И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

л/х - 2 = 1;
х = 3.
Решение:
О твет: х-Ъ.
( 7 ) 1 _ ( 2 \
—
ы
ы
х2
- 5 х + 4 = 0; 
х, = 4 ,х 2 =1.
Ответ:
{1;4}.
/ 2 3
4. 
Задание:
Решите уравнение 0 
6ч —
I 9
Решение:
27
125
0
,
6
*|
ш
25
3
-2дга +х+24
27
125
3
5
а
2х 2 - х - 1 5 = 0;
,
5 
х, = 3,х2 =
х 2 - х - 30 = 0; 
х, = 6 ,х 2 = - 5 .
Ответ:
5. 
Задание:
Решите уравнение 7 • 3*+1 - 5*+2 = 3,+4 -
5Х+3.
Решение:
Данное уравнение содержит степени с двумя различными основаниями. 
В таких случаях необходимо собрать в разных частях уравнения степени с 
общими основаниями и вынести степени за скобки.
174

7 • Зх+| - 5Х+2 = 3X+41 5 * +3;
^дг+З _^x
+2
_ *^x+4 _у ^ 
31+1
,
5X+I(5 2 - 5) = 3X+I(33 - 7); 
5X+I • 20 = 3X+I ■ 20;
v ~ ,
1 i  
jc +1 = 0;
x = —1. 
Ответ: x--\.
6. 
Задание:
 Решите уравнение 4 j - 1 0 - 3 * = 2 • Зх+3 - 1 1 • 22x. 
Решение:
4 X+2 - 1 0 - 3 * = 2 -З х+3 - 1 1 - 2 2jr;
4 Л+2 +11- 2 2x = 2-З х+3 + 1 0 -3 T;
4 х (4 2 +11) = 3 х ( 2 -З3 + 10);
4 х -27 = 3х -64;
(
 4 Y
(4 )
— 
=
-
Ы
х = 3. 
Ответ: х-Ъ.
Метод разложения на множители
При решении показательных уравнений используется преобразование, со­
стоящее в вынесении общего множителя за скобки. Этот способ применяют тог­
да, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в 
скобках остается алгебраическая сумма, которая является числом или выражением.
Поясним суть метода на примерах.
7. 
Задание:
 Решите уравнение 52х+| - 3 -5 2х~* = 1 1 0 .
Решение:
5и.
1 _ з \ ; 5 2 * - 1 — 1 Ю
;
52" |(52 - 3 ) = 110;
5 2*"1 = 5;
2х - 1 = 1;
х = 1. 
Ответ: х=
 I.
175

8. 
Задание:
Решите уравнение 2 • 12* 
—
3*+| + 
4х*
- 6 - 0 . 
Решение:
2 1 2 * - 3*+| + 4*+| - 6 = О;
2 • 4* • 3* - 3 • 3* + 4 • 4* - 2 • 3 = О;
2 ■ 4*(3* + 2) - 3(3* + 2) = О;
(3* + 2)(2 • 4* - 3) = О;
1) 3* + 2 = О - уравнение не имеет решений, т.к. 3* > О;
2) 4 * - - = О;
2
4Ч ;з . 
В
х =
log4 - = — (lo g2 3 - 1 ). 
Ответ:
— (log2 3 - 1 ) .
9. 
Задание:
Решите уравнение 27* — 13 • 9* +13 • 3**’ — 27 = О. 
Решение:
27* -1 3 -9 * + 13-3*+| - 2 7 = О;
З3* - 1 3 - 3 2* + 13-3-3* - 2 7 = О;
(З3* - 27) - (13 • З2* - 1 3 • 3 -3*) = О;
(3* - 3 ) ( 3 2* + 3 • 3* + 9) - 1 3 • 3*(3* - 3 ) = О;
(3* - 3)(32* - 1 0 • 3* + 9) = О;
(3* - 3)(32* - 3* - 9 • 3* + 9 ) = О;
(3* - 3)(3* - 1)(3* - 9 ) = О;
1) 3* - 3 = 0; 3* = 3; х = 1;
2 ) 3* - 1 = 0; 3* =1; х = 0;
3) 3* - 9 = 0; 3* = 9; х = 2. 
Ответ:
{0; 1; 2}.
10. 
Задание:
Решите уравнение 2 3^*+2 — 2 3v^ +1 — 2 3^*-1 = 1 2 . 
Решение:
^З
у
[
х
+2
_23^ +1 _2 3 
1 = 12;
23л/*(22 - 2 — ) = 12, 
х > 0 ;
17 6

Зл/х =3;
1 * 1 .
Ответ:
х = 1.
Метод введения новой переменной
Уравнение вида Л а 2х + 
В а*
+ 
С
= 0 с помощью замены 
аж = у
сводит­
ся к квадратному уравнению 
Ay2 + By + С
= 0 .
Уравнение вида 
А ах
+ 
В а 1
+ С = 0 с помощью замены 
а* = у
сводит­
ся к квадратному уравнению 
Ау2 + Су
+ 
В
= 0 , поскольку 
а*
можно пред- 
1
ставить как —.
У
Новая переменная как правило вводится после преобразования членов 
уравнения.
11
. 
Задание:
Решите уравнение 25х + 5Х+1 -6 = 0 .
Решение:
25х + 5х+| - 6 = 0;
52
х
+ 5-5х - 6 = 0.
Замена: 5х = 
у .
у г + 5 у - 6 = 0;
у,
= 1
, у 2 = -6;
V
5х = 1;
х = 0;
2) 
5х = - 6 - уравнение не имеет смысла, т.к. 5х > 0, х € 
R.
Ответ: х=
0.
1
2. 
Задание:
Решите уравнение 5х - (0,2)х = 4,8.
Решение:
5х -(0 ,2 )х = 4,8;
5 * - — = 4,8.
5х
Замена: 5х = 
у .
1 
24
2з Л - = 12;
2
2з Л =8;
177

у 1 - 2Ау
 - 25 = 0; 
Л - -1. Л - 25.
5у2 -  24у - 5 = 0;
Л Ш р
Уг
В
1) 5* = - - - уравнение не имеет смысла, т.к. 5х > 0. х е R ;
2) 5* =5;
jc = 1. 
О твет: jc = 1.
13. Задание: Решите уравнение 2 ^ - 2 • 2 '^ = 1.
Решение:
Т Гх- 2 Т 'Гх =1;
2 * -
jc
> 0.
Замена: 2 
= у .
у - - - \ = 0;
У
/ -> > -2 = 0;
= -1, 
= 2;
1) 2 ^ = -1 - уравнение не имеет смысла, т.к. 2^* > 0, х £ 0;
2)2Л =2; 
л/х = \;
х = 1. 
Ответ: х = 1.
14. Задание; Решите уравнение 3-52*-1 - 2 - 5 '-1 = 0 ,2 . 
Решение:
3-5ы - 2 - 5 '- ' = 0 ,2
|*5;
3 - 5 * - 2 - 5 * = 1.
Замена: 5 ' = .у .
3 / - 2 > - 1 = 0; 
^|=“ »Л = 1 -
/ - 2 ^ - 3 = 0 ;  
* = - 1 , Л =3.
1)5* = —— -уравнение не имеет смысла, т.к. 5 ' > 0 , х е Л ;
178

х = 0. 
Ответ: х=0.
Рассмотрим однородное уравнение вида:
А а2х + В ах Ьх + С Ъ2х = 0.
Данное уравнение состоит из трех членов, которые представляют собой 
степени с одинаковыми показателями и разными основаниями. Для решения 
подобных уравнений используют метод почленного деления, суть которого в 
делении уравнения на одну из степеней.
Разберем ряд примеров на решение однородных уравнений.
15. Задание: Решите уравнение 6 • 4 х -13 • 6х + 6 • 9х = 0 .
Решение:
2) 
5х
 = I;
6 - 4 х -13-6Х + 6 -9 х = 0 ; 
6 -2 2х-13-2х -3х + 6 - 3 2х = 0
3х 
З2*
6 - 1 3 — + 6 ~ = 0 ;
2 
2
= 4 Х * 0 ;
Ъ
 
= о .
6у2 -13у + 6 =
 0; 
2 
3
я ш в
у2
-13^+36 = 0; 
У,
= 4 , 
Уг
=9.
k2 
х = - 1 :
2
)
.2 .
х = 1. 
Ответ:
{± 1}.
16. Задание: Решите уравнение 3 • 16х + 2 • 8 Г = 5 ■ 36х.
Решение:
3 1 6 х + 2 - 8 Г = 5 -3 6 *;
3-42* - 5 -4х-9х + 2 -9 2х = 0 
|:92
х
* 0 ;
+ 2 = 0.
2х
Г 4>1
к
- 5 -
*
179

Замена: | — | = у , у > 0.
3 / - 5 у + 2 = 0;
2 
,
Ц Ж л * 1-
у 2 - 5у # 
6
 = О; 
у, = 2,‘ У2 i 3.
1 ) г Ж
(!) 
-  
2х = 1; 
х = 0,5;
4 
ч9 
х = 0.
2) 9 «
О твет: {0; 0,5}.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения
Если уравнение невозможно привести к равенству степеней с одинаковы­
ми основаниями, то приводим обе его части к виду, удобному для логарифми­
рования, логарифмируем и решаем полученное уравнение.
17. Задание: Решите уравнение 3* 
4
= 5Хх.
Решение:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
l°g3 З*1"4 = log3 52х; 
х 2 - 4 = 
2xlog35;
J x2 --
2
xlog
3
 5 - 4 * 0 ;
xl2 =  
log
3
5 ±
-y/log
2
X+ 
4. 
О твет: xl2 = 
log
3
5 ±
^ogfi+4.
11 - ■
18. Задание: Решите уравнение 
6
х - 
2х 
=
12.
Решение:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2.
180

(
I 
’\
log
2
6 X - 2* = log, 12,
jc
* 0 ;
v
log2 6* + log2 2X = log2 4 + log2 3;
~ l°g2 (2 • 3) + x = 2 + log2 3; 
x
l + log23+Jc2 =2x+Jclog2 3; 
x2- (2 + log2 3)x + (1 + log2 3) = 0;
2 + к ^ 23±д/4 + 4 к ^ ,3 + к ^ 23 - 4 - 4 к ^ 23 _ 2 + log2 3 1 log2 3
2
2
x , = l, x , = l + log23.
Ответ: {l;l + log23}.
19. Задание: Решите уравнение 32x~s = 5х. 
Решение:
Т.к. 5 = 3l08jS, уравнение можно переписать в виде:
Дополнительные методы решения показательных уравнений
При решении показательных уравнений часто пользуются искусственны­
ми приемами:
-
Рассмотрим уравнение, содержащее степени, произведение которых рав­
но 
единице.
20. Задание: Решите уравнение (4 + 
>/15)* 
+ (4 - у/\5)х = 8.
Решение:
Числа 4 + Vl5 и 4-VT5 являются взаимно обратными числами (или 
сопряженными). В самом деле:
2лс-5 = xlog35; 
х(2 - log3 5) = 5;
5
2 - log3 5
181
I

Поэтому 4 - Л 5 = ------ т = .
4 + V15
Введем новую переменную 
t
 = (4 + 
у
1\5)х, t >
 0. 
В результате получим уравнение:
(4 + V 1 5 X 4 - V l5 ) = 1 6 - 1 5 = 1-
t
f2 - 8/ +1 = 0;
Г, = 4 + V T I , /2 = 4 - - Л 1 ;
1) (4-ь>/Г5)Г = 4 + yf\5\
х = 1;
2) (4 + 715^ = 4 - >/l5;
(4 + V i5 ) '= — U ;
v 
7 
4 + V15
лг = —1.
При решении уравнений, аналогичных разобранному в выше приведен­
ном примере, терпят неудачу те учащиеся, которые не замечают сопряжен­
ности стоящих в основании чисел.
-
Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством 
монотонной функции.
Суть этого свойства в следующем:
Пусть функция/ ( * ) монотонно возрастает, a g (х) монотонно убывает или 
константа. Тогда, если уравнение f( x ) = g (х) имеет решение х = х0, то это 
решение единственно.
В этом случае можно подобрать корень.
21. Задание: Решите уравнение 3х + 4 х = 5х .
Решение:
Легко заметить, что х = 2 является корнем исходного уравнения. Докажем, 
что других корней данное уравнение не имеет, переписав его в виде:
Функция, стоящая в левой части последнего уравнения, монотонно убы­
вает, поскольку основание степени меньше единицы. А функция, стоящая в
182
О твет: {± 1/.

правой части уравнения, монотонно возрастает. Поэтому данное уравнение 
не может иметь более одного решения.
О твет: х = 2.
22. Задание: Решите уравнение 2 • 3* + 4х = 3.
Решение:
Очевидно, что 2 • 3° + 4° = 3.
Рассмотрим функцию у -  2 • 3* + 4х. Т.к. у = 2 • 3х и у - 4 х-  возрастаю­
щие функции, то у = 2 • 3х + 4х - возрастающая функция.
Значит, каждое свое значение функция у -  2 • 3х + 4х принимает только 
один раз.
Следовательно, х = 0 - единственный корень.
О твет: х = 0.
23. Задание: Решите уравнение 2х + 3* = 2 • 5 х.
Решение:

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: