§5. МЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При решении логарифмических уравнений применяют, как правило, такие 
j 
преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к 
появлению посторонних решений. Поэтому проверка каждого из полученных 
корней путем подстановки их в исходное уравнение обязательна, если нет уве­
ренности в равносильности уравнений. Проверку полученных корней можно 
заменить нахождением области определения уравнения. Тогда корнями ис­
ходного уравнения могут быть только те числа, которые принадлежат этой 
области.
Перечислим некоторые методы решения логарифмических уравнений:
- решение с помощью определения логарифма;
- решение с помощью основного логарифмического тождества;
- метод потенцирования;
- метод введения новой переменной;
- метод приведения логарифмов к одному основанию;
- метод логарифмирования обеих частей уравнения;
- метод разложения на множители.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах.
Логарифмические уравнения, 
решаемые с помощью определения логарифма
1. Задание: Решите уравнения:
a)logs(x 2- llx + 43) I 2; 
6)logI+1(2x24 -l) | 2;
в) log ± х2 = -4 .
Решение: 
^
а )logs(x 2- l \х + 43) = 2.
По определению логарифма: 
х 2 -1 1х + 43 = 25; 
х2-\\х + 18 = 0;
.X, =
2, х , 
»
9.
Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исход ному уравнению. 
О твет: {2; 9}.
б)logx+1(2x2+ l) =\2.
По определению логарифма:
2х2 +1 = (х + 1)2; 
х 2 — 2х = 0;
х, = 0 - посторонний корень, т.к. основание логарифма не равно 1;
Методы решения логарифмических уравнений
220

Ответ: {2}.
в) 
log ^*2 = -4;
Л
log 
, х2 = 
-4; 
s 'i
- 2 
log5 
x2 
=-4; 
logj 
x 2 * 2; 
x 2 = 25; 
x, = 5 , x , = —5.
Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. 
Замечание: Грубой ошибкой было бы преобразование левой части урав­
нения на основании равенства logs х 2 = 2 log, х , верного лишь при х > 0. 
Ответ: {±5}.
2. Задание: Решите уравнения:
a) logjOogj х) = 4; 
б) log7(|x) + 4) = 2; 
в) log2(logs х) = 1.
Решение:
о) log^ (log3 х) = 4;
log, (log, х) = 2 или log, (logj х) = -2 ;
х
2 = 2 .
logj х = 4; 
х, =81.
l° g jx = - ;
4
x2 = \[3.
Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. 
О твет: {>/3; 8 lj-
б) log7(|x| + 4) = 2, ОДЗ: х е Л ;
1x1 + 4 = 49;
|х|=45;
х, =45,*
2
=-45. 
Ответ: {±45}.
в) log2 (log5 х) = 1; 
log ,x = 2;
х = 25.
Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению. 
Ответ: {25}.
221

Логарифмические уравнения, 
решаемые с помощью основного логарифмического тождества
Суть данного метода в переходе от уравнения alo8“^g(x) к уравне- 
нию/(х) = g (х).
В данном случае также могут появиться посторонние корни.
3. Задание: Решите уравнение 9l0Bl(1“2x) — Sx2 — 5.
Решение:
fl — 2дс > О,
9 8,( 
) = 5* 2 - 5’ 
° ДЗ: [5х2 - 5 > 0;
3 2 l o g , ( l - 2 ^ = 5 j c 2 _ 5 ;
3 lo g ,( l- 2 x ) J 
= 5 х 2 _ 5 .
(1 -2
jc
)2 =5
х
2 -5 ; 
jc
2 +4
jc
- 6 = 0;
x ,= -2 -V T 0 , 
x, = -2 + VlO.
Из двух полученных корней только корень jc, = —2 — VT0 принадлежит ОДЗ, 
а х2 = -2 + л/Го не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним 
корнем.
Ответ: {- 2 - л/Го}.
4. Задание: Решите уравнение 4 1оём^-3>+1°Ё2 5 = 5 0 .
Решение:
4 1о8ми-з)+1о8г5 = 5 q^ о д
3
: х -
3
>
0
,х >
3
;
220oB26(Jf-3)+Iogj5) _ ^
q
.
2*°S2(25V
jc
—
3) _
25\fx^3> = 50;
3
V ^ 3 = 2 ;
x = 11 > 3 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {11}.
I 
jc
< — ,
2
jc
< — 1 ;
W > i;

5. 
Задание:
 Решите уравнение 5 1ов5 х ■ lg 4 = lg ( 2 • 
9 х
— 6 г ) .  
Решение:
5 I°8 s J r l g 4 = l g ( 2 - 9 x - 6 x ) ;
дг * lg 4 = lg ( 2 - 9 jr — 6 х ) ;
l g 4 T = lg ( 2 - 9 jr - 6 r ) ;
22x = 2-32x- 2 x -3x;
22
x
 + 2
x
 -3* - 2 - 3 Zx = 0 |:32x* 0 ;
y 2.+ y
- 2 = 0;
У i = i;
у
2
= —2
 < 0 - посторонний корень;
x
 i 0 - посторонний корень, т.к. log5 0 не существует.
О т в е т :
решений нет.
Метод потенцирования
М е т о д п о т е н ц и р о в а н и я за к л ю ч а е т с я в переходе от у р а в н е н и я  
log„ / ( * )
-
log„ 
g( x) (a >
 0, 
a *
1)к уравнению /
(x) 
=
g
(x) при допол­
нительных условиях 
/(x) 
>
0, 
g
 (x) >
0.
Та ко й переход иногда приводит к появлению посторонних корней. Посто­
ронние корни можно вы яви ть либо с помощью подстановки найденных кор­
ней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения 
области определения исходного уравнения, т.е.
[/ (* ) > 0,
| g (x ) > 0.
6. 
Задание:
 Решите уравнение lo g , (10 -
х) 
+ lo g , 
(х -
3) 
= 
- 1 .
Решение:
223

log Д 10-х) + log, (х -3 ) = -1;
6 
6
lo g ,(1 0 -x)(x-3 ) = -1;
6
(10 -
jc
)(
jc
- 3) = 6;
1 Оде — jc2 -ЗО + Зх = 6; 
x2 -13.x+ 36 = О; 
x, =4, x2 = 9.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению:
1)х = 4, 
log Д10 - 4) + log, (4 — 3) = —1;
6
6 
-1 + 0 = - 1 - верно;
2) х = 9, 
log, (10-9) + log, (9 -3 ) = -1;
6 
в
0 + (-1) = -1 - верно. 
Ответ: {4; 9}.
7. Задание: Решите уравнение log3(x2 +1) = log3 2 + log3(x + 8). 
Решение:
log3(x2 +1) = log3 2 + log3(x + 8), 
ОДЗ: x + 8 > 0, x > -8 ;
log3(x2 +1) = log3(2(x + 8));
x2 +1 = 2 
jc
+ 16;
x2 -2 x -1 5 = 0;.
x, = 5 > -8 - принадлежит ОДЗ;
x2 = -3 > -8 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {-3; 5}.
8. Задание: Решите уравнение:
lg5 + lg(x +10) = 1 - lg(2x -1 ) + lg(21x - 20).
Решение:
lg 5 + lg(x +10) = 1 - lg(2x -1 ) + lg(2 lx - 20); 
lg(5(j-H0)) = lg '^ _ ~ | 20); .
2 x - l
1A 2 • (2 lx - 20) 
x + 10 = — ^
2 x - l
224

2х2- 23х + 30 = 0; 
дг, = 10, х, = 1,5.
Сделав проверку, можно убедиться, что оба корня удовлетворяют уравне­
нию.
Ответ: {1,5; 10}.
9. Задание: Решите уравнение —*
— 
3
lg V jc - 4 0
Решение:
i g ( V x T T + i )
,
lg V
jc
 — 4 0  
lg ( V x + T + 1 ) = 3 1 g V x - 4 0 ;  
lg ( V * +
1
+
1) 
= lg ( * - 4 0 );
*Jx + 1 +1 = x - 40;
■yjx + l - x + 41 = 0.
Сделаем замену: л/х+Т = /, t > 0. Тогда x - t2 - 1. 
r - / 2 + 1 + 4 1 = 0 ;  
t1 -/ -4 2 = 0;
/, = -6 < 0, t2 =7; 
ylx + l = 7; 
лг + 1 =49; 
x = 48.
Проверка:
lg(7 + 1) =3. 
lgV 48-40 ~ ’
l g 8
_
---- = 3 - верно. 
Ответ: {48}.
Ig2
Метод введения новой переменной
Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразова­
ний исходного уравнения.
Поясним данный метод на примерах.
225

10. Задание: Решите уравнение log, х = 2 -  log, х . 
Решение:
log, jc = 2 - log, х, 
ОДЗ: х > 0; 
logj х + logj дс - 2 = 0.
Замена: log, х = t . 
t * + t
- 2
 = 
0
;
/,=-2, /2 = 1;
1)logjX = -2; ,
х, = — > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log3 
jc 
= 1;.
Jc2
=3 > 0 - принадлежит ОДЗ. 
Ответ:
11. Задание: Решите уравнение lg(lg х) + lg(lg х3-2) = 0. 
Решение:
lg (lg Jc ) + lg ( lg jc 3- 2 ) = 0 ;  
l g ( l g x ( l g j c 3* 2 ) ) = I g l ;  
lg Jc 
• (3 
lg
x-2) = 1;
3 lg2 x - 2 1 g x - l = 0.
Замена: lg x - t .
312 -2t 
-1
 = 
0
;
1)lgx = l; 
x, = 10;
2)lgjc = - i ; '
Проверка:
1) x = 10;
lg(lgl0) + lg(lg 103 - 2) = 0;
lgl + lgl = 0;

0 = 0 - верно;
1 
--
2 )
х
=
—7 =
= 10 3 ;
V l0 
_£
lg(lg 10 *) + lg(lg 10-1 - 2) = 0; 
l g f - I j + lg (-3) = 0;
х = —j = -
 
посторонний корень, т.к. 
Igf — | 
и lg(
—3) 
не существуют.
V io
л з ;
Ответ: {10}.
12. Задание: Решите уравнение lg(0,0 lx ) • lg(l 00х) = 5.
Решение:
lg(0,01x) • lg(100x) = 5, 
О Д З:х>0;
(lg 0,01 + lg xXlg 100 + lg x) = 5;
( -2 + lg x)(2 + lg x) = 5.
Замена: lg x = /.
(/ - 2 )(r + 2) = 5;
/2 - 4 = 5;
Г2 - 9 = 0;
= ± 3 ’
1) lg x = 3, x, = 1000 > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) lg x = -3 , x2 = 0,001 > 0 -принадлйюггОДЗ.
О тлет: {0,001; 1000}.
13. Задание: Решите уравнение log3 х + logr 9 = 3 . - 
Решение:
log, х + logr 9 = 3, О Д З :х > 0 ,х *1 ;
logj х + -------- = 3;
lo g ,x
logj х + - -------= 3.
logjX
Замена: log3 
х
= L

t + —~3;
t
r 2 - 3 f + 2 = 0;
/, = 1, /, = 2;
1) log, x = 1, x, = 3 > 0 — принадлежит ОДЗ;
2) logj x = 2, x2 = 9 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {3; 9}.
14. Задание: Решите уравнение —
— !-----= 1.
log2JC + 21og2x + 2
Решение:
- I , ОДЗ:ж>0.
log2 х + 21og2x + 2
Замена: 
log2 x mt.
^
ь =
1;
/ + 2/ + 2 
2гг -1 = ? ч -2 /+ 2 ; 
t 2 - 2 t - 3 = 0; 
f , » - u /2 * 3;
l )lo g 2x
= 
-1 , jc
, 
= — > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log, x
= 3, 
x , 
= 8 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ:
 i — ;8>.
12 J
Метод приведения логарифмов к одному основанию
Обычно условие 
задания 
подсказывает, к какому основанию следует перейти. 
При этом используются формулы:
loga 
b = 
(с > 0, с *
1
) - формула перехода к логарифму по осно-
log, а
ванию с;
\0%тЬ = — L - ;  
log* и
228

log 
b = —— log,, b (b > 0, p *  0 - целое число, a *  0, |
a |
* 1).
2 
p  
11
Как правило, метод приведения к одному основанию “работает” с мето­
дом введения новой переменной.
15. Задание: Решите уравнение logl6 х + log2 х + log4 х = 1.
Решение:
Логарифмы в левой части уравнения приведем к основанию 2. 
log2. x + log2 x + log2, х = 7, С)ДЗ:х>0;
—log, х + log, х + ~log , x = 7;
-lo g 2x = 7;
4
l°g 2 x = 4;
x = 16 > 0 - принадлежит ОДЗ. 
Ответ: {16}.
2
16. Задание: Решите уравнение log3 x log9 x-log27 x log81 x
. 
Решение:
2
lo g jX -lo g , x-log27 x-logg, x = - ,
О Д З:х>0;
3
2
logj x ■ Iog3, x • log3, x • log
34
x =
1 1 1 - 4
2
2 T l ' ° s >x = V
logj X - 16;
1) log, x = 2;
x, = 9 > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log jX = - 2 ;
x2 
> 0 - принадлежит ОДЗ. 
О твет: |^;9|.
17. Задание: Решите уравнение logr 2 • log2l 2 = log4jt 2.
Решение: Перейдем в обеих частях уравнения к основанию 2.
log2x log2(2x) 
log2(4x)
229

__1_______ 1_________ 1 _
log, х 1 + log2 х 
2 + log2 x 
Замена: log2 x = t.
1 
1
1
,
t 1 + 1 
2 + /
1
1 .
r + t
2 + t '
2 + / = t2 + 1; 
t 2-  2 = 0; 
t, = л/2, t2 = ->/2;
1)log2x = yf2, xl = 2 J i ;
2) logj X = -V 2 , 
х
2 = 2 -л .
Проверка:
1)х = 2 Л ;
lo g ^ 2 - lo g 22vi 2 = lo g 4^ 2;
л/2(1 
+ 
л/2) = 2 
+ 
л/2 
- верно;
2 ) х = 2"Л ;
l° g 2^ 2 • log2 r л 2 = log4 2. л 2;
-
л/2(1 
-
л/2) 
= 
2 
-
л/2 
-верно.
О твет: 
2"^|.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения 
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и 
в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом 
в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо 
прологарифмировать по основанию этого логарифма.
18. Задание: Решите уравнение 
х
 082 х+ —8 = 0 .
Решение: 
х Ыг *+2 = g
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2.

Io g ,(*"*‘" , ) -lo g 2 8;
(log 2 x + 2) log 2 x = 3;
logj x + 2 log 2 x - 3 = 0.
Замена: Iog2.x=j>. 
y2 +2у - 3 =0;
У, = I, y2 ~ -3;
1) log2Jc=l; 
2) log2 x =-3,
= 2; 
i 
Xj = —
.
Проверка:
19. 
Задание: Решите уравнение 
x log,x = 9х .
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3. 
log3 X1083 * — log3 9х;
Iog3x = 2 + log3x; 
log2 x - log3 x — 2 — 0.
Замена: 
log3 x 
= t
. 
t2- t - 2 = 0; 
f, = — 1, t2 — 2;
l)log3x = - l;
2) log3 x = 2;
1 
x, = 9.
3 »
Проверка:
l) x = 2, 2 log22+2=8;
23 = 8 - верно;
Ответ:
-i
- 3 - верно;
231

2 )х = 9, 
(9У°8]9 =81;
lgx-t-S
20. Задание: Решите уравнение х 3 
= 1 0 5+1®х .
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.
l g x ^ = lg l0 5+lgJt, 
О Д З:х>0;
(lg X + 5 )lg^
lg2.y+ 2 1 g x-1 5 = 0.
Замена: lg x = t. 
t 2 + 2 t -1 5 = 0;
/ ,= - 5 , t2 = 3;
1)lg x = -5 ;
x, = 10_s > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) lg x = 3;
x2 = 103 > 0 - принадлежит ОДЗ.
О твет: |l0~5;103}.-
Метод разложения на множители
21. Задание: Решите уравнение л/Зх + 18 • log4(x + 4) = 0 .
Решение:
92 = 81 - верно. 
О тв е т: -j—; 9
л/Зх + 18 • log4(x + 4) = 0;
л/Зх + 18 = 0 или log4(x + 4 ) = 0;
Зх + 18 = 0; 
х, = -6 .
х + 4 = 1; 
х2 = -3 .
Сделав проверку, получим, что корень х , = -6 не подходит. 
О твет: {3}.
232

22. Задание: Решите уравнение ( * 2 - 1 8х + 77) • (log, 8х + 3) = 0 •
(х 2 - 18х + 77)■ (log, 8х + 3) = О, 
О Д З :х > 0 ,х * 2 ;
О т в е т : {1; 7; 11}.
23. Задание: Решите уравнение In х ■ Igx - 3 = lgjc - 3 In х . 
Решение:
In x - lg x - 3 = lg x - 3 1 n x , 
О Д З :х > 0 ;
l n x - lg x - 3 - lg x + 31nx = 0; 
lg x (ln x - 1 ) + 3(Irfx - 1 ) = 0;
( ln x - l) ( Ig x + 3) = 0; 
ln x - 1 = 0 или lg x + 3 = 0; 
ln x = 1; 
Igx = -3 ; 
x ,= e . 
x2 = 0,001.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
О т в е т : {0,001;е}.
Решение:
х 2 - 1 8 х + 77 = 0 
или 
Iogx 8 x + 3 = 0;
х, = 7 - принадлежит ОДЗ;
g
jc
2 = 1 1 — принадлежит ОДЗ. 
— = 8х;
х 4 - 1 = 0;
х3 = 1 — принадлежит ОДЗ; 
хл = -1 - не принадлежит ОДЗ.

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: