И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

1) 75 :3 = 25 
м!с =
— -----= 90 
км/ч
- общая скорость.
1000
2) 90 - 40 = 50 
км/ч
- скорость встречного поезда.
Ответ
: 50 
км/ч.
19. 
Задание:
От станции 
С
в направлении 
D
отправился скорый поезд, про­
ходящий в час 70 
км,
а через час от станции 
D
в направлении к С вышел товар­
ный поезд со скоростью 45 
км/ч.
На каком расстоянии от 
D
встретились поезда, 
если длина перегона 
CD
равна 530 
км.
Решение:
1) 530—70 = 460 
{км)
поезда двигались навстречу друг другу.
460 
460
2 )
= ------= 4 
(ч) 
до встречи.
70 + 45 
115
3) 45 • 4 = 180 
(км)
расстояние от 
D.
Ответ:
180 км.
§2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА
Основными компонентами данного типа задач являются: 
А
- работа, 
t 
-
время, 
N -
производительность труда (работа, выполненная в единицу време­
ни): 
A=N-t.
Рассмотрим несколько простых задач на работу.
1
. 
Задание:
По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за
14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 
г а
больше, чем намечалось по пла­
ну, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано?
Решение:
Обозначим производительность бригады по плану через 
х
(,
га/день
); 
х 
>
0.
Решим задание №5 по действиям:
Величины
Вспахивание
по плану
фактически
А = N ■ t (га)
14 дс
12(
jc
+ 5 )
| одинаковая f
N (га/день)
X
jc
+ 5
t (дни)
14
12
Составим и решим уравнение: 
14* = 12(х + 5);
2 * = 60; 
х
= 30.
366

Производительность по плану 30 
га/день,
тогда площадь вспаханного поля: 
3 0 -1 4 = 4 2 0
га.
Ответ:
420 
га.
2. 
Задание:
Токарь должен был обточить 120 деталей. Применив новый 
резец, он стал обтачивать в час на 4 детали больше и благодаря этому вы­
полнил задание на 
2ч
30 
мин
раньше срока. Сколько деталей в час обтачивал 
токарь, используя новый резец?
Решение:
Обозначим первую производительность токаря 
х (дет/ч); х>0.
Составим и решим уравнение: 
120
Величины
Изготовление
старый резец новый резец
А (дет)
N (дет/ч)
А , .
‘ = N
<Ч>
120
X
120
X
|на 2 
ч
3 0 .и
120 
х 
+ 4
120 
х + 4 
ин
меньше |
_____
120
1
.
х
х + 4 
2 ’
2 
• 120(х + 4 - д - ) - 5 р г + 
4х)
2х(х
Ц 4) 
х2
+ 4 * - 1 9 2 = 0;
— 16 
— не уд. у слов.
12
.
= 
0
;
*.2
=
Производительность токаря, с применением нового резца, 16 
дет/ч.
Ответ:
16 деталей.
3. 
Задание:
Две бригады столяров делали стулья, причем первая бригада 
сделала 65 стульев, а вторая 66 стульев. Первая бригада делала за один день на 
два стула больше, чем вторая, но работала на один день меньше второй. Сколь­
ко стульев за один день делали две бригады вместе?
Решение:
Обозначим производительность второй бригады 
х (ст./день),
тогда произ­
водительность первой - (х + 2); 
х >
0.
Величины
Изготовление
1 бригада
2 бригада
А (cm)
N (ст./день)
А ,
/ = — 
(день)
N
'
'
65
х + 2 
65
х + 2 
|на 1 ден
66
X
66
X
ьменьше|
Составим и решим уравнение: 
66 
65 _ 
х 
х + 2
х2+ х -
132 = 0;
— 12 
— не уд. услов.
П .
Производительность второй бригады 11 
ст./день
, производительность пер­
вой - 1 3
ст./день.

В ответе указываем сумму.
Ответ
: 2 4 стула.
4. 
Задание:
Завод по плану должен был изготовить 180 станков к опреде­
ленному сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил 
задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?
Решение:
Обозначим число дней по плану через х ; 
х > 0 .
Составим и решим уравнение: 
180 
180 
Х - 1
X
х 2 - х - 9 0 = 0;
х , = 
10
;
х2
= - 9 < 0 —не удовлетворяет 
условию задачи.
Ответ: 9
дней.
5. 
Задание:
Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое число 
деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их на 10 больше, то выполнил бы 
эту работу на 4,5 дня раньше срока, а если бы он изготовлял в день на 5 деталей 
меньше, то опоздание составляло бы 3 дня. Сколько деталей и в какой срок 
изготовил рабочий?
Решение:
Обозначим количество деталей х, срок изготовления 
у ;х ,у >
0.
Величины
Изготовление
по плану
фактически
А (шт)
А, 
А
N = — (шт/день)
t (дни)
180
180
Г на 2 с
180
180
*
x ~ l
1 
т.
больше |
X
х - 1
Величины
Изготовление деталей
план
1 условие
2 условие
А (дет)
X
X
X
N (дет/день)
X
- + 10
—- 5
л
У
У
У
а
(О
$\
Ъ
II
У
.у—4,5
У +
3
Составим и решим систему уравнений: 
х
= у -
4,5,
+ 
10
= у + 3;
- 5
ху
х + Юд'
= 7 - 4 , 5 ,
ху
х - 5 у
= У +
3;
1 
Оу2 -
4 ,5 х - 4 5
.у = 
0,
- 5
у 2
+ Зх - 1 5у = 0 1 -2;
1 , 5 х -
15у = 0;
х = 50jy;
368

J x = 50y,
\-5y2 +I35y = 0;
у =
0 
не уд. услов.
у
= 27.
Е сл и у = 2 7 ,х = 1350.
Ответ:
1350 
дет, 
27
дней.
План решения более 
сложных задач на совместную работу обычно сво­
дится к 
следующему:
а)
принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за единицу;
б)
находим производительность труда каждого рабочего в отдельности,
1
т.е. 
-
где 
t -
время, за которое указанный рабочий может выполнить всю 
работу, работая отдельно;
в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий 
отдельно, за то время, которое он работал;
г)
составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т.е. единицу) к 
сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненной 
отдельно каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной 
работе выполнен весь объем).
6. 
Задание:
Один плотник выполнит некоторую работу за 12 дней, другой 
выполнит эту работу за 6 дней. За сколько дней они выполнят эту работу, 
работая вместе?
Решение:
1) Принимаем всю работу за 1. 
. 
.
2 ) Производительность первого плотника — , второго - —.
,л 
А
1
3)/ = — = —----- - = 4 дня.
N 
- + -
-
j
2
g 
Ответ:
 
4 дня.
7. 
Задание:
Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и 
третий, работая вместе, могут выполнить всю работу за 7,5 ч; первый, третий 
и пятый вместе - за 5 ч; первый, третий и четвертый вместе - за 6 ч; а второй, 
четвертый и пятый вместе - за 4 ч. За какой промежуток времени выполнят эту 
работу все 5 человек, работая вместе?
Решение:
Обозначим всю работу за 1.
Пусть производительность каждого из пяти рабочих равна х ,, х2, * 3, х4,х 5.
Составим и решим систему уравнений:
369

I
(х, 
+х2 + х})-7,5
= 1,
2
X, + X, + X, = — ,
1 
2 
3 
15 
1
(х, + х
3
+ x s) - 5 = 1,
X. + X, + X, = —,
1 
3 
5 
5 
1
<
(х, + х , + х
4) - 6
= 1,
(х
2
+ х
4
+ х , ) - 4 = 1;
х, + х
3
+ х
4
= - ,
о
1
х
2
+ х
4
+ х
5
4
Умножим последнее уравнение на 2 и сложим все четыре уравнения.
В результате получим: 3(х, + х 2 + х 3 + х 4 + х 5) = 1.
Значит, пять человек выполнят работу за 3 ч.
Ответ
: 3 ч.
8. 
Задание:
Две молотилки обмолачивают собранную пшеницу за 4 дня. 
Если бы одна из них обмолотила половину всей пшеницы, а затем вторая о с­
тальную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней 
каждая молотилка в отдельности могла бы обмолотить всю пшеницу?
Решение:
1 )Пусть первая молотилка перерабатывает пшеницу за х дней, а вторая за 
у
дней; 
х, у
> 0 .
2) Принимая всю работу за 1, имеем:
Величины
Переработка пшеницы
Общее
Переработка
1 молотилка
2 молотилка
1 молот.
2 молот.
II
1
1
1
1
1
2
2
N (1/день)
1
1
1 
1
1
1
X
У
х
у
X
У
А
,
X
у
1
1 —
(день)
X
У
4
—
N
2
2 
1
“ V _
9 дней
Составим и решим систему уравнений:
у + х
У
— + — = 9;
7 7
1 + I - I
х у
4 ’ 
1 ( х + >0 = 9;
ху
4* 
х + у = 18;
Ответ:
12 дней, 6 дней.
ху
= 72, 
х + .у = 18;
х=±П,
у = 6.
1 = 6 ,
у
= 12.
370

9. 
Задание'.
Один трактор может вспахать поле на 1 день скорее, чем вто­
рой. Оба трактора совместно работали 2 дня, а затем оставшуюся часть поля 
второй трактор вспахал за 0 ,5 дня. За сколько дней может вспахать это поле 
каждый трактор, работая отдельно?
Решение:
Пусть первый трактор вспахивает все поле за 
х
дней, тогда второй - за 
(х + 1)день.
Принимая площадь поля за 1, а часть поля, которую они вспашут вместе за 
2 дня, за у ( х ,у >
 
0), получим:
Величины
Вспахивание
Общее
Окончание работы
1 трактор
2
трактор
A = N t
1
1
У
1 
- у
N (1/день)
1
1
1 
1
1
X
х
+ 
1
х
х
+ 
1
х
+ 1
/ 
(день)
X
X 
+ 1
2
0,5
Составим и решим систему уравнений:
I
1 
X
х + 1
2 
= У,
1
х + 1
0.5 = 1 - у ;
2 х + 1
х ( х + !)
I
2 (х + 1)
У
2 '
4 х + :
х ( х + 1)
1
= 
у,
4 х + 2
2 (х + 1) 
х (х + 1)
= 
1
;
2х - 7х - 4 = 0;
4,
* п =
1
—
- н е уд. 
уел.
Ответ:
 
4 дня, 
5 
дней.
Задачи на бассейн, который наполняется одновременно разными трубами.
К задачам на работу относятся и часто встречающиеся задачи на перека­
чивание жидкости насосами. В качестве произведенной работы в этом случае 
удобно рассматривать объем перекаченной воды.
10. 
Задание:
Бассейн наполняется двумя трубами действующими одно­
временно, за 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, 
если она действуя одна, наполняет бассейн на 
3 ч 
быстрее, чем вторая?
Решение:
Обозначим время, которое нужно 1 трубе для заполнения х
(ч); 
х > 0.
371

Величины
Заполнение бассейна
Общие величины
1 труба
2
труба
V - N -t
1
1
1
N (1/ч)
1
X
1
х + 3
1 
I 
х
х + 3
| 
(ч)
X
х + 3
2
Составим й решим уравнение:
— + 
— -— 1
-2
= 
1
; ' 
х х + 3)
I
1
1
х х + 3
2*
х2
— л —
6
= 
0
;
дс, = 3, 
х2
= - 2 < 0 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:
заЗ ч.
11. 
Задание-,
Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите 
за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если извест­
но, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше воды, чем из второй.
Решение:
Пусть время, за которое заполняет бассейн первая труба 
х
(ч), вторая -
у(ч);х,у>0.
Величины
Наполнение
Общее
1 труба
2 труба
V - N - t
1
1
1
N = - (l/ч)
1
X
1
У
1 
1 
—
+ —
t
1 на 50 % больше 
|
х у
t(4)
1
У
6
Составим и решим систему уравнений:
1 1
1
- + - ■ 6 = 1,
1 1 1
V* 
у)
х у
б ’
ЙН
*
У
3
372

ж
-
З у + 2
у
 
1
2
у2
6
’
/ - 1 5 ^ = 0;
|>(>'- 15) = 0;
0 -
не 
уд. уел. (у =
15,
.15; 
(х = 10.
Ответ:
10 часов, 15 часов.
12. 
Задание
: Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют 
бассейн за 4 часа. Для наполнения бассейна на половину первому насосу 
требуется времени на четыре часа больше, чем второму насосу для наполне­
ния бассейна на три четверти. За какое время может наполнить бассейн 
каждый из насосов в отдельности?
Решение:
Пусть первый насос наполняет бассейн за 
х(ч),
второй -
за у
(ч); 
х,у> 0.
Объем бассейна принимаем за 1:
Величина
Наполнение бассейна
Общее
Наполнение
1 
насос
2
насос
1 
насос
2
насос
1
з
п
1
1
1
2
4
N (1/ч)
1
1
1 
1 
— 
+ 
—
1
1
X
У
х У
X
У
X
Зу
/ = 
— 
(ч)
2
4
N
X
У
4
| на 
4 
ч больше |
Составим и решим систему уравнений:
1
-
+
1 
-
jb
II
1 
1 
\
\ * 
у
)
х у
4'
II
>ч
|
m 
I 
1
К 
1
2 х -3 у
=
 16;
12 
4
2 у + ]6 + 3 у
1 
у 
■
(16 + 
Зу)
4 ’ 
5у+16
 
1
16у + 3у2 
4'
Зу2- 4 у - 6 4
= 0;
373

У\.г
=
16
Ответ:
16 ч, — ч.
3
13. 
Задание
: В одном бассейне имеется 200 
м3
воды, а в другом 112 
м3.
Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько ча­
сов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн 
вливается в час на 22 
м3
больше воды, чем в первый?
Решение:
Пусть 
х
(ч) - время, через которое в бассейнах будет одинаковое количе­
ство воды, у
,3\
- мощность насоса в первом бассейне; 
х,у>
0.
Величины
Наполнение
1 бассейн
2
бассейн
V = N t (м3)
jcy + 200
х(у+
2 2 )+ 1 1 2
| одинаковый |
N (м3/ч)
У
;у + 22
1(4)
X
X
Составим и решим уравнение:
ху
+ 20 0 =
х(у +
2 2 ) + 1 12; 
ху
+ 20 0 = 
ху
+
22х
+ 1 1 2 ;
22х
= 88; 
х = 4.
Ответ: 4
часа.

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: