И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

л / а - л / 5
л [ а - у / 5
 
1
o — 5
(
yfa —
 yfs )(yfa
+ л/5) 
л/о + л/5
Дробь 
—
j=
—
-
7
=
принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель 
л/а + л/ 5
является наименьшим, т.е. при 
а -  0.
Если 
а 
= 0, то
л/о + 'л/5 
л/5
Значит, наибольшее значение дроби равно -= .
л/5
Ответ:
л/5
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Преобразование иррационального выражения к виду, не содержащему 
операции извлечения корня (степеней с рациональным показателем степени), 
называют освобождением от иррациональности. Для исключения иррацио­
нальности в знаменателе дроби нужно подобрать простейшее из выражений, 
которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и 
умножить на найденный множитель числитель и знаменатель данной дроби.
Рассмотрим основные случаи освобождения от иррациональности в зна­
менателе дробного выражения.
3. 
Задание:
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
х
- 2
п
б
)
«)
п
Решение:
х3- 4
= (дг-2Х * + 2) 
х + 2 ;
127

б)
1 
\lab~ 
\Jab~ _ 
\fa*b Uab2 
<*Ь
в)
yfa2 -yfab +\[b* 
n^Ja2 -\[ab + \[b2)
ifa +\[b \}a2 —
 Mab
+ 
^Jb2 
a + b
______
n
______
yfa + \[b n(\[a + Mb)
\la2 
- IJab + ifb2 
\fa 
+ \[b
Д)
a + b
х'4-l + Vx“ - 1
V* +1+Vx2- 1
л/х2 + 1-л/х2- 1
-Jx2 + 1+Vx2- 1
(->lx2 
+ 
\)H-(ylxr - I)2 
yjx2
 +1 + л/х2 - 1
e)
1 
yfa—ifb 
y[a—\fb 
\[a—ifb -Ja + -Jb
yfa + yfb . yfa —yfb
 
(л/я
)2
у]$Ь)~ 
-Ja--Jb -Ja + -Jb
(ifa-y[b)(yfa + yfb)
a - b
ж)
1 
\Ja--Jb _ \ fa--Jb (tfa2)2 фЬу/а2 +b2
\fc+Jb \fc-Jb
3V ? - 6
Q j j f + t f j j + b 2 
(\[a - -Jb)(a\[g + ШШ + b2)
a 2 - b 3
^ a + b + - J a - b -Ja + b + - J a - b  
( л / а
+ b A -J a -b ) 2
-Ja + b - - J a - b -Ja + b + 4 a - b
(л /а
+ 6 )2 -
(л /а
-
lb ) 2 
a + b 
+ 2 л/ а2 - 62 + 
a - b 2 
a + 
2-Ja2 - b2 
a + -Ja2 - 62
a + b - Q + b
2b
Упрощение иррациональных алгебраических выражений
Порядок выполнения действий в иррациональных выражениях такой же, 
как в рациональных.
Приведем примеры упрощения иррациональных выражений.
4. 
Задание:
Упростите выражение:
128

VX+y/у 
-y/X+Jy 
-у/х +njy
■Jx + 3 j y ~ -Jx + Jy 
4 J y  
■Jx + J y
‘Jx+Jy*
2ч 
*у1у 
- J x + J y
_
4
J y
^
1 
■Jx+yfy
8
( J y ?
8
y j y
2у
Ответ:
— .
2у
Решение:
5. 
Задание:
Упростите выражение 
Решение:
2т -  
-J2m
= 
(л
/2
т 
-
 л/з
п + 
лЦп)2 
= 2т. 
Ответ: 2т.
(-
2т -З п
/г
- 1
+V3
п
.
vV
2
w + л/зй
- 3и 
с -Л
\ (-J2m--J3n)(-J2m+-J3n)
<
— i
w ^ +V3”J I—
s r w * —
+ Л | =
б. 
Задание:
Упростите выражение | 
Решение:
4
у
_ 
4
у
х - у
4
у
 
у
!
у
_ л/у
I
X + 
Jxy x-Jxy yfx{-Jx+Jy 4x-Jy^ 
_ J y -2y[y
-2>
V* * “ > 
л[х(х-уУ
2) ~2У 
Х~У-. Ж.
4x(x-y) 2yfxy 
x
-
J y Jx- y [ y- - Jx- Jy'\
|
T xl 
Х-.У
Ответ: -2LL.
1. Задание:
Упростите выражение
m+2
- 2 +V
f f i - 2
m + 2
lm+2 
lm -2  
\ m -2 ~\m+2
129

Решение:
т + 2
•2 
V
т -2
( + 
2
V
т + 2
т + 2
т -2
_ 
т -2
+ 
1
т + 2 + т —
 2 2 т_ т 
4 ~ 2'
т + 2 
1т —2 1т+ 2 
т + 2
щ
т + 2 —
 т + 2 
т - 2
Ответ:
т + 2
V
т -2
т -2
8. 
Задание:
Упростите выражение 
y f a
 • 
y f a • y f a ■... ■5'yfa .
Решение:
i
I
1 
j _
i i i '
i 
y f a ■ y f a
 • 
y f a •...■iXyj a
= 
a 2 - a * - a *
- . . . - a 512 = a 2 4 8 
512.
Найдем сумму геометрической прогрессии:
s =Ь1~ЬпЯ^ 2
512 2 _ 
S\2) _ x
___1 _ 511
1 
- q
j _ l
T 
512 
5 1 2 ’
2 
2 
Sll
Значит, 
y f a
■
 
y f a
■ 
y f a
- ...-51у/а =
a 512.
Sll
Ответ:
a 512.
В процессе преобразования иррационального выражения в ряде случаев 
целесообразно обозначить радикалы новыми переменными и свести задачу к 
преобразованию рационального выражения.
Рассмотрим данный прием на конкретных примерах.
у [ 2 ^ - - ^ =
9. 
Задание:
Упростите выражение------------
у / а
+ 
2
Решение:
у / 2 - а -
■Ja + 2
-1
л/4
- а 1
Ответ: 
- у / 2 - а .
Замена:
у / 2 - а = Ь ,
yj2 + а —
 с.
_ 5 
Ьс-5
о
—
-------
__
с
____
с
Ьс
-1
с 
_ (^с - 5)Ас 
5-Ьс
(5 -
Ьс)с 
Ьс
= 
—
Ь —
—л/2 — а.
130

rf a*
+ 
y/a2b 2
+ 
yfb*
10. 
Задание:
Упростите выражение
Решение:
yfa2 + y[ab + \[b2
Замена
V^ = x,
yfb = y.
№ + \laW +№
yfa2 + \[ab + yfb2
1 + 
x2y 2
+ 
y 4
(x 2 
+ y 2)2 - x2y 2
x~ +xy + у
X "
+ 
xy + у
{x2 + у 2 - xy)(x2 + у 2 + xy)
J 1 
зГ Т .з/ 7 7 зГТ
= ------------1----------- 1---------- = x + 
у - x y = \a
+ 
\b - y a b .
x
+ 
xy
+ 
y~
Ответ: 
yfa2 + y[b2 — yfab.
Преобразование иррациональных алгебраических выражений, 
содержащих модули
При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто допуска­
ются ошибки. Они вызваны неумением правильно применять определение 
арифметического корня и абсолютной величины.
11. 
Задание:
Упростите выражение:
a)
Vx2 -1 Ох+ 25 + л/х2 +6х + 
9, 
х < 
- 3 ;
б) у/х2
- 6 х + 
9 
+ л/2-х + 
х
-
3;
в) y/b2 +2Ьу/2 +2 +у/'Ь2 - 2 Ь
у
/2 +2 , b>yf2.
Решение:
а ) х й -
3;
у/х2 -
10х + 25 + 
у/х2
+ 6х + 
9 
= -у/(х-5)2 + 
yj(x + 3)2 -
jx - 5| + |х + 
3( 
=
= -(х - 5 ) - ( х + 3) = 5 - х - х - 3 = 2 - 2х;
б ) yfx2
- 6 х + 9 + >/2-х + х - 3 = 
у/(х-3)2
+ V 2 - х + х - 3 =
= |х - 3| + 
у / 2 - х
+ 
х 
-
3.
Должно быть выполнено следующее условие:
2 - х 2 0 ; 
хй2.
Значит, |х —
3| + 
у / 2 - х
 + х - 3 = 3 - х + 
у / 2 - х
 + х - 3 = -v/2- х .
в) 6 s V 2 ;
y/b2+2byf2 + 2 + y/b2-2by/2 + 2 = J ( b 7 S ) 2 + y j ( b - у/2)1
=|б + Л | + 1 й - V
2
I = 
= b +y / 2 +b - y / 2 = 2b.
131

Преобразование двойных радикалов
12. 
Задание:
Упростите:
а)у]а + 2л/а-\; 
б ) -Ja + l - 4-Ja-3.
Реш ение:
а)-\1а + 2у[а-\
= 
yj(y/a-
1)2 +2>/а-Т + 1 = 
+
1)2 — |л/а-7 + 1| —
= л/аМ + 1,
б) у] а 
+1 — 4 V а — 3 = 
— 3)" — 4-\/а — 3 + 4 = 
—
3 — 2 )' = |Va —3 — 2j.
Преобразование выражений, 
содержащих степени с рациональным^ показателями
Приведем примеры применения свойств степеней с рациональным пока­
зателем в преобразованиях выражений и вычислениях.
13. Задание: Упростите выражение:
а )
д )5
a2b .l—
\
-----
2b.l— - —y/4ab3 + 3а
а b
Ъ Ъ
2 4 / -3
х -л/х ;
' 1 2 5 а36 6
0 ,0 0 8 с -6 ’
/
3
в, _2 v s
г )
х
3 -х
4~
„3
Реш ение:
e ) —abylSa3b + —abyl\Sab
3 
- a 2J — - b 2. 
2 
3 
v
“
ж )
з)
_
I
I
I
1 
- а 2 а 2 +а 2
1 
+ а 2
а 
- 1
^ 
$ 
х - 1
х2 +х
4
2 
1
1
х4 +х2
х 2 +1
1
X4 +1.
я )
1
------i
\ а 5- а *
г
= 
а
а\
б)
д/х2 • 
= 
1 х 2
 ■ х 4 = а/х4^ = х 4;
132

к 125a3b6
 
5
ab2 
Щ 
к 2 
в V 0,008c"6 
OOcfC, °i C ’ 
j to
-2
г)
8
_ 2
rJ.v J
JCJ -
jc
JC
i u \ и и
у а 
\ a
+ 
3 1 Ж = 5-Jab
—
2-Jab
—
2-Jab
+ 
3-Jab
= 
Л-Jab;
e)
]-abJia3b + ^-abJlSab3 - a2J ^ ~ b 2] ^ = - a b - 2a jla b
+ - a b • 
3bj2ab -
2 
3 
\ a 
\ b 
2
3
— 
a j
—
—
b j - b
—
= 
arbj2ab + ab2-J2ab —
 a-j2ab —
 b-j2ab
= 
ab-j2ab{a+b)-
- -J2ab(a + b) = (a + b ) (a b j2 a b - -J2ab)
 = 
-J2ab(a
 + 6)(aZ> - 1 ) ;
J ,
I
J t
_
4
• 
J ,
i . , 
. 
I
м
l
1 - a 2 ff.2 + а I . J - g 2 
a 2 + a 2 
_ a 2 -1 -1 + a 2 - a 2 - a? 2
l+ aJ 
a 1 
1 + a2 Ь Щ Й Ь Ж
1я*-11/»а+1
ж)
l + e* 
^a2 - l | a 2 + lj-
^
- l j j
- 2
2
o -l~ 1-a
I 
£
4
JC — 1 
x
2
+ x
4
7 
З)"з---- Г 
7------* 4 + l -
X 4 + X 2 
X 2 + 1
I 
I
:x 2- l + l = x 2.
f
1 
x2-
V
■lj|x2+l
p . , )
1
X 2
S'
+
— 
1** X
1
r*+l
4. 
>
■X4 +1
133

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: