§6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля
По определению У =
[ а, если а > О,
[ - а, если а < 0.
При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины (знак 
модуля), как правило, используют следующие основные методы:
- сведение исходного уравнения к равносильному уравнению, системе 
или совокупности уравнений;
- метод, основанный на раскрытии модуля по определению;
- введение новой переменной;
- метод промежутков.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах.
Метод сведения исходного уравнения к равносильному уравнению, 
системе или совокупности уравнений
Приведем некоторые основные типы уравнений, содержащих неизвест­
ную под знаком модуля.
1. Начнем с наиболее простого случая, когда уравнение имеет вид
1/0)1 = 6, b e R.
Если b < 0, то уравнение |/(х) | = b не имеет корней.
Если b = 0, то/(х) = 0.
Если Ь > 0, то |/(х) | = b равносильно совокупности уравнений:
'/ ( * ) = Ь,
!_ д * )=
-ь.
1. Задание: Решите уравнение | х2 - 2х - 4 1 = 4.
Решение:
| 
jc
2 — 2
jc
— 4 1 = 4 ;
х 2 - 2х - 4 = 4,
У - 2 х - 8 = 0,
1
п 1
II
х 2 - 2х - 4 = -4 ;
х 2®! 2х = 0;
х, =0, х2 = 2.
О твет: (-2 ; 0; 2; 4}.
2. Задание: Решите уравнение 
Решение:
log, ( 1 - х )
= 2 .
l o g , ( ! - x )
2
= 2;
ОДЗ: 1 - x > 0 , x < I.
90

log, ( 1 - х ) = 2, 
I — x =
2 J '
1 - x - — 
x - —
l o g , ( l - x ) = - 2 ;
l - x =
4 
4
1 - x = 4; 
x i -3.
Оба корня принадлежат открытому лучу (-оо; 1). 
О твет: {-3; —}.
4
х - 1
х + 3
О ДЗ:х*-3.
х + 3 
’ 
х — 1 = х + 3, 
—1 * 3 ,  
х - 1 _
х - 1 = - х - 3 ;
х = —1.
.х + 3 ~ 
’
О твет: х = -1.
2. Рассмотрим решение уравнения вида |/(х)| = |g(x)|.
Модули двух чисел равны, если эти числа либо равны, либо являются 
противоположными. Поэтому уравнение вида |/(х)| = 
|g(x)| 
равносильно 
совокупности двух уравнений:
/ (* ) = g(x),
f(x ) 
= 
-g(x), 
или 0 ДН0МУ Уравнению: 
/ 1(x) = g 2(x).
4. Задание: Решите уравнение |2х - 3| = |х + 4|.
Решение:
|2х-3| = |х + 4|;
3
91

5.
Задание: Решите уравнение 
|
jc
2 - 4х + 5| = |х2 -
2х
- || 
Решение:
|*2 - 4х 
+
 5| = |х2 -
2х 
-
l|;
(х2 -
4х 
+
 
5)2 
= 
(л*2 
-
2х - 1)2;
(л:2 - 4л' + 5)2 - (л:2 
- 2 х - 1)2 = 0;
(л-2 -
4х + 5 - х2 + 2х + 1)(х2 -
4х
+ 5 + 
х2 - 2х
- 1 ) = 0; 
(-2.Y + 6)(2х2 - 6.т + 4) = 0;
4(3 - х)(х2 - Зл' + 2) = 0; 
х, = 3, х2 = 1, 
х3 = 2.
Ответ: {1;2; 3}.
6.
Задание: Решите уравнение 
|х2
1
5х 
+ 7| = 
|2х -
5|. 
Решение:
|
х
2 - 5
х
 + 7| = |2
х
-5|;
х2 - 5х + 7 = 2х - 5, 
х2 - 5х + 7 = -(2х - 5); 
Ответ: {1; 2; 3; 4}.
7. Задание: Решите уравнение 
Решение:
7х +12 = 0, 
Зх + 2 = 0;
х, 
= 
3. х, 
= 4, 
х, = 1, х2 = 
2
.
х -1
2х +1
2х + 1
х -1
х -1 I. 2х +1
2х + 1| | х -1
ОДЗ: х * — , х * £
2
1 _ 2х + 1
2х + 1 
х -1
(х - 1)2 - (2х +1)2 
(х - 1)(2х +1) 
Зх • (-х - 2)
= 0:
(х-1)(2х + 1) 
х, 
= 0 , х 2 
= -2;
=
0
:
х -1
2х +1
2) 
„
2х +1 
х -1
(х - 1)2 + (2х +1)2
(х - 1)(2х 11)
5х2 + 2х + 2
= 0;
(х - 1)(2х +1)
= 0;
решений нет. 
Ответ: {-2; 0}.
92

3. 
Более сложным является случай, когда уравнение имеет вид |/(*)| = g(x). 
Из определения модуля следует, что корни уравнения должны удовлетво­
рять условию g(x) 
> 0
. При выполнении этого условия искомые корни урав­
нения должны также удовлетворять совокупности /(х) = g(x) или f(x ) = -g(x). 
Значит, уравнение |/(*)j = g(x) равносильно совокупности систем: 
f / W = g(x), 
[fix') = -g(x),
{ g ( jc ) > 0 ; 
ИЛИ [g (A )> 0 .
8 .
Задание: Решите уравнение 
|
а
2 
- 4х + 3| = 2х - 5 
Решение:
|дг2 - 4х + з| = 2х -  5;
[х2 - 4 х + 3 = 2дг-5, Га2
- 6
а
+ 8 = 0, |х, = 2,х2 =4, ^ 
^
[ 2 x - 5 > 0 ;
[ 2 а - 5 > 0 ;
[ а > 2 , 5 ;
* '
~
’
(х 2 - 4 а + 
3 
= - ( 2 а - 5 ) ,
| а 2 - 2 а - 2
= 
0
, |х12 = 
1±Тз, 
^ _ j + /J 
[2 а - 5 > 0; 
[2 а - 5 > 0; 
[ а > 2 ,5 ; 
_ +
О твет: {l + >/3; 4}.
9. Задание: Решите уравнение 9'3*- - 38х~2.
Решение:
9l3jf-4 _ з**-2.
|3х 
— 1| = 4
jc
— 1;
[З
а
-1 = 4
а
-1 , [* = 0,
1)1 
< 
1
решений нет;
'[ 4 х - 1 £ 0 ; 
F
ГЗа 
-
1 
SB 
- ( 4
а
 
-
1),
'7
а
 
т  
2,
г 
2 
А
= —
,
7 
2
[4
a
- 1 2
s
O;
1
t e i s
X — —
.
. 1 
7  
* * 4 ’
О твет: х
93

Метод, основанный на раскрытии модуля по определению
Один из распространенных приемов, которым пользуются при решении 
уравнений с переменной под знаком модуля, состоит в том, что освобождают­
ся от знака модуля, выделяя промежутки, в которых выражение, записанное 
под знаком модуля, сохраняет знак. 
г Уравнение вида |/(х)| = g (x ) равносильно совокупности систем:
Г/(*) = И и
[-
 / О ) I
g(x),
f(x )>  0; 
MIi [/ (х ) < 0.
10. Задание: Решите уравнение дг - 4|х - 3| - 2х - 7 = 0.
Решение:
jc
2 - 4|
jc
- 3| - 2дг - 7 = 0.
Освобождаясь от знака модуля, получим, что данное уравнение равно­
сильно совокупности двух систем:
х1 - 4(х - 3) - 2х - 7 = 0, 1х2 - 6 х + 5 = 0, Гх,=1, х2 =5, 
х - 3 > 0; 
(х >3; 
\х>3; 
~ ’
+ 4 ( х - 3 ) - 2 х - 7 = 0, Гх2 + 2 х - 19 = 0, Г х ,1 1 -1 ±>/20, ^ 
^ 
х - 3 < 0; 
[х < 3; 
|х < 3;
О твет: {-1 - >/20; 5}.
х 3
11. Задание: Решите уравнение х - -------г = 9 .
\*~Ц
Решение:
2
)
х2 
— 7
= 9, 
|х^ 10, Гх, 2 = ±л/Го, 
х > 3 ; 
|х>3;
X, = л/
1 0
;
2) Г Т ^ 3 ' 9' К
: 8, Ы
"
’
’ х3j = ±242.
(х< 3; 
[х < 3; 
О твет: |-2>/2; 2>/2; -Jio].
94

Рассмотрим уравнение вида F(j/(x)|)= 0. Заменой |/(х)| = t оно сводит­
ся к системе:
(> (') = О,
[/>0.
В зависимости от вида функции F{t) могут использоваться и другие под­
становки.
12. Задание: Решите уравнение (х + 2)2 = 2|х + 2| + 3.
Решение:
(х + 2)2 = 2|х + 2| + 3.
Замена: |х.+ 2| = /, / > 0.
Поскольку х1 = |х"I = |х|‘ , данное уравнение можно переписать в виде:
/2 - 2/ - 3 = 0;
I, ■= 3, /2 —
—1,
1)|х+2| = 3;
х + 2 = 3, 
х, = 1, 
х + 2 = -3 ; х2 = —5;
2) |х+2| = -1 - не имеет смысла.
О твет: {-5; 1}.
13. Задание: Решите уравнение хг - 4х = |х - 2| + 2 .
Решение:
х2 - 4х = |х - 2| + 2; 
х2 - 4 х + 4 - Jx — 2|—2 — 4 = 0;
(х — 2)2 — |х — 2| — 6 = 0.
Замена: jx - 2j = t, / £ 0 .
l 2- t - 6 = 0; 
li ~ “ 2, t2 = 3;
l)|x —
2| = —
2 - не имеет смысла;
Метод введения новой переменной
95

2)|*-2| = 3;
x - 2 = 3, 
x, = 5, 
x - 2  = -3; x2 = —1.
Ответ:
 { -1 ;5 } .
14. Задание: Решите уравнение 
Решение:
4
Замена: |х + 1| = /, t > 0, t Ф 2.
4
t - 2 ~ ’
/2 —
2/ —
4 = О;
/| = 1 + л / 5 , 
t 2
= 1 — л / 5 ;
1)|х + 1| = 1 + л/5;
х 
+
1 
= 1 + л/5, 
х, 
= л/5, 
х+1 = —
1 —
л/5
; х, = —
2 — 
л/5;
2)|х + 1| = 1-л/5 - не имеет смысла. 
О твет: {- 2 - л/5;
х 2 
- 4|х| - 2
Замена: |х| = t, t>  О Л
— = 1;
/ - 4 / - 2
/ —2/2 =/2 - 4 / - 2 ;
З/2 - 5/ - 2 = О;
15. Задание: Решите уравнение 
Решение:
х2 - 4|х| - 2
96

1 )Н = 2;
*,.2 = ±25
2) |xf = 
- не имеет смысла.
Ответ:
{±2}.
16. Задание: Решите уравнение | 3|х +1| + — 1 = 6(х +1)2 +
Решение:
3|х + 1| + - = 6(х +1)2 +
10
Замена: |х + 1| = t, t> 0.
3/ + - = 6/2 +— :
9/2+2/+—= 6/2 +— ; 
9 
9
З/2 + 2/ -1 = 0:
10
1)
|
jc
+1| - -1 - не имеет смысла.
2)|* + 1 | Л ;
х + 1 = — ; 
•3
О твет:
4 
2 
3 ’ ~ 3
17. Задание: Решите уравнение ^|х| +1 - Jjx[ = 0,5. 
Решение:
-# 1 = 0 ,5 .
Замена: |х| = t, t £ 0.
Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:
JVTTT-V/=о,5,
[/£0.
Преобразуем первое уравнение системы:
97

16
Полученное значение t удовлетворяет условию / > 0.
9
Метод промежутков
1. Решение уравнения вида \а{х + Ь\ +1а2х + Ь21 +... + \апх + Ьп\ = ах + Ь, где
a, at,a 2,...a„ ; b,bv b2,..bn -константы, принадлежащиеR ,x- действительная 
переменная, строится по следующей схеме.
Область допустимых значений переменной заданного уравнения разбива­
ется на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений 
постоянны.
На каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учетом 
знаков подмодульных выражений) равносильным ему уравнением, не содер­
жащим абсолютных величин.
Объединение решений полученной таким образом совокупности уравне­
ний является решением заданного уравнения.
/ 18. Задание: Решите уравнение |l - 2х\ + \3х + 2| + Ы = 5 ■
Приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отметим на 
числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полу­
ченных интервалов.
Решение:
|l - 2х\ + |3х + 2| + |х| = 5.

1 ) х е | - о о ; - - | ;
1 - 2 x - 3 x - 2 - x = 5;
-
6x =
 6;
X = - l e | - a o ; - - | ;
2)x
■ H
1 -
2x + 3x
 + 2 -
x =
 5;
3 * 5 ;
в промежутке - - ; 0 | корней нет;
3) x e
0 ;-
2
1-2jc+ 3jc + 2 + jc = 5; 
2x =
 2;
0 ;-
2
x = le
Ответ:
{ - 1 ; —
4) 
jc
e
6x = 4;
2
( l 
x
 = — e — 
;oo
3 
v 2
19. 
Задание:
 Решите уравнение 
|2x + 5| - 13 - х| = 0,5. 
Решение:
|2х + 5|-|3-х| = 0,5;
2х+5 
- 
+ 
+
-2,5 
+ 
3 
' 
х 
2) х € [- 2,5; 3 J 
3)хе(3;оо>,
(2х + 5) - (3 - х) = 0,5; 
(2х + 5) + (3 - х) = 0,5; 
2х + 5 - 3 + х = 0,5; 
х =-7,5 «(3; сю)
Зх I -1,5; 
х = -0,5 е [- 2,5; 3 J
Ответ: (-8,5; -0,5}.
2. Уравнение вида /rd/j(jc)|,|/?(x)|,...,|/,(x)|)= 0 , гдеу;(х),/2(х),...,/п(х) -
некоторые функции действительной переменной 
х, 
решается аналогичным 
способом, рассмотренным выше.
3-х
1) х е (- д а ;- 2,5);
- (2х + 5 ) - ( 3 - х ) Ф 0,5; 
- 2 х - 5 - 3 + х = 0,5; 
х = -8,5 € (—
об; —
2,5);
99

Решение:
и
х
20. 
Задание:
 Решите уравнение ;
:
:
------г = 1.
|лг - 3| - 3|лг + 1|
\х-3\-3\х + Щ
Найдем значения х , при которых обращаются в нуль выражения х - 3 и 
х + 1. Это точки х = 3, х = - I . Они делят числовую ось на три интервала, на 
каждом из которых рассмотренные выражения сохраняют постоянный знак. 
х-3 
* 
+
х+1 
-1 
+ 
3 
+ 
х
I) х е ( - ° o ; - l ) ,
2) х е [ - 1 ;3 }
3 ) х е ( 3 ;с о ) ;
= 1; 
---------- *---------- p t
- ( х - 3 ) + 3(х + 1) 
- ( х - 3 ) - 3 ( х +1) 
( х - 3 ) - 3 ( х + 1)
х
 
I* 
Х 
- 1
х
 
1
= 1; 
~г~ -1 - уравнение 
---------- = 1;
2х + 6 
- 4 х
^ ----------
- 2 х - 6
х = -6 е ( -
оо; 
- 1> 
к°Р»ей не имеет; 
х = -2 « (3; 
оо)
О твет: х - -6.
2 1. Задание: Решите уравнение — + -—
\х\ 
х-
Решение:
1 
1
3|
■~з|
1 « / х е ( - о о ;0 )
2 > х ;| (0 ;3 ), 
3 ) х е ( 3 ; о о )
- X
- ( Х - 3 )
— + --------------- --- 1;
X 
- ( Х - 3 )
_ _
х х - 3
+ 
, 
х
2 - 5
х
 + 3 = 0;
х
З - х
’ 
—------
-
— § 1;
х 
х - 3
х - х - 3 = 0;
, 
/гг 
х - 3 х + 3 = 0
1 + V13 
/ 
ч 
„ 
с 
ЛТ 
е ( - оо;0), 
уравнение корней не имеет; х _ э -Vi-* | 
^
Ответ:
f l - Vl3.~'5 + ТГз]
5 + Vl3 
2
100

Дополнительные методы решения уравнений 
с переменной под знаком модуля
1. 
В некоторых случаях можно обойтись без раскрытия модуля. Прежде 
всего, следует проанализировать структуру уравнения.
22. Задание: Решите уравнение |2х2 + Зх 1 1| + |х2 - 1| • (2х + 5)2 = 0 . 
Решение:
|2х2 + Зх -  5| + |х2 - 1| • (2х + 5)2 = 0.
В левой части уравнения имеем сумму двух неотрицательных слагаемых, 
а в правой части - нуль. В данном случае левая часть равна нулю только тогда, 
когда каждое слагаемое равно нулю.
[2х2 + З х -5 = 0, 
Гх, = 1, х, = -2 ,5 ,
[(х2 -1 ) • (2х + 5) = 0; j* , = 1, х2 = -1, х3 = -2,5.
О твет: {-2,5; l}.
23. Задание: Решите уравнение |х2 - 1|+|х2 +1 Ох - 1 l| = 0.
Решение:
|х2 - ll + lx2 + 10х — 11| = 0;
х2 - 1 = 0,
X, = 1, х2 = -1, 
х, =1, хг =-11
[х + 1 0 х - 1 1 = 0;
О твет: х - 1 .
2. Рассмотрим уравнение вида |/(х)| = / ( х ) .
Данное уравнение представляет собой равенство | а | = о, которое по опре­
делению модуля, выполнено тогда и только тогда, когда а > 0.
24. Задание: Решите уравнение 
Решение:
х - 5
х + 3
х - 5  
х + 3
х - 5
х + 3
х - 5
х - 5
х+ 3 
х+ 3
£ 0.
О твет: х е (—®; - 3)1) [5; оо).
25. Задание: Решите уравнение бх2 - 5х +11 = 5х - бх2 - 1 .
Решение:
101

бдг2 - 5х +1| = 5дг - 6хг -1 ; 
|блг - 5jc +1| = ~(6х2 —5х + 1); 
бдг" - 5х +1 < 0;
я ш я г°-
{
I
х
3
2
3. 
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выра­
жение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутрен­
него модуля, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
26. Задание: Решите уравнение |х - 14 - х|| - 2х = 4 .
Решение:
|jc - 14 - х|| - 2х = 4.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
х < 4, 
\х й 4,
а) • 2дг - 4 = 4 + 2х, . - 4 * 4 , система решений не имеет;
4 + 2х > 0; 
[х > -2 ;
х <4,
х < 4 ,
х< 4,
б) <
- (2х -  4) = 4 + 2х, - х = 0, 
х = 0; 
4 + 2x2:0; 
\xZ -2;
2
)
I
\х + 4 - х\ - 2х = 4;
4 - х < 0,
Ответ: х=0.
10 2

Решение систем уравнений, 
содержащих неизвестные под знаком модуля
77 
7 Л
D 
[дДх + ДО2 = 3,
27. Задание: Решите систему уравнений < ______
14 ^ у у - =\.
Решение:
У (Х + у)2 =3, f|x + y| = 3,
=i; 
[\
х
-
у
\ = ]-
Последняя система уравнений равносильна совокупности следующих че­
тырех систем:
[х + у = - 3, 
[ х - у = 1.
Складывая и вычитая уравнения каждой системы совокупности, найдем 
ее решения:
(х, =2, 
Гх2 = -2 , 
f x j = 1, 
к = - 1 ,
U = l ;
U g -1; 
U = 2; 
U = -2.
О твет: (-2; - 1 ) ,( - !; -2), (1; 2), (2; 1).
а)
|х + 
У
= 3,
(х 
+ 
У = 
-3,
/х + 
у 
= 3,
[ х -у = 1;
б)[х -у = -1;
в)[ х -у
= -1;
И
28. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
|х - 1| + у = О, 
2 х - у  11.
|х-1| + у = 0, 
2 х - у = 1;
2х + |х-1| = 1; 
|х - 1| = 1 —
2х;
-У = \х-
1
|
2х - у = 1;
1)
х -1 = 1 - 2 х , [Зх = 2, 
1 - 2х £ 0;
2
)
— (х — 1) = I -2 х , 
1 - 2х > 0; 
О твет: (0;-\).
система не имеет решений; 
х = 0,
103

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: