И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

1 . 
(2rt 
. \
V3
- s i n -----
4x >
;
2 
I 3 
§ 
4 ’
. ( .
2 л )
 
-Уз 
-sin 4x----- > 
•
I
3 J 
2
. j|§
2я-'й л/3 
sin 
4x
----- < — .
I 
3 J 
2
Замена: 
4x
— — = / .
3
• 
,V 3
Sinf < --- ;
2
. л/3 
л- 
or, = arcsin— = —:
2 
3
л —4л
а , = - л
------------ ;
3 
3
a 2 4л 
л
- — + 2лк<1< — + 
2
т
1
3 
^ 3
4л 
2 я я ^ ,
~ — + 2лк< 4х- — <— + 2лк, 
к
е Z;
2л
~ — + 2лк<4х<л + 2лк, 
к е Z;
л як 
л лк
~ e + T s ^ 7 + T
* 6 Z '
Ответ: х е
я лк л лк
----1---; -- 1---
6 
2 4 
2
к
е Z .
11. 
Задание:
Решите неравенство 3 - 4cos2 jc < 0.
Решение:
3-4cos2 х < 0 .
Используя формулу понижения степени 2 cos2 or = 1 + cos 2 а, получим:
3 - 2(1 + cos2x) < 0;
1-2cos2x < 0;\
2
c o s
2
jc
> 1;
0 
1 
c o s
2
jt
> —.
2
316

1
cos/ >
2
1 
л
а
, = arccos— = —;
2 
3
1 
л
а , = -arccos— = — ;
2 
3
Замена: 2 л - 1.
а 2 <<*,;
- — 
+ 2т
3
- —+ 2я
3
- — 
+ лк <х < — + лк, 
к
е 
Z.
6
6
Ответ:
х е | ----
+ лк; — + лк1
1 
6 
6 
N
12. 
Задание:
Решите неравенство 2 
Решение:
А ™
* 1 
7
— sm2jr + -cos2jr 
2
2
<1.
Г г
■
— sin2jc + —cos2x 
2
2
<1;
к e Z .
S
. 
щ
1 
„ 
1
— sm 2
jc
+ —cos 2x < —.
2
2
2
Введем вспомогательный угол, используя табличные значения:
в 
%
— = cos—,
2 
6
1 
. 
л
—
= sin—.
2 
6 ..
Ш Б
я
Замена: 
2x + — = t.
6 ;
1
sin / < —;
2
. 1 
л
а.
= arcsin— = —;
2 
6
_ 
_ 
я _ 1л
ас2 < а.;
* /
317

1
7/г 
я
_ 
,
------+ 2
як < t < —
+ 
2як,
6
6
к
е Z;
7*' 
_ 
л- 
ж
- — + 2л* < 2х + — < — + 
2як,
6
6
6
k e Z ;
4я
Т
2ж
Т
+ 
2як < 2х < 2як, 
к
е Z; 
+ як < х < як, 
к
е Z.
Ответ:
* е 
^ + л*; ** j, 
* e Z .
Замечание.
Введением вспомогательного угла мы также могли получить
неравенство cos^2x- j j < I , решением которого будет f - + *к;» ♦ 
k * Z .
Это вторая форма записи того же множества решений.
13. 
Задание:
Решите неравенство sin дг > cos х В ответе укажите сумму 
натуральных чисел, меньших 10, удовлетворяющих этому неравенству. 
Решение:
sin х > cos 
т,
s in x - c o s x > 0 .
Замечание.
Если для решения подобных уравнений один из основных при­
емов - деление на любое из выражений sin х или cos х, то в неравенствах так 
поступать нельзя, в силу того, что неизвестен знак делителя; либо придется 
рассмотреть два возможных случая.
Решим данное неравенство методом введения вспомогательного угла.
Разделим неравенство на л/2 = Vl1 + 1* •
1 
1 
—
jm%mх — -j—cosx
> 0;
_
я . 
ж
сое — • sin х — sin — cosx > 0:
4 
4
sinl х
Замена: 
x
— ■ 
i
4
sin 
t>
0;
2як < t < я + 2як.

4 
’ 4 | | 4 
|
’ 4 
Натуральные числа, меньшие 10, принадлежащие этим решениям: 
1,2,3,8,9.
Ответ:
23.
Метод сведения тригонометрического неравенства 
к простейшим путем введения новой переменной
14. 
Задание:
Решите неравенство cos2jt + 3sinjr > -1 .
Решение:
cos2x + 3sinx > - I ;
I - 2 s i n 2x + 3sinx + l > 0 ;
2sin2x - 3 s i n x - 2 < 0.
Замена: sin 
x - t .
2/2 - 3 / - 2 < 0 ;
—
£ t< 2 ,
2
2
— < sin x < 2.
2
Правая часть неравенства выпол-
у
няется для любого значения 
х.

—
— + 
2лк < х <
----
1
- 2
лк, 
к е Z.
6
6
Ответ: х
е — — + 2 
лк;
— + 
2лк
6
6
к е Z .
I
15. 
Задание:
Решите неравенство — -— + 
с tgx
- 3 < 0. 
„ 
sin2*
Решение:
1
, + 
с tgx -
3 < 0; 
sin 
X
1 
+ctg2x + ctgx
- 3 < 0;
+ 
ctgx
- 2 < 0.
Замена: ctg x = /.
/2 + / - 2 < 0;
(/ + 
2)(t
-1) < 0;
л
a
, = 
arcctg
1 = —;
4
«2
= ягсс/£(-2) 
— л — arcctgl;
a, < ar2;
— + л к < х < я ' -
arcctg2
+ лА, 
к e Z.
Ответ: x
e 
+ л к ;л - arcctgl
+ 
n k j 
к e Z .
16. 
Задание:
Решите неравенство---- -— < 
1 1
- 2cosx.
cosx +1
Решение:
15
< ll-2 c o sx
cosx + 1 
Замена: cos 
x = t.
15
-----< 11-2/;
/ + 1
320

2/2 - 9/ + 4
------------- < 0;
/ +1
я
Щ
«
/ +1
c o s x < - l ;
решений нет;
2 ) - < / < 
4;
2
— < cosx < 4;
2
1
cosx > —;
2
1 
п
а,
= arccos— = —;
' 
2 
3
1 
я
а , = -arccos— = — ;
|
2 
3
Ц < а , ;
——+
2лк
< х < —+ 2лЛ, -А 6 Z.
3 
3
Ответ:
х е [ - — + 2л*; — + 2яЛ , 
k e Z .
I 3 
3 
/
Неравенства вида /?(sin х, cos" х, sinx-cosx) v 0 , где /? - рациональная 
функция, называются однородными неравенствами второй степени относи­
тельно sin х и cos х. Почленным делением на cos2 х или sin2 х такие неравен­
ства приводятся к квадратным относительно tgx или ctgx.
17. 
Задание:
Решите неравенство sin2х + sin 2х - 3cos2 х > 0.
Решение:
sin2 х + sin 2х - 3cos2 х > 0;
sin2 x + 2sin x - cosx - 3cos2 x > 0 
| : cos2x > 0;
tg2x
+ 2
tgx
- 3 > 0.
321

О 1 - t e 2* . 
2lgx
I
*
--------- i — 1 -----------T “
> tg X .
I + 
tg X
I + 
tg2X
Замена: tg 
x
= 
t.
0 I - / 2 
2/
2 ----- - + ---- - > /;
1+/2 1 + /2
t3 + 2t2- t - 2
t2 
+ 1 
/2(/ + 2 )-(f + 2) 
f2 + l 
(/ + 2 )(/- !)(/ + !)
<0; 
<0; 
<0;
r 41
/ < - 2 или—1 1) r < —
2; 
tgx <-2;
a = arc/g(-2) = 
-arctg2;
71 
.
- — + 70. < x < -arctgl
+ 
7ik,
к
e Z.
2 ) - l < /< 1;
-1 < tgx< 1;
я-
a, = 
arctgl
= —;
4
ar2 = 
arctg(-
1) =
4
ar2 <<*,; 
я-
—+ 
тт < x <
— i- 
7rn, 
n e Z .
4 
4
324
I
Ответ: x e \ - j + 7±;-arctg2 + 7ik^\J^-j + 7ini^ + 7m\ 
k ,n e Z .

Метод интервалов
Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства мето­
лом интервалов:
1. Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит нуль, а 
другая его часть (например, левая) представлена в виде произведения.
2.
Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части 
неравенства.
3. Расставьте на единичной окружности все найденные значения.
4. Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом из полу­
ченных промежутков. Для этого:
а) возьмите произвольное число 
(р
из данного интервала и не совпадаю­
щее ни с одним из ранее полученных чисел;
б) подставьте число 
<р
в левую часть неравенства и определите знак полу­
чившегося выражения.
5.
Поставьте на этом интервале контрольную точку ^следующим образом:
если выражение получилось больше нуля, то вставится вне окружности;
если выражение получилось меньше нуля, 
тоХ
ставится внутри окружности.
6. Начиная с точки Л", проведите плавную линию так, чтобы она проходила 
через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода единичной 
окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вер­
нуться в точку 
X.
7. Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что корень 
четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка четной кратно­
сти не дает возможность волнообразной линии, идущей от точки 
X,
перейти в 
иную область.
8. Определите нужные участки конфигурации, которую образовала про­
веденная линия. Для этого:
а) если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то 
выбираем участки фигуры, лежащие вне окружности;
б) если выражение, стоящее в левой части неравенства, меньше нуля, то 
выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной окружности.
9. Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги единичной 
окружности, которые принадлежат выбранным участкам.
Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.
20. 
Задание:
Решите неравенство cos 
х
• (0,5л/3 - sin jc) > 0.
Решение:
cos* • (0,5л/3 - sin 
х) >
0;

1) c o sx = 0; 
n
X
= — + лк,
2
А = 0 : x =
k e Z ;
.
, 
3
Л
к
= 1: 
x
= — ;
2
2
• 
V3
2) s in x ------ = 0;
/1
 =
0
:
/1
 =
1
:
я = 2 :
П
= —1 !
7t
x
= —;
3
. 
л- 
2л- 
x = (-1 )— h л = — :
3 
3
x = ( - 1 ) — + 2 л =
3 
3
, 
it
 
4л-
x = ( - 1 ) -----
7t
 = ------- ;
t 
3 
3
4 л
2 л
~ ~ - у — точки стали повторяться, значит, мы нашли все значения х.
Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками. 
Поставим контрольную точку, положив 
q>=
0.
Тогда cosO-
• ft 
&
sinO------
2
Кривая знаков ведется из­
нутри окружности.
Решению исходного нера­
венства соответствуют дуги ок­
ружности в тех областях, кото­
рые отмечены знаком
При записи окончательного 
ответа следует иметь в виду, что 
в одной из областей (она пока­
зана пунктирной стрелкой) на­
рушается переход от меньших
значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению
— 
j прибавить 
2 л
или от большего значения
отнять 
2 л.
Окончательное решение можно записать в виде совокупности интервалов.
326

2л
Ответ: х
€ 
I 
— 
+ 2лк; — + 2лк
U 
— + 2ли;— + 2л
п
L 
k , n e Z
Зл
1л
или 
х
€ I ----
+ 2лк] — + 2лк
2 
3
3
2л
|и ( — + 2ли;-^- + 2яи |, 
k ,n e Z .
sin Зх ■
cos
21. 
Задание:
Решите неравенство
Решение:
Я
sin 
2х
sin Зх-cos 
2 х
----
6
< 0.
sin2x
Рассмотрим совокупность уравнений:
I _ 
^
sin Здг = 0,
М Ж
СО!
sin 
2х
= 0;
л лп
X
= — + ---
,
3 
2
Отметим корни на окружности: 
1) * = 0 : 
х =
0;
к = 1:
л
аиг
к = 2:
х =
2л
к
= 
3
: 
х = л;
к =
4 : 
х
Я
3
к = 5: 
х Ш Щ
3) /и = 0 : 
х = 0;
1 
71
т
= 1: 
х = —;
2
/я = 2 : 
х = /г;
* 
3/г 
от = 3: 
х = — .
:£0.
к,п,т
6 Z.
2) л = 0: 
л = 1: 
л = 2 :
п = 3:
л
х = —;
3
5л
х
= — ; 
б
_ 4л-
* ” Т ’
1 в
Помните, что эти точки не являются решениями 
неравенства!
327

Выберем 
q>
= — е 0;
. 
л 
л
sin — • cos —
— > 0.
Проведем кривую знаков, 
учитывая кратность некоторых 
точек.
Ответ:
( л - , 2 л
J .
х
6 —+2 
лк\
— + 2 л* 
12 
3
5 
л
Зл
—~ + 2лп;л + 2лп
U 
л + 2лт;
— + 2
лт
U
5л
11 
л
,
---- 1- 2л/;-----
1
- 2л/
3 
6
U |y + 2 /c f|, 
k,n,m,l,teZ.
22. Задание:
Решите неравенство sin 2х - sin 
Зх >
0.
Решение:
sin2x-sin3x > 0;
2 sinf- —1 • cos — > 0;
sin —-cos— < 0.
2 
2
Введем новую переменную: 
— = t.
sin 
t-cos 5t =
0;
sin / = 0, 
cos 5/ = 0;
/ = ли, 
л лк
t
— — H---- ,
10 
5
n,k
e Z.
328
Найдем серии решений:
1) и = 0: 
t = 0;
п
= 1: 
/ = 
л\
2)* = 0: 
/*£■ •
10
, 
, 
л л Зл
к =
1: 
/ = — + —= — ;
10 5 
10

* = 4:
* = 5: 
4
=
6
:
* = 7: 
к =
8:
* = 9:
к = 2:
к =
3:
я
2’
Тяг
10*
9я 
10* 
Пя
10 ’ 
13л- 
10 ’ 
Зя
2 ’ 
17я
10 ’ 
19я- 
10
- 
 
 
( я
ЗяЛ
Из рисунка видно, что решение 1гг» — I повторится через 
я,
это интервал
Чя 13*^ 
( я  7яг\ .( 9я А
7(Г;"нГ]’ решения г
IUl — ;;rJ через период 
я
будут интервалами
(т^НтН-
329

<
Следовательно, ответ можно записать в виде:
я 
'Зл 
,
— 
+ лк
< / < —
+ лк,
10
10
я
7л
—
у
 лп < t <
-----
1
- ли,
2 
10
9л
То
+ ЛШ<1<Л + Лт, 
к,п,т е Z.
З
л
-
— к 2
лк < х <
— + 2
лк.
5
5
1л
_
л + 2 ли < х < ----- 1- 2 ли,
5
9л
+ 
2лт < х < 2 л
+ 
2лт,
Ответ: х
е [ — + 2лА; — + 
2лк
] U [ 
л
+ 2ли; ^ + 2ли
и
к,п,т
е Z.
и
+ 2 л т ;2 л + 2 л т , 
k ,n ,m e Z .
23. 
Задание:
Решите неравенство sin 
х ■
cos 5х < sin 
2х ■
cos 
4 х .
Решение:
sin 
х ■
cos 5х < sin 
2х •
cos 
4х.
По формулам преобразования произведения тригонометрических функ­
ций в сумму, получим:
—(sin6jc + sin(-4x)) < ^(sin6jc + sin(-2x));
sin 
бх
- sin 
4х <
sin 
бх
- sin 
2х\
s in 2 x -sin 4 x < 0; 
sin 
2x - 2
sin 
2x •
cos 
2x
< 0; 
sin 2jc( 1 — 2 cos 
2x) <
0; 
sin2.x(2cos2x-l) > 0;
1) sin 
2x
= 0;
2x
= 
лк, к
€ 
Z;
rik
x
= —
k e Z ;
2
2) 
cos 
2x =
—;
1 
2
2x = ± — н2ли, и 
g
 
Z;
3
330

* = 0: 
х
 i 0;
А = I : 
х = —;
2
Л = 2: 
х = 
п;
к =
3: 
х = — ;
2
Выберем 
= у е
х = ± — + ля, 
n e Z ;
6
п =
0: 
х = ± —;
и = 1: 
дс = ± —+ я =
6
7л-
I F ’
5л-
т
sin
Следовательно, А' находится внутри окружности. 
Проведем кривую знаков и найдем решения неравенства.
Учитывая периодичность, запишем ответ.
Ответ: х
е [ 
як;
— + 
як
( j f — + ля; —
V 
6 
у V 2 
б
+ 
ЯП
к,п
е Z.
Резюме
Мы начали данную главу с рассмотрения тождественных преобразований триго­
нометрических выражений. Затем изучили методы решения тригонометрических урав­
нений и неравенств. Сначала мы рассмотрели методы решения простейших тригоно­
метрических уравнений и неравенств, затем перешли к обсуждению решений более 
сложных заданий
331

В данной главе даны рекомендации по выполнению преобразований тригономет­
рических выражений.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
- знать значения тригонометрических функций для значения аргументов 0;
я я л л
6 ’ ■4’ 
1 ’ 2 ;
- определять знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной 
окружности;
- применять свойства периодичности тригонометрических функций при вычис­
лении их значений;
- знать основные формулы тригонометрии;
- строить графики тригонометрических функций с учетом их свойств;
- находить значения основных тригонометрических функций по значению одной 
из них;
- выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений;
-записывать общее решение простейших тригонометрических уравнений;
- решать простейшие тригонометрические неравенства с помощью единичной 
окружности;
- решать тригонометрические уравнения с использованием формул, указанных в 
школьной программе;
- решать тригонометрические неравенства методом интервалов;
- преобразовывать и вычислять выражения, связанные с обратными тригоно­
метрическими функциями.
Подробно изложены темы: решение тригонометрических неравенств методом 
интервалов и вычисления обратных тригонометрических функций, которые в обще­
образовательной школьной программе не изучаются.
332

Глава V
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ПРОГРЕССИЕЙ
Основные сведения и формулы по прогрессии.
Арифметическая 
. прогрессия
Геометрическая
прогрессия
Допустимые 
значения 
Формула 
общего члена
а]
и 
d
- любые числа 
а„
= а, 
+ (n -\)d
6| ?*0; 
q *
0
Ь ^ Ь г Г '
Характеристическое
***-! + ^*+1 
Q
= 
—!—
!
----
2
bg = bk_t
• 
bl+l
свойство
Формула суммы
5я = а , + ° " « = 
2
Если 
q*
1,
п
первых членов
2а. + (п
- 1 
)d
= —
-
-------------
п
2
о _ 
b„q~bx _ bx(q"
-1 ) 
q -
1 
<7-1 
Е сли^= 1, 
S„=n-b{
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
5 =
1 
- q
§1. 
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Запись условий задачи в виде системы уравнений (через 
а.
и 
d)
j a 2 +Oj +а4
=12, 
Г 5, 
= 
88,
' [flj 
+а4 +а5 =
21; 
^’ \ a 3 + as = lS;
ax, d - l
а 7 - ?
£
J a ,+ a ,+ a ,
= 
-12, 
j a , - a 2 -a} =6,
‘ [о, -fl3 
as
=80; 
' \ a l a2 a1 a4 =
24;
а „ о 2,о 3 - ?
al,a2,ai , .. - 7
a, 
_ ^
°2
al}
= 
2a6 
+ 
5,
[a, + 
ar2 +flr3 
= 2,
а 
2
2
И
K + a 2
2+ a32 
= y ;
а„а2,Оз-?
333

7.
Я|7 + OjO *"
^16 ' 
^21 =
150,
8. 52 •5‘* •5е •...•5 " = (0,04)~2*; 
х - 1
9. 
(х -
1) I (* 1 3) I ... 
+ ( х -
27) = 70 
х - 1
а , - 1
Использование свойств арифметической прогрессии
I
10. 
-Jx, 
у/5х+А, 
л/12дс + 13; 
х - 1
а, + 
а2
+ 
аъ +
а4 = 40,
12
.
11. Ig2, lg(2* - 6), lg(2x + 34); 
х - 1
а„ + а
п_, + 
ап_2
+ 
ап_г
= 104; 
п - 1
Нестандартные задачи
13. 
= 
2п2 — Зп;
14. а 3 + а 9 = 8 ;
15. а , = 6;
5 - 9
17
16. а 2 + 2а7а 5 
+ 
а \ 
-
(а8 + а 4)2 - 2 . 17. Углы многоугольника образуют ариф­
метическую профессию, 
min = 120°,
d
= 
5°. 
п - 1
Задачи без числовых данных
18. Найдите сумму всех положитель­
ных четных двузначных чисел, 
делящихся на 3 нацело.
19. Какой член арифметической прогрессии 
получится, если от суммы первых десяти 
членов вычитаем девятикратный первый 
член той же прогрессии?
Арифметическая прогрессия
Реш ение задач составлением системы уравнений
Стандартным методом при решении задач, связанных с арифметической 
прогрессией, является запись условий задачи в виде системы уравнений, в 
которой неизвестны, как правило, первый член прогрессии и ее разность, а 
иногда и количество членов прогрессии. При этом удобнее в начале записать 
уравнения через 
ак,
а затем переписать эти уравнения через а, и 
d.
Если полу­
ченную систему удается решить, то профессия считается полностью заданной.
Рассмотрим ряд примеров.
334

1. 
Задание:
Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметичес­
кой профессии равна 12, а сумма третьего, четвертого и пятого равна 21. 
Найдите первый член и разность этой профессии.
По формуле я-го члена арифметической профессии выразим каждое сла­
гаемое через о, и 
d,
и подставим в систему:
j(a, + d) + (a,+2d) + (a,+3d) = l2, j3a ,+ 6d = \2, ja ,+ 2 d = 4,
\(a,+ 2d) + {a,+3d) + (a,+ 4d) = 2Y, {3a,+9d = 2\; \a,+ 3 d = 7.
Система решается вычитанием: 
d=
3; a, - -2 .
Ответ:
a, = -2 ; 
d= 3.
2. 
Задание:
В возрастающей арифметической профессии сумма первых 
восьми членов равна 88, а сумма третьего и пятого членов равна 18. Найдите 
седьмой член профессии.
Решение:
Вычитаем уравнения и получаем 
d=
4; a, = -3 .
а7
= 
а,
+ 
6d
= - 3 + 24 = 21.
Ответ: Oj=2\.
3. 
Задание:
При делении девятого члена арифметической профессии на 
ее второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена 
этой профессии на ее шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. 
Найдите первый член и разность профессии.
Решение:
Вся сложность данного задания заключается в составлении второго урав­
нения.
Решение:
По условию имеем систему уравнений:
а2
+ 
а}
+ 
ал
=12, 
а3+а4+а5
=21.
5, = 88, 
о, + 
а,
=18;
2
(о, + 
2d)
+ 
(а, + 4d) =
18;
2а. + I d а ао
— 1
-----
8
= 
88
,
2а, +
7 
d
= 22, 
2а. + 6d
= 18.
4а,
= 
3d,
a,
j = 2 
ал +
5;
Ответ:
 а, = 3; 
d = 4.
335

4. 
Задание:
Найдите три первых члена 
а х, 
аг,
а3 арифметической прогрес­
сии, если известно, что 
а,
+ 
а} + а} =
-12 и 
а, 
■
 
а} 
■
 
а,
= 80 .
Решение:
Из условия следует:
(-4 - 2й0(-4 + 
2d)
= -20;
(2(d
+ 
2)(d
- 2) = 5; 
d1-
4 = 5; 
d2 =9;
d =
-3, a, = 2, 
a, 
= -1, a3 = -4; 
d = 3, ax-
-10, 
a2 =
-7, a3 = -4.
Ответ:
2; -1; -4 или-10; -7; -4.
5. 
Задание:
Найдите натуральные числа, образующие арифметическую 
прогрессию, если произведение трех и четырех первых ее членов равны со­
ответственно 6 и 24.
Решение:
\аг а2-а3 = 6,
[о, 
• 
а2
• 
а3 • 
аА 
=
24.

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: