вШ х + 5 X на 1 ч меньше | 354

Составим и решим уравнение:
450 450 
х 
х+5
450(х
+
5 
-
х)
= 
х(х
+ 
5); 
х2 + 5 х - 2250 = 0;
-5 0
-
не уд. уел.,
45.
Ответ
: 50 
км/ч,
45 
км/ч.
3. 
Задание
: Реактивный самолет за 0,5 часа пролетел на 200 
км
больше, чем 
моторный самолет пролетел за 1 час. Найдите скорость каждого самолета, если 
скорость реактивного самолета в 3 раза больше скорости моторного. 
Решение:
Обозначим скорость моторного самолета х (
км/ч
);
х > 0.
х, , =
Величина
Движение
реактивный
моторный
S = v t (км)
V (км/ч)
t (ч)
1,5х
|на 200 
км
б 
Зх 
0,5
X
ольше у
X
1
Составим и решим уравнение:
1,5х - х = 200;
0,5х = 200;
х = 400. 
Ответ:
400 
км/ч,
1200 
км/ч.
4. 
Задание
: Скорый поезд был задержан у семафора на 16 
мин
и нагнал 
опоздание на перегоне в 192 
км,
идя со скоростью, превышающей на 10 
км/ч
положенную по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию? 
Решение:
Обозначим скорость поезда по расписанию черезх 
(км/ч); х
> 0.
Величины
Движение
по расписанию
в действительности
S (км)
192
192
v (км/ч)
X
х + 
10
S
192
192
/ = -
(ч)
V
X
х + 
10
^ на 
16 
мин
меньше
355

I 
s
16 
4
16 
мин
= —
= —
ч
.
60 
IS
Составим и решим уравнение:
192 
192 
4 
х
jt + 10 ~ 15*
48 
48 
1 
х
х + 10 
15* 
х 2 +1 Ох-7 2 0 0 = 0;
= 80, 
х2 -
-9 0 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ
: 80 
км/ч.
5. 
Задание:
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость 
поезда равна 40 
км/ч.
Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, 
пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо 
окна в течение Зс. Определите скорость встречного поезда, если известно, что 
его длина 75 
м.
Решение:
Пусть скорость встречного поезда
х (км/ч), х >
0.
Скорость, с которой встречный поезд проходит мимо наблюдающего пас­
сажира, равна 
х
+ 40 
(км/ч).
0,075 . ч
Время, за которое поезд пройдет мимо пассажира, р а в н о --------
(ч).
х + 40
Поскольку 3 
с -
------ = -------
ч,
составим и решим уравнение:
3600 
1200
0,075 
1
* + 40 ~ 1200’ 
х + 40 = 90; 
х
= 50.
Ответ:
50 
км/ч.
6. 
Задание:
Турист проплыл по реке на лодке 90 
км,
а затем прошел пешком 
10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4ч меньше времени, чем на 
путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько он плыл по 
реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния 
были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько плыл по реке?
Решение:
Обозначим скорость движения по реке х 
(км/ч),
а скорость движения пеш­
ком 
у (км/ч); х,у>
0.
356

Величины
Движение
по реке
пешком
по реке
пешком
10
90
----X
—
У
5 = v / 
(км)
90
10
У
X
j
равны
v (км/ч)
X
У
X
У
с
90
10
10
90
X
У
У
X
f на 4 ч меньше |
Составим и решим систему уравнений:
90 10
х 
у
'
|90_у- 10х 
= 4ху, (у2- 5 у = 0,
10дг _ 90
у
(х2 = 9
у 1;
[х = 
Зу;
А У 
х
у,
= 5; 
у 2 =
0 —
не удовлетворяет условию задачи.
Если_у = 5,х= 15.
Ответ: 2 ч,6 ч.
7. 
Задание:
Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в две 
минуты. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 
км
от точки старта, а 
пробежав от точки старпга 5 
км,
он повернул обратно и встретился с первым 
бегуном. Эта встреча произошла через 20 
мин
после старта первого бегуна. 
Найдите скорость второго бегуна.
Решение:
Обозначим скорости бегунов х 
(км/ч),у (км/ч);у>х> 0.
Величины
Движение
1 бегун
2 бегун
1 бегун
2 бегун
S = v • / 
(км)
v (км/ч)
S
/ = -
(ч)
V
1
X
1
X
j 
m 2 мин (
1
У
1
У
юлыие |
1
—X
3
X
20 
мин
= —
ч
3
3
i o '
У
18 
мин =
— ч 
10
С учетом того, что 2 
мин -
— 
ч
составим и решим систему уравнений:
357

1 I _ _L
x у
30 ’ 
Г30(>» 
— дс) 
= 
ху, 
\x(y + 30)
= 
ЪОу,
3 
f
1 1 
9v = 300-10*; 11 Олт = 3 0 0 -9 v ;
У 
= 5 + \ 5 - ± х \ ; Ц
 
1
___т
Разделим первое уравнение на второе:
J/ + 30 _
_ 3 0 у _
10 
~ 3 0 0 - 9 ^ ’ 
(у = 20,
у 2
+ 30
у
-1 ООО = 0; 
[х = 12. 
Ответ
: 20 
км/ч.
8. 
Задание:
Два самолета, вылетевшие одновременно из двух аэродромов 
А
и 
В,
расстояние между которыми равно 2200 
км,
встретились через 2 часа. 
Первый прибыл в пункт 
В
на 4 ч 35 
мин
раньше, чем второй в пункт/4. Найдите 
скорости самолетов.
Решение:
Обозначим скорости самолетов через 
х (км/ч)
и 
у (км/ч); х,у>
0.
Величины
Встречное движение
Общие величины
1 самолет
2
самолет
S =
v
• / 
(км)
2200
2200
2200
v (км/ч)
X
У
х + у
S
2200
2200
<Ч>
2
V
X
У
1 на 4 ч 35 
мин
меньше 
\
С учетом того, что 
4 ч
35 
мин
= 4 
— ч
составим систему уравнений:
(х + у) • 2 = 2200, 
, 
(
к 
*
Гх -и >» = 1100, 
Гу = 1100-х,
■< 2200 
2200 
. 7
{ 
{
— --------— = 4 — ; [4 8 0 (х -^ ) = ду; 
|4 8 0 (2 х -1 100) = х(1100-х);
х 2- 1 4 0 х - 480 1100 = 0; 
х 2 - 140*-800-660 = 0; 
х, = 800;
х2 = -6 6 0 - не удовлетворяет условию задачи; 
fx = 800,
{.у = 300. 
Ответ:
800 
км/ч,
300 
км/ч.
358

9. 
Задание
: Легковая машина за 2 ч проходит столько же километров, сколько 
грузовик за 3 ч. Но если скорость легковой машины уменьшить на 30 
км/ч,
то 
она за час пройдет на 10 км меньше, чем грузовик за это же время. Определите 
их скорости.
Решение:
Обозначим скорость легковой машины 
х (км/ч),
а грузовика_у 
(км/ч); х,у>
0.
Величины
Движение
легковая
грузовик
легковая
грузовик
5 = v - / 
(км)
2х
з
у
х - 3 0
У
1
одинаковый }
| на 10 км меньше t
v (км/ч)
X
У
х - 3 0
У
t (ч)
2
3
1
1
Составим и решим систему уравнений:
2х = 3у, 
\2 x - 3 y =
0, 
[2х—3у
= 0, 
[у = 40,
7
- ( х | 30) =10; { - * + >• = - 2 0 |- 2 ; 
{ -
2х + 2у =
-40; 
[х = 60.
Ответ
: 60 км/ч, 40 км/ч.
10. 
Задание: И
з
Л
в
В
ииз
В
в
Л
одновременно вышли два пешехода. Когда 
первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 
км,
а когда второй прошел половину пути, первому до конца пути осталось прой­
ти 15 
км.
Сколько километров останется пройти второму пешеходу после того, 
как первый закончит переход?
Решение:
Обозначим расстояние между 
А
и 
В
через 5
(км),
скорость первого пеше­
ходах 
(км/ч),
второго 
у (км/ч);
5, 
х ,у >
0.
Условие
Уравнение
Когда первый прошел половину пути, второму до конца 
осталось пройти 24 
км.
Когда второй прошел половину пути, первому до конца 
эсталось пройти 15 км.
5
5 - 2 4
2х 
у
5
5 - 1 5
2 
у
х
Составим систему уравнений:
Перемножив уравнения (правые и левые части соответственно), получим:
359
Замена
: 
y : t .
S / = 2 5 -4 8 , 
5
- = 2 5 -3 0 .
I

5 2 - 525 + 480 = 0;
40,
12 
-
не уд. условию, т.к.
5 > 24. 
2 5 - 4 8
2 - 4 0 - 4 8
32 _ 4
40 ~
5 2 = ( 2 5 - 4 8 ) ( 2 5 - 3 0 ) ;
I 
=
5
40 
40 
5 
* 
5
Следовательно, после того как первый пешеход закончит переход, второму 
останется пройти:
5 - — - v = 4 0 - 4 0 - — = 1 
х
'
 
5
Ответ:
8 
км.
Движение по окружности 
При решении задач на данную тему следует учитывать, что:
а)
если при одновременном движении двух объектов по окружности из 
одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройден­
ных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности;
б) если два объекта движутся по окружности радиуса 
R
с постоянными 
скоростями v, и v, в разных направлениях, то время между их встречами
2nR
вычисляется по формуле---------;
V, + 
v2
в)
если два объекта движутся по окружности радиуса 
R
с постоянными 
скоростями v, и v2 в одном направлении, то время между их встречами равно
2яЯ 
.
—-----, (V, > v2).
v , - v a 
, 
Ш Ш
11. 
Задание:
По окружности, длиной 60 
м
равномерно и в одном направле­
нии движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее дру­
гой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 
мин.
Опреде­
лите скорости точек.
Решение:
Пусть первая точка проходит полный оборот за* (с), тогда вторая точка -
за* + 5 (с);* > 0 .
Величина
Движение по окружности
1 точка
2 точка
S (
m
)
60
60
5
60
60
v = 
— (м/с)
*
* + 5
/(с )
*
* + 5
v, > v2.
360

I
Учитывая, что точки движутся по окружности в одном направлении, соста­
вим уравнение:
60
= 60;
60 
60 
х 
х+5
х(х + 5)
=1 
60-5 
дгг + 
5х
— 300 = 0;
- 2 0
- не уд. услов.
15.
•*12
Скорость первой точки 
4 м/с,
второй 3 ju/c.
Ответ: 4 м/с,
3 
м/с.
12. 
Задание:
По окружности, имеющей длину 1350
м,
в одном направлении 
едут два велосипедиста. Первый обгонял второго каждые 27 
мин.
При движе­
нии в противоположных направлениях они встречаются каждые 3 
мин.
Найди­
те скорости велосипедистов.
Решение:
Пусть скорости велосипедистов равны 
х км/ч, у км/ч; х> у > 0.
Используя формулы для времени движения объектов по окружности, по­
лучим:
1 
1,35
20 
х + у
х + у = 27, 
jx =15,
9 
1,35 
1 х - у = 3; 
(у = 12. 
Ответ: 15 км/ч, \2 км/ч.
20
~ 
х - у '
Движение по реке
В задачах на движение по реке необходимо помнить:
v
+ 
v
__
по теч 
против теч
I/ 
=z V ,
4- 
V
 
* 
V j.
= ---------------—--------- I
по теч 
саб
 
я п . » 
соо.
 
2
|/ 
^ - I /
против теч 
ton 
теч
’ 
I /
— 
1/
по теч 
против теч
| /
— | /
• 
^теч
 
а
люта 
теч
* 
^
13. 
Задание:
На путь по течению реки пароход затратил 3 
ч,
а на обратный 
путь 5 
ч.
Скорость течения 5 
км/ч.
Какова скорость парохода в стоячей воде? 
Решение:
Обозначим скорость парохода в стоячей воде
х(км/ч); х>5.
361

Величина
Движение по реке
по течению
против течения
S
= V / 
(км)
3(х + 5)
5(*- 5 )
равны 
у
v (км/ч)
х + 5
дг-5
t (ч)
3
5
Составим уравнение:
3(
jc
+ 5) = 5(
jc
- 5 ) ;
2х
= 40;
х
= 20. 
Ответ:
20 
км/ч.
14. 
Задание
: Моторная лодка прошла 12 /си против течения реки и 12 
км
по 
течению реки, затратив на весь путь против течения на 1 час больше, чем на 
путь по течению. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в сто­
ячей воде 
9 км/ч.
Решение:
Обозначим скорость течения реки через 
х (км/ч); 0<х <9.
Величина
Движение по реке
по течению
против течения
S (км)
v (км/ч)
S
t = ~ ( 4 )
12
9 + х
12 
9 + х
f
на 1 
ч
б
12
9 - х
12 
9 - х
ольше 
|
Составим и решим уравнение:
12 
12 
9 - х 9+х
х 2
+ 24дс -8 1 = 0; 
jc
, 
Ответ:
3 
км/ч.
- 2 7 -
не уд. услов.
3.
15. 
Задание
: Моторная лодка шла 40 минут по течению реки и 1 час против 
течения и за это время прошла 37 
км.
Найдите скорость лодки в стоячей воде, 
если скорость течения реки равна 1,5 
км/ч.
Решение
:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде 
х (км/ч); х >
1,5.
362

Величины
Движение по реке
Общие
по течению
против течения
величины
S = v t (км)
| ( х + 1,5)
х — 1,5
37
v (км/ч)
х +1,5
х - 1,5
1
(ч)
2
40 
мин
= -
ч
3
1
Составим уравнение из первой строки таблицы: 
- ( * + 1,5) + (дг-1,5) = 37;
—
jc
+1 + 
x
-1,5 = 37;
3
- х = 37,5;
3
х
= 22,5. 
Ответ.
22,5 км/ч.
16. 
Задание:
Моторная лодка прошла 28 
км
по течению реки и 25 км против 
течения реки, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей понадоби­
лось бы на прохождение 54 #см в стоячей воде. Определите скорость лодки 
в 
стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде 
х
(км/ч); 
х > 2.
Величины
Движение по реке
против течения
по течению
в стоячей воде
5 (км) 
v (км/ч)
S ,
. 
/ = -
(ч)
V
25
х - 2
25 -
>
28
х + 2 
28
f
f
один
54
X
54
X
аковое 
-j-
Составим и решим уравнение:
25 
28 
54
х - 2 х+ 2 
х
- х 2
- 6 х + 216 _ 
х(х 
— 2)(х
+ 2) 
х1+ 6 * -2 1 6 = 0;
-18 
- не уд. услов.
1 2
Ответ:
 
12 
км/ч.
363

(
17. 
Задание:
Катер проходит 96 
км
вниз по течению реки от 
А
до 
В
и обрат­
но за 14 часов. Одновременно с катером из 
А
отправился плот. На пути обратно 
катер встретил плот на расстоянии 24 
км
от 
А.
Определите скорость катера в 
стоячей воде и скорость течения.
Решение:
Обозначим скорость катера в стоячей воде 
х (км/ч),
скорость течения 
у
(км /ч);х,у>
0.
Величины
Движение по реке
Общее
Движение по реке
по теч.
против теч.
по теч.
против теч.
плот
S (
km
)
96
96
96
72
24
v (км/ч)
х + у
х
- У
х + у
х - у
У
S ,
,
96
96
96
72
24
/ = -
(ч)
14
V
х + у
х - у
х + у
х - у
У
V
j
Y | одинаковое |
Составим систему уравнений:
96
х + у
96
96
х - у
72
х + у
= 14,
24 
У '
48
х + у
4
48
х - у
3
х + у
х - у
= 7, 
У
4
у(х - у) +
3
у(х
| у) - (х2 -
у 2)
у(х + у ) ( х - у )
1 х у -х 2
= 0; 
х(х -
Ту)
= 0;
0
-
не 
уд. услов.
7 
у.
=
0
;
*1.2 =
х = 
7 у,
— + — = 7-
8
у
6
у
х = 7у,
— = 7; 
У
У 
=
2, 
х = 14.
Ответ:
14 
к м /ч , 
2 
icm/ч .
При решении некоторых задач на движение по реке, скоростью течения 
можно пренебречь.
18. 
Задание:
Теплоход должен был пройти по реке 
12 км с
определенной 
скоростью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью на 3 
км/ч
меньше, и вторую половину со скоростью на 3 
км/ч
больше, чем ему полага­
лось. На весь путь теплоход затратил 5 
ч.
На сколько минут он опоздал?
364

Решение.
Пусть скорость теплохода по расписанию 
х (км/ч); х>0.
Величины
Движение
по расписанию
первая часть пути
вторая часть пути
S(
km
)
72
36
36
v (км/ч)
X
х - 3
х + 3
S
72
36
36
/ = -
(ч)
х + 3
|
V
X
х - 3
V 
5ч 
Y
Составим и решим уравнение:
36 
36 
,
------1 ------ 1 5 ;
х - 3 х + 3
36(х + 3 + х - 3) = 5(х2 - 9);
5х2
- 72х - 45 = 0;
15,
*ti
= 
3
------
не уд. у слов.
72
Находим время по расписанию: — = 4,8 (у).
Теплоход опоздал на 5 - 4,8 = ОД (ч).
0,2 ч = — ч = 12 
мин. 
Ответ
: 12 
мин.
5
Существует ряд задач, которые рациональнее решать “арифметически”, а 
не “алгебраически”. Заметим, что 17-ое задание можно решить арифметичес­
ким способом.
Независимо от того, удаляется катер от плота или приближается к нему, 
его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меня­
ется только направление скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за 
то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96 
км
от 
А
до 
В
пройден за 
то же время, что и 72 
км
от 
В
до встречи с плотом. Значит, скорости катера по 
течению и против относятся как 9 6 :7 2 = 4 :3 . Время на путь от 
А
до 
В
и обратно 
равно 14 ч. Для того чтобы определить время, затраченное на прямой и обрат­
ный путь, нужно данные 14 
ч

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: