ғасыр бұрын өмір сүрген. Геометрия аксиомаларын жүйелі зерттеген ғалымдар Геометрия аксиомаларын жүйеге келтірушілердің ең көрнектісі Гильберт болды. Оның математика тарихындағы ең маңызды еңбегі де осында. Бірақ, оның да сүрінген кездері де болды. Гильберт кітабының бірінші басылуында (1899 жылы) қазір «толымдылық аксиомасы» деп аталатын аксиома болмаған. Бұл жағдайда геометрияның толық курсын құруға болмайтындығын француз математигі Анри Пуанкаре (1854 – 1912) дәлелдеген. Толымдылық аксиомасын Гильберт өз тізіміне тек Пуанкаре сынынан кейін ғана енгізген. Евклидтің төртінші аксиомасы мынадай еді: «тік бұрыштардың бәрі бірдей болады». Гильберт бұл сөйлемді аксиомалар тізімінен шығарып, теорема ретінде дәлелдеп берді. Назарларыңызға рахмет! жүктеу/скачать 0,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу: