И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

1)л— 1 = 0;
х, = 1;
2) х2 - 4х + 5 = 0; 
решений нет, т. к. 
D
< 0.
Ответ:
{!}.
10
. 
Задание:
Решите уравнение 
з( 
х + 
-
7
^ 
1
+ — 
j -
0
. 
Решение:
ОДЗ: дс э* 0;
Kl+; H +
7
J-T+i |=0;
f l + —Т з х - 3 + - ^ - 7 | = 0;
1
 +
i Y ,
з
— I Зх + ---- 1
X A
X
10
=
0
;
1
) 
1
+ — = 
0
; 
x
i - u
X
x, = -
1
;
2) 3x + — 10 = 0;
Зх* - 1 Ox + 3 = 0;
1
,
*1
= “ > 
*2
= 3-
J
x2 -1 0 x + 9 = 0; 
x, = 1, x, = 9.
Метод введения новой переменной
Ишем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обо­
значаем за новую переменную, упрощая тем самым вид уравнения.
11. 
Задание:
Решите уравнение (х2 + х - 2)(х2 + х - 3) = 12.
Решение:
(х2 + х - 2 ) ( х 2 + х - 3) = 12.
Обозначим х 2 + х - 3 = 
а ,
тогда
44

(а + \)а
= 12; 
а 2 + 0 - 1 2 = 0;
а, = -4 , а 2 = 3;
1)х2 + х - 3 = -4 ; 
х 2
+ 1 + 1 = 0;
уравнение решений не имеет, т. к. 
D
< 0;
2
) х
2
+ х - 3 = 3; 
х 2 + х - 6 = 0;
х, = -3 , х2 = 2. 
Ответ:
{-3;2}.
Рассмотрим уравнение, содержащее взаимно обратные выражения.
х2 +2
Зх - 2 
8
12. 
Задание:
Решите уравнение 
Решение:
х2 + 2
З х - 2
8
Зх - 2 
х2 + 2 
3
З х - 2
х 2 + 2 
3 ’
Обозначим 
а
= * ЙЙ .
З х - 2
В результате получим уравнение:
1 
8 
а
— = —; 
а
3
ОДЗ: 
х * - .
За2
- 8 а - 3 = 0;
а\ —3
, 
а2 —
;
l e i
З х - 2
х 2 - 9х + 8 = 0; 
х, = 1, х2 = 8;
а 2
- 8о - 9 = 0;
а, =
9
, Ц В -
1
;
2 )11
+ 
2
З х - 2
3 
Зх2 + Зх + 4 = 0;
уравнение решений не имеет, т.к. 
D<
0.
Ответ:
{1; 8}.
В более сложных случаях замена видна лишь после некоторых преобразо­
ваний.
13. 
Задание:
Решите уравнение (х2 + 2х)2 - (х + 1)2 = 55.
Решение:
(xJ + 2 х )2 - ( х + 1)2 = 5 5 .
45

Переписав уравнение иначе, а именно: (л2 + 
2х)г
-
(х2 
+ 
2х
+1) = 
5 5
, мы 
сразу видим замену 
х 2 
+ 
2х = а.
а2 
-
 
а -
5 6 = 0 ;
а, = 
- 7 , 
а2
= 
8;
1)й = -7 ;
х 2 
+ 
2х
+ 
7 
= 
0; 
уравнение решений не имеет, т. к. 
D <
0;
2 )о = 8;
х 2
+ 
2х
- 8 = 0;
х, = 2, х2 = -4 . 
Ответ:
{-4; 2}.
Интересная замена неизвестного применяется при решении симметри­
ческих уравнений.
Определение. Уравнение вида 
апх"
+
ап_хх п~х
+ ... + я ,х + а 0 = 0 назы­
вается симметрическим, если 
ап
=
а0, апЛ
=
ах
т.е. если равноудаленные 
от концов коэффициенты попарно равны.
14. 
Задание:
Решите симметрическое уравнение:
Поскольку х = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив 
обе его части нах2, получим:
х 4 - 2 х 3 - xf - 2х +1 = 0 .
Решение:
х* -
2х3 - х 2 - 2 х +1 = 0 .
2 
2
1 
х - 2х - 1 — + — = 0;
X 
X
Замена: хн— = о .

а '
-
2а
-
3 
= 0; 
at
= 3, 
а2
= -1 ;
1)х + — = 3; 
2)х + — = -1;
х
х
x 2 - 3 x + 
l 
= 0; 
х 2 + х + 1=0;
3 ± j 5
уравнение решений 
h + /? ]
х
, , | — I — ; 
не имеет, т. к. 
D <
0. 
Ответ:
I 
1.
2 
|
2 
j
В ряде других случаев удобную замену желательно знать заранее. Например:
а) Уравнение вида 
(х + а)4 +
(х + 
Ь)4 — с
сводится к биквадратному, если
а + Ь
сделать замену: 
х — 
t
--------- .
2
б) Уравнение вида 
(x + a)(x + 6)(x + c)(x 
+ е
сводится к квадрат­
ному, если 
а + Ь = с + d.
в) Однородное уравнение 
а у 2а
+
byaz a
+
cz2a
= 0 , где 
а, Ь,с, а -
задан­
ные числа, отличные от нуля; 
у
—у(х), 
z
= 
z(x) 
—
некоторые функции от 
х
сво­
дится к квадратному, если разделить обе части уравнения на 
z 2a Ф
0 . Тогда
получаем уравнение: 
а
г ^ \ 1а 
( ■
 \ а
+ с
= 
0
.
У
15. 
Задание:
Решите уравнение (х + З)4 + (х + 5)4 = 16.
Решение:
( х
+ 3)4 + (
х
+ 5)4 = 16.
Сделаем замену: 
x - t -
4.
Тогда получим:
( /- 1 ) 4 +(Г + 1)4 = 16;
(t2 
- 2 t
+
1)2 + 
(t2 + 
2 t
+
1)2 = 16; 
t
4 -
4t 3
+ 6r2 -
4t
+1 +
1* + 4
t 3 
+ 6 r + 4t
+1 = 16;
2/4 + 12fz -1 4 = 0; 
f4 + 6/J - 7 = 0.
Замена: 
t2
= 
a >
0 . 
a 2 + 6a - 7 = 0;
a, 
= -7 , a2 = 1.
47

С учётом t~ = а >
0 отбрасываем а,.
Г = 1
+
х, 1 1 
- 4 = -3, 
х, I -1 
- 4 | -5.
Ответ:
{-5 ;-3 }.
16. 
Задание:
 
Решите уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6)(х - 7) = 1680. 
Решение:
(х - 4)(х - 5Хх - 6)(х - 7) = 1680;
(х - 4)(х - 7)(х -
5 ) ( х
- 6) = 1680;
(х- - 1 1х + 28Хх2 - 1 1х + 30) = 1680.
Обозначим х2 - 1 1х + 28 = 
а
, тогда 
а(а
+ 2) = 1680;
а2
+ 
2а
-1680 = 0; 
а, = -42, 
а2 =
40;
1)х2-11х + 28 = -42;
х2 - 11х + 70 = 0; 
уравнение решений не имеет, т. к. 
D <
0;
2 )х 2 - 1 1х + 28 = 40; 
х2- И х -1 2 = 0;
х, = 12, 
х2
= -1. 
Ответ:
 
{-1; 12}.
17 
Задание:
 
Решите однородное уравнение:
3(х2- х + 1)2 - 5(х + 1)(х2 - х +1) - 2(х + 1)2 = 0.
Решение:
3(х2 - х + 1)2 - 5(х + 1)(х2 - х +1) ^ 2(х + 1)2 = 0.
Разделим обе части уравнения на (х2 - х + 1)2 * 0
Пусть ~ + *
X — X + 1
= а , тогда
48

х
+1 =
- З х 2
+
З х
— 3;
Зх2 — 2jc + 4 = 0;
уравнение решений
не имеет, т. к. 
D <
0. 
Ответ:
х, 2 =
з± У 1 з
2
Решение дробно-рациональных уравнений
При решении дробно-рациональных уравнений следует учесть, что областью 
определения уравнения являются те значения переменной 
х,
при которых зна­
менатели дробей не обращаются в нуль.
При решении дробно-рациональных уравнений целесообразно поступать 
следующим образом:
1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая 
дробь имеет смысл;
2. заменить данное уравйение целым, умножив обе его части на общий 
знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
■** 
3 
33 
х - 4
18. 
Задание:
Решите уравнение — + —--------= -------- .
х
х2 - 1 1х 
х - 1 1
Решение:
х х2- И х
х - 1 Г
3 
33 
х - 4
- + —-------- = --------
О Д З :х * 0 ,х * 11;
3 
33 
х - 4
= 
0
;
— +
X
х(х-11) х - 1 1
3(х
-1 1 ) + 33 - х(х - 4) = 0; 
7 х - х 2
= 0;
х, = 0 - не принадлежит ОДЗ, 
х 2 
= 7.
Ответ:
{7}.
„ 
3(9х- 3 )
„ 
19. 
Задание:
Решите уравнение----------- = 2 +
I»
49

9 х_ 3 = 2 + 3* + 1
З х - 2
Зх — 2 
9х - 3 = 6х — 4 + Зх +1;
9х - 3 = 9х - 3;
2 
2
х - любое число, кроме —. 
Ответ: 
х *
—.
3 
3
1 
20х + 1 
7 - 5х
20. 
Задание:
Решите уравнение ------- -
~~г
г т
9 
" 
7
4х + 
8
4х - 1 6
х - 4 х + 4
Решение:
1 
_ 20х + 1 
7 - 5 х
4х + 8 
4х2 - 1 6
х
2 - 4
х
+ 4*
1 
20х + 1 
7 - 5х 
0
+ --------- * = 0, 
ОДЗ: х * ±2;
4(х + 2) 
4(х - 2)(х + 2) 
(х - 2)2 
(х - 2 || j (20х 11)(х - 2) | (7 - 5х)(4х + 8) = 0;
39х2 - 2 3 х - 6 2 = 0.
, , „й 
А
, 
62
Так как 
Ь = 
а + с
(-23 = 39 - 62), то х, = —1, 
х 2 
—
— .
1 
2 
39
Г , 6 2 '
Ответ:
i -1 ; —
1 
39.
Нестандартный подход.
Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких 
степеней нет, и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать при­
мер нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и 
отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
' _ . 
_ 
13х 
2х
21. 
Задание:
 Решите уравнение — ;-----------
1
-----;----------- = 6.
2х" + х + 3 
2х - 5 х + 3
Решение:
13х 
2х 
_ _ _
3
6, 
ОДЗ: х * 1 , х ^ —.
2х2 + х + 3 
2х2 - 5х + 3 
*
2
Разделим числитель и знаменатель дробей нах 
Ф
0:
13 
2
3 
3
2х +1 + — 
2х - 5 + —
X 
X
= 6.
50

Обозначим 2х + —= /.
х
13 
2 
.
Получим: — 1 + ----- = 6;
/ +1 
/ - 5
1 3 ( /- 5 )
+ 2(/ + 
1) = 6 
(/ +
1)(/ - 5); 
6 /2 - 39/ + 33 = 0;
2/2 
- 1 3 / + 11=0; 
, 
■
/ - 1 3/ + 22 = 0;
/,=1, 
t2=— .
2
I =2, /, = 11.
Следовательно: 1) 
2x
+ — = 1;
x
2x2 - x
+ 
3 
= 0; 
уравнение решений не имеет, т. к. 
D
< 0;
очо 
3 
11
2)2х + — = — ;
х 
2
4х2
- 1 1х + 6 = 0;
~ 
3 
xi ~
2, 
х2 =~ .
4
-х2 -1 
I
jc
+ 24 = 
0;
х, =8, 
х2
= 3. 
Ответ:
i —; 2
4
1
22. 
Задание:
Решите уравнение-------------
х
-
1 
jc
- 2
х
—
3 х - 4
Решение:
1
1
1
1
Г 
г -
г
т» 
ОДЗ: х * 1, х * 2 , х * 3 , х*4. 
х - 1 х - 2
х - 3 х - 4
Сложив попарно дроби: первую и четвертую, вторую и третью, получим:
1
1
1
1 
х - 1 х - 4
х - 2 х - 3
x - 4 + x - l
х - З + х - 2
(х -1 )(х -4 ) 
(х - 2 )(х -3 ) 
2 х - 5
2 х - 5
( x - lX x - 4 )
(х -2 Х х -3 ) 
/
(2х - 5)
Д х -1 Х х -4 ) (х - 2 Х х - 3 )
= 
0
;
51

1) 2
jc
 — 5 = 0;
x, = 2,5;
2) - 
!----------------- 1------- = 0;
: ( x - $ ( x - 4 )
( x - 2 ) ( x - 3 )
xa - S x + 6 - x 2 + 5 x - 4
( x - l X x - 2 X x - 3 ) ( x - 4 ) = ’
--------------- ---------------- = 0;
(x-lX x-2X x-3X x-4)
уравнение решений не имеет.
Ответ: {2,5}.
S2

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: