И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

14
сию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна — .
Найдите эти числа.
Решение:
Из условий следует:
6. 
Задание:
Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-
(а,
 + а, + о. = 2, 
(a, + (a, + d)+
(а, + 
2d)
 = 2,
|а 2 + Oj +Oj! = — ; I а,2 + (а, 
+ d)z
 + (а, 
+ 2d)2
= — ;
d
 = — а.,
3
°г + « + | 7 - ° . I
Q|" + —H — + I =
14
, 4 16 8 
, 14 
Л
of н-----к-------- а, + а , ------ = 0;
9 
9 
3 
9
_ 2 
8 
6
Л 
2а, — а. + — = 0;
3 
9
3ej* -
4а, 
+1 = 0; 
| 
а,2 - 4а, 
+ 3 = 0;
а\
I 
о, = I
а ,= 1 . 
| 
а, =1Г
п
1 л
2 
1 
1 
1 1 2
1
)
0
, = 
а
 -------- --
а, 
а, = 1;
1 
3 
3 3 
3 -
3 3 
3 
3
. J
2 , 
I 
, 1
2
 
I
2) а. = 1, 
d
 = — 1 = — , а, = 1 — = —, 
а. = - .
' 
3 
3 
J 
3 
3 
3 
3
. 2 1 
1 2 . 1 
Ответ:
1; —; - или 
I.
3 3 
3 
3
7. 
Задание:
Сумма семнадцатого и двадцатого членов арифметической 
прогрессии равна 35, а произведение шестнадцатого и двадцать первого чле­
нов равно 150. Найдите первый член прогрессии.
337

x = 5, 
f 
jc
= 30,
или 
i
у
= 30; 
U = 5;
a\t
+ 
a20
= 35, |(a, + 16cf) + (a, +19cf) = 35, f(a, +15d) + (a, + 2(W) = 35, I 
aI6 a2I=150; {(a, +15rf)(e, + 20rf) = 150; {(a, 
+\5d)(al
+ 2I
Обозначим 
a,
+ 
\5d
= x, 
a, + 
20с/ = 
у
.
x+ y = 35
,
xy = 150;
fa1+15d = 5, 
fa,+15Ц +20 
d 
-
30; 
[a, + 20*/ = 5;
5rf = 25; 
5 
d 
=
-25;
d =
5; 
a, = -70; 
a, = 105. 
Ответ:
a, = -70 или a, = 105.
8. 
Задание:
Решите уравнение 52 ■ 54 • 56 •... • 53* = (0,04)-28.
Решение:
52 • 54 ■ 56 • •
52
x
= (0,04)~28;
j2+4+6+...+2« _^j-2^-28.
2 + 4 + 6 + ... + 2x = 56;
Решение:
1 + /? - 1 = x, 
[n = x,
fa„ = а ,+ ( л -1 )< /, 
f2 + (/i —1)-2 = 2x,
1^» = 
2
° " '
j —
• 
n
= 56; 
|(1 + х)я = 56; |(1 + x )x = 56; 
x 2 + x - 5 6 = 0;
x x
= - 8 - не подходит по смыслу задачи,
*2= 7.
Ответ: х=7.
9. 
Задание:
Решите уравнение (х -1 ) + (х - 3 )+ ...+ ( х - 27) = 70. 
Решение:
( х - 1 ) + ( х - 3 ) + ...+ ( х - 2 7 ) = 70;
[а„ =Ot+(n-l)d,
Г(х—1)+(я—IX—2) = х-27, г _ 14 
Г/» —14
+ 1 
Т
7 ^
г [(х-14) я = 70; 
1х-14 
= 5;
Гд = 14,
|х = 19.
Ответ: х
= 19.
338

Рассмотрим основные свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый член арифметической профессии, начиная со второго, являет­
ся средним арифметическим двух соседних членов:
а =
_*_!-----*iL
2
2. В конечной арифметической профессии суммы членов, равноотстоя­
щих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
а, 
+ 
а„
= 
а , 
+ а„_, = ... = 
ак
+ 
а„_*+, 
= 2cr, + 
d(n
- 1 ).
Приведем задания на применение основных свойств арифметической про­
грессии.
10. 
Задание:
Найдите все значениях, для каждого из которых следующие
числа л/х, л/5х + 4, Vl2x + 13 являются последовательными членами арифме­
тической профессии.
Решение:
Составим среднее арифметическое:
rz
----
— -Jx
+ 
-Jl2x
+ 13
л/5х + 4 = ------------------- ;
2
2л/5х + 4 =л/х + л/12х + 13;
4(5х + 4) = 
х
+ 
2 jx ( \
2х +13) + 1
2х
+13;
2л/х(12х+Тз) = 7х+3;
4(12х2 +1 Зх) = 49х2 + 42х + 9; 
х
2 - 1 0
х
+ 9 
= 0 ;
х, = I, XV- 9 .
Ответ:
{1;9}.
11. 
Задание:
При каких значениях х, три числа lg 2, lg(2x - 6 ), lg(2x + 34) 
образуют арифметическую прогрессию?
Решение:
Составим среднее арифметическое:
l g ( 2 ' - 6 ) J M
l i i l ) .
2Ig(2x - 6 ) = lg(2 • (2 х + 34));
(2х - 6 ) 2 = 2 (2х + 34).
Замена: 2х = 
а, а >
0 .
Решение задач 
с использованием свойств ариф метической прогрессии
( а - б ) 1 = 2(а + 34);
339

о 2 - 1 4 о - 3 2 = 0;
а, = 16,
а2 = —2 - посторонний корень;
2х
= 16;
х = 4. 
О т в е т ; {4}.
12. 
Задание:
Найдите число членов арифметической прогрессии, зная, что 
сумма ее первых четырех членов равна 40, сумма последних четырех равна 
104, а сумма всех членов равна 216.
Решение:
Го, + о2 + о3 + о4 = 40,
1 ° . + 
+ 
+ fleJ,|== 104.
Складываем эти равенства:
(о, + о„) + (о 2 + о„_,) + (о 3 + о„_2) + (о 4 + а„_3) = 144;
4(о, +о„) = 144; 
а, + а„ = 36;
— •/1 = 216;
2
и = 12. 
Ответ: п
= 12.
Решение нестандартных задач на арифметическую прогрессию
Несмотря на то, что предложенная схема решения задач на арифметичес­
кую прогрессию охватывает большинство задач, не редко встречаются задачи, 
выходящие за рамки этой схемы - задачи нестандартные.
Рассмотрим ряд примеров.
13. 
Задание:
Известно, что при любом 
п
сумма 5„ членов некоторой про­
грессии выражается формулой 
Sn
= 2
п1 -
3
п .
Найдите десятый член прогрессии. 
Решение:
При решении задач, в которых используется понятие суммы членов ариф­
метической профессии, удобно применять следующую формулу:
а» = s n - s n-i-
an = S n -
= 2
п2
- 3
п -
(2(я - 1)2 - 3
(п -
1)) =
= 
2п2 - З п - 2п2
+ 4и - 2 + Зи - 3 = 4и - 5;
340

а,0 = 4 - 1 0 - 5 = 35.
Ответ: а}0 = 35.
14. 
Задание:
Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрес­
сии равна 8. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии. 
Решение:
Из условия следует:
а3 + а9
= 8;
о, + 
2d
+ 
а^
+ 8 
d
= 8;
2 а, +1
0d
= 8;
15. 
Задание:
В арифметической прогрессии девятый член равен 6. Найди­
те сумму семнадцати первых членов этой профессии.
Решение:
По условию а, + 8
d=
6.
Выразим сумму семнадцати членов профессии:
Ответ: Sv =
102.
16. 
Задание:
В арифметической профессии вычислите: 
а2
+ 2
а7а5
+ 
а]
- (а8 
+
а4)2 - 2.
Решение:
Первые три слагаемых соберем по формуле квадрата суммы и получим: 
of + 2а7а5 
+ а\ -
(а, + 
а4)2
- 2 = (а, + о,)2 -(а* + а4)2 - 2 =
= (2а, +10 J ) 2 - (2а, + 
l O d f - 2 =
-2.
Ответ: -2.
17. 
Задание:
Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого мно­
гоугольника, наименьший из которых равен 120°, образуют арифметическую 
профессию с разностью 5°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Решение:
Используя формулы суммы членов арифметической прогрессии и сум 
мы внутренних углов л-угольника 
S„
= 180’(/i - 2), получим:
1
2а, + 10tf
-11 = - . 11 = 44.
2
Ответ:
44.
с _ 2а, +16rf
1,7-------
2
• 17 = (а, + 
id)
• 17 = 6 • 17 = 102.
341

360(л - 2) = (235 + 
5п)п;
72(л - 2) = (47 + л)л; 
п2
+ 
41п
- 72л +144 = 0; 
л2 - 2 5 л + 144 = 0; 
л, =9,
л2 = 16 - не удовлетворяет условию задачи, поскольку в этом случае
а,6 
=
120° +5° *15 = 195°, а внутренний угол выпуклого л-угольника всегда 
меньше 180°.
Ответ:
л = 9.
18. 
Задание:
Найдите сумму всех положительных четных двузначных чи­
сел, делящихся на 3 нацело.
Решение:
Из условия следует: а, = 12, 
d =
6, 
ап =96.
а„ 
= а, 
+ ( n - l ) d ;
12 + (л - 1 ) - 6 = 96;
2 + ( л - 1) = 16;
л = 15;
Ответ:
810.
19. 
Задание:
Какой член арифметической прогрессии получится, если от 
суммы первых десяти членов вычесть девятикратный первый член той же про­
грессии?
Решение:
По условию:
а. +а.
2
II • 
п
=
5,о - 9 я ( =
2а.
+ 9
d
---- -------10 —9а, = 10а, 
+45d
- 9 а , = а, + 4 5
d = а^.
Ответ:
а4б.
342

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: