И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

§2. М ЕТО Д Ы Р Е Ш Е Н И Я С И С ТЕМ П О КА ЗА ТЕЛ ЬН Ы Х У Р А В Н ЕН И Й
Метод приведения к одному основанию
1
. 
■
4 ,
8
2jr+l =32-24'-',
5-5*-у = 
у
1252у*'.
32х~' -27х+у
 
=3,
.(5* 
-
у )2
 
= 36.
7"
3х 
• 9У = 
3, 
|
2У~Х
 
1
 
3. j 
. 
2х 
~ 64*
дг
1
+7**12 
j
х +
у
= 6, 
6 .1  
у
> 
0
.
8
'
=10у,
2х = 5 у.
21х 
= 
9У,
XIх
+
3У
 
= 243.
2х
 • 
3^ 
= 
24,
3х -2У
 
=54.
Метод введения новых переменных
2х + 2 - З х*у 
= 56, 
3 . 2Х+ 3 Х+У+' 
= 87.
З1х- 2 У 
= 725,
3 *-л /i* =25. 
10‘
[ 3 - Т - 3 У
 
=12, 
[7х -Зу
 
=15.
Методы решения систем показательных уравнений
Системы, содержащие показательные уравнения, как правило, решаются 
сведением показательного уравнения к алгебраическому и решением полу­
ченной алгебраической системы.
При решении систем показательных уравнений используют два основных 
метода:
- метод приведения к одному основанию;
- метод введения новых переменных.
Метод приведения к одному основанию
/ Данный метод основан на следующем свойстве степеней: если две степе­
ни равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо 
попытаться привести к виду а/(х) = a*(Jf). Отсюда f(x ) - g{x) .
Рассмотрим ряд примеров.
[82,+1 = 32-24>_1,
1. Задание: Решите систему уравнений ^ 
______
[5-5*-у =л/25:у+|.
184

Решение:
= 
3 2-24>"\
 
[2 зг-л+1; 
= 2s -24>_,> 
(бх
 + 3 = 
5 + 4у -1 , 
(бх - 4 у = 1,
[l + х - у = 2у +1; 1 х - Зу = 0;
515Х_> = л/252>+|; 
[5,+jr' J 1 5';+I;
( _ 
J
6 х -4 у = 
1, [14_у 
= 
1,
х = 3 у;
х = 3у;
У =
14
Ъ_
14'
Ответ: I —
I. 
14 14
2. Задание: Решите систему уравнений
2
"
Решение:
У ■ 9У = 3, 
2
J ~ *
1 
2* ~ 64’ 
= -4 ;
_ _ 4
13 
5 ’ * “ 5 '
л
(13 
41 
Ответ: —; 
I.
3*-9> =3, 
2У' Х 
1 
2х _ 64
3*-32'= 3 , \х + 2у = 1 |
*2, \2х + 4у = 2,
2х + у -  -6 ;
-2х= 2 -6; 1 -2 х + у = -6 ; 
{ -
3. Задание: Решите систему уравнений •{ 
Решение:
27х = 9V,
[81х -г-3' =243.
2 7 х 
= 9У, 
| 3 З Т = 3 2>, 
ГЗх = 
2 у , 
1> = 1,5х, 
(х = 2, 
8 1 х + 3 ” = 2 4 3 ; | 3 4* + 3 ' = З 5; 
[ 4
jc
 - у = 5; [ 2 , 5 х = 5; [ у = 3. 
Ответ: (2; 3).
Э2*-1 • 27**' *3,
4. Задание: Решите систему уравнений <
[( 5 х - у ) 2 = 3 6.
18S

Решение:
* - .У)2 = 36; \(5х - у )2 = 36; \(5х - у )2 = 36; 
5х + 3у = 2 |
-(-1), ( - 5 х - 3 у = -2 , 
5х - = 6; 
[5
jc
 — у
 
= 6;
-
= 4;
>> = -1 ; 
jc
= 1.
5* 
+ 3у = 2
| -(-О, Г— 5дг — 3>» = -2,
• 
21х*у =
3, Гз2*:1 • 
З 3л+3у 
=
3, 
[5х  
+ 
З у  
= 2,
5х - у  = -6 ; 
|5х - у = -  6;
- 4 > = -8 ;
_V = 2; л = -0 ,8 .
О твет: (1; -1 ), (-0,8; 2).
л! + 7»»12 _
1
/
5. Задание: Решите систему уравнений \ х + у = 6,
у > 0.
Решение:
Из первого уравнения следует, что должны выполняться условия у=\ или 
х1 + 1х+ 12 = 0.
Поэтому исходная система уравнений равносильна совокупности трех 
систем:
У = 1
Y = - I
У *
О твет: (5; 1), (-4 ; 10), (-3 ; 9).
186

6. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
2х - У  = 24, 12х • У  = 23
2Х-3> = 2 4 ,
3х - 2 ' = 5 4 .
Зх -2> =54; [2V -3х = 2 -З3.
Перемножим данные уравнения системы:
2х • 3* • 2-у • 3х = 23 • 3 • 2 • З3;
= 2 4-34;
6X+V = 64; 
х + _)/ = 4.
Разделим первое уравнение системы на второе: 
2х У  _ 2 3 3 
2У -3* “ 2-33 ’
2Т~Г 
22 
3х- , " 3
j
»
ш Hi
x + j> = 4, Гх = 3, 
* - > = 2; |у = 1.
3
х - = 2.
Получим систему 
Ответ: (3; 1).
7. Задание: Решите систему уравнений
8х = 10j>, 
2х = 5 у.
Решение:
Разделив первое уравнение системы на второе, получим:
щ
2х
2 1 , 2 ;
2х
2Ъ - 2 \
1
х = —.
2
187

Подставляя х = — во второе уравнение, будем иметь: 
Л = 5 у; 
2
У -
V2
Ответ:
1 й  
2 ’ 5
Метод введения новых переменных
Некоторые системы показательных уравнений сводятся к системам ра­
циональных уравнений непосредственной заменой входящих в них степеней 
новыми переменными.
\2х + 2 -З х+у
 
=56,
8. Задание: Решите систему уравнений s
Решение:
(3 • 2х + Зх+>+| = 87.
Замена
:
j2 x + 2-3x+v =56,
2 '= а,
j
[3 • 2х + 3 • 3X+V. = 87;
1
3X+V = 6.
[а + 2Ь
 = 56, 
За+ 36 = 87;
М
а + 2Ь
 = 56, 
а + Ь = 29;
Ь 
=
 27, а
 
= 2.
2
х =
2
, 
=
1
, 
(х  =
1
,
Зх+,’ = 27; \х + у = 3; [у = 2. 
0т*еш ;(1;2).
9. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
[з2х - 2 V = 725, [з2т -
2У
= 725,
|32х- 2 ' =725, 
3х
- 4 т =
 25.
[Зт 
- л 1 г = 2 5 ;
_ 2 2 =
 25; .
f(a-6)(a + Z>) = 725, fa + 6 = 29, 
la -г» = 25; 
la - 6 = 25;
Замена 
3х = a,
2 2 = 6 .
а2 - Ъ 2 = 1 25, 
а - Ь
 = 
25;
188

gg 1 2; 
О твет: (3; 2).
10. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
3*7* - 3 ' = 12, 
7* -3 ' = 15.
Замена
:
Г з - 7 '-3^ = 12,
[Ъа- b  
= 12, |
7* = а, а > 0;
| 7 '-3 ' = 15;
{а* = 15; 
{
3 ' = 6, 6 > 0.
1а(За-12) = 15;
За2-1 2 а -1 5 = 0; 
а2 - 4а - 5 = 0;
о, =5,
а, 
= 
—1 
< 0 - не подходит.
а = 5, |7* =5, J
jc
= log7 5,
6 = 3; W = 3 ; Ь = 1.
О твет: 
(log7 5; 1).
189

§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Метод приведения обеих частей неравенства 
к степени с одинаковым основанием
. . f l p
" <
”
64
2
3 . 2 - < Д . -  
V 
32
4. л/27-3-6*’ £ 9 4х
5. 2х*_3 • 5х* '3 - 0,01 • (10х-1)3 < 0
6. Й ®
> (20,25)2х_7
у ■ * 
1 ■' у -* -
7. 0,4х*-2'" 3 
> 1
8. 5* > 7
9. 7х*+4ле <: (2 Х)Х+4
И
. ( Л
+ ! ^ ( Л
- з Г  
l l . f i j
+ 2 '4 j < 1 8
12. З ^ - ' + З ^ - З 2*- 4 ^ ^
13. 2Х+2 - 2Х+3 - 2Х+4 > 5Х+1 - 5Х+2
14. 3х + 2Х~‘ - 2*+2 - 3х-1 +
2Х~3 
> 0
Метод введения новой переменной
Метод интервалов
15.
0,04х - 2 6 -0,2х + 2 5 ^ 0
16. Т х - 3 ‘ 7|+* > 4
17. 2' + 8 > 2 ‘
у
. '
4 2 + 5
19. 3-16х + 2-81х - 5 - 3 6 * > 0
20. 
5 
• 4х + 2 • 25х <, 7 • 10х
0,2х -0 ,0 0 8
л
21. 
------ *-----£ 0
х -\0х 
+
25
4* + 2 х - 4
„
22. — -— - I
й 2
JC-1
е3х~1 - 1
23 . 
- > 0
дс + 8
190

Метод разложения 
на множители
Решение систем неравенств
24. 
х
2 -5
х
- 52+х< 0
25. х 2 -2 х + 4 > х 2 + 2 х*2
26. 
52х*‘
+ 6х+| > 3 0 + 5х -30х
/ 2 У ( 8 Y * > 27 
27. < U J U J
> 6 4 ’
2*’-6*-3.5 < 8^ 2
у/х +
5 
>  - 6 ,
28. \ 
1 
2 9 .4 
2 х <
8
f e
l l < 2 ,
2х-' - 3 - 2 Х+2 > -2 3 .
Методы решения показательных неравенств
При решении показательных неравенств используют в основном те же 
приемы, что и при решении показательных уравнений, только нужно делать 
различие между свойствами показательной функции с основанием большим 
единицы и меньшим единицы.
Рассмотрим основные методы решения таких неравенств:
- метод приведения обеих частей неравенства к степени с одинаковым 
основанием;
- метод введения новой переменной;
—метод интервалов;
- метод разложения на множители.
Метод приведения обеих частей неравенства 
к степени с одинаковым основанием
Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах 
монотонности функции у - сР\
Неравенство 
e/w > 
ак(х)
равносильно
неравенству
f(x)>g(x)
если a > 1
f(x)
е с л и 0 < а < 1
Неравенство 
а Л *)
<
равносильно
неравенству
f(x )< g (x )
если о > 1
f(x )> g (x )
если 0 < о < 1
Множество решений нестрогих неравенств 
а/(х)
S
а*(г)
 или 
а
 
<
a Kix) 
находится как объединение множеств решений соответствующих строгих не­
равенств и уравнения 
а '(ж)
= <г*<х\
191