И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Зх2 - 9 х = 0; 
x, = 0 , x 2 = 3.
Проверка
:
1) jc = 
0; 
Vo2 + 5 - 0 + 1 = 2 0 - 1 ;
2)x = 3;
V 
32 + 5 -3 + l = 2 - 3 - 1 ;
1 * - 1 ; 
5 = 5.
x =
0 - посторонний корень; 
Ответ:
{3}.
В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встре­
титься уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень 
сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррацио­
нальные уравнения с помощью равносильных преобразований.
Полезно запомнить следующие схемы;
о
т
- ю
«
U ( * ) a o .
Неравенство 
g(x
) > 0 в этой системе выражает условие, при котором ирра­
циональное уравнение можно возвести в квадрат. Оно “отсекает” посторон­
ние решения и позволяет обходиться без проверки.
2) V ? W = 
yfgix) <=>
1 g W ’
V 
V 
1 / W > 0 ( g ( x ) > 0 ) .
В данном случае можно проверять любое из неравенств. На практике, как 
правило, выбирают то, которое проще в решении.
2. 
Задание:
Решите уравнение V2.x- 3 = 4 - х .
Реш ение:
Данное уравнение равносильно системе;
| 2 х - 3 = ( 4 - х ) 2, | 2 х - 3 = ( 4 - х ) 2, 
2 х - 3 = х 2 - 8 х + 16;
( 4 - х > 0 ;
|х < 4; 
х 2 - 1 0 х + 19 = 0;
х, = 5 - л/б,
х 2 = 5 + V6 > 4 -
посторонний корень.
Ответ:
р -л / б } .
3. 
Задание:
Решите уравнение 
л/х2
+ 3 x - 4 =
-Jlx
+ 2 .
Р еш ение:
Данное уравнение равносильно системе:
136

х2
= - 3 < - 1 - посторонний 
корень. 
Ответ: {2}.
Вывод.
Если корни, полученные в результате возведения в квадрат, до ста­
точно простые (например, целые), то можно не беспокоиться о равносиль­
ности переходов, а просто проверить их непосредственной подстановкой в 
исходное уравнение. В случаях, когда проверка затруднительна, нужно а к к у ­
ратно следить за тем , чтобы преобразования были равносильными и не 
появились посторонние корни.
Рассмотрим уравнения, содержащие д ва радикала.
4. 
Задание:
Решите уравнение 
J x + 5
+ 
y j 5 - x =
—.
2
Решение:
(>/х + 5 + V5 -
x f
= ( j j ;
Х + 5 + 5 - Х + 
2-J25 - х2
х
2
4
2 л / 2 5 -Х 2 = — - 1 0 ;
Проверка'.
4
2
1)х = —4; I + 3 * - 2 ;
х
= —4 - посторонний корень;
V4
100 
- 4 х 3
= -------
5х2
+100;
16
х =
0 - посторонний корень;
2) х = 0; 
2 т/5 * 0 ;
-------х 2 = 0;
16
х 2(х 2 - 16) = О;
Х|,2 ~ ©» Х 3.4 = i4 .
Ответ:
решений нет.
3 )х = 4 ; 3 + 1 * 2 ; 
х = 4 - посторонний корень.
5. 
Задание:
Решите уравнение 
-J3x
- 1 — 
у/х —
 2 =
3. 
Реш ение:

л/Зх-1 -
у/х-2
= 3, 
х 2 2;
л/Зх-1 
= 3 + yj x-2-
3 j c — 1 
=
9 + x - 2 +6 - J x - 2 ;
6-Jx-2
= 2jc — 8;
3-Jx-2 - x - 4,
x - 4 > 0, x > 4;
9 ( x - 2 ) = x 2 - 8
jc
+ 16;
x2
- 1 7 x + 3 4 = 0;
17 i i
ГГй
17 — Зл/17
X| _ i / -r 
j
-
v
i / ^ 
x2 = ------ ------- < 4 — посторонний корень.
f l7 + 3 V i7 ]
Ответ:
j
~ 
[•
Метод введения новой переменной
Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении 
неоднократно встречается некоторое выражение, зависящ ее от неизвестной 
величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную 
и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом 
найти исходную величину. В ряде случаев удачная замена переменной облег­
чает преобразования и упрощает решение задачи.
Рассмотрим метод введения новой переменной на конкретных примерах.
6. 
Задание:
Решите уравнение 
2х2 + Зх
+ л/
2х2
+Здс + 9 = 3 3 .
Реш ение:
2хг + Зх + у/2х2+Зх+9=
33.
Обозначим 
\2х2 + Зх +
9 = 
а, а>
0.
Тогда исходное уравнение примет вид:
а 2 + а - 9 = 33;
а2+ а -
42 = 0;
а, = 6, 
а2
= - 7 < 0.
а = 6,
л/2х2 +Зх + 9 = 6.
Замечание:
При решении данного уравнения можно не опасаться появле­
ния посторонних корней, так как его правая часть положительна при любых 
значениях переменной 
х.
138

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: