И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

х2
+ 
Зх
= 4; 
хх
= -4 , х2 = 1;
1)х = -4; 
1 6 - 3 / = -1 1 ;
ЯШ
х
= -4; 
2) jc = 1;
; - 3 / = - 1 1 ;
1 - 3 / = - 1 1 ;
,, = 
±3; 
у , , = ±2. 
Ответ:
(-4; 
- 3 ) , 
(—
4 ;3 ) , 
(
1
; -2 ), (
1
; 2).
Таким образом, при решении системы двух уравнений с двумя неизвест­
ными способом сложения:
а) умножают левые и правые части уравнений на некоторые числа;
б) складывают почленно левые и правые части уравнений;
в) решают получившееся после сложения уравнение с одной переменной;
г) находят соответствующие значения второй переменной.
Решение:
Складывая и вычитая почленно уравнения данной системы, получим:
fjc2 
ч
-
jc
 —
12 = 0, 
j x t
=
-4 , 
х2
= 3,
[у
3
+ 
у -
6 = 0; 
[У] = 
-3 , 
у
г
= 
2.
Ответ:
(-4; -3), (-4; 2), (3; -3 ), (3; 2).
\ху(х 
+ 
у)
= 30,
5. 
Задание:
Решите систему уравнений 
<
3 
3
4. 
Задание:
Решите систему уравнений
/
jc
+ у =35.
Решение:
Глу(дг + у ) = 30,
( * 3 +
у
= 3 5 .
Умножим первое уравнение на 3 и сложим со вторым. 
В результате получим систему:
х, = 2 , у, = 3 ; 
х, = 3, у 2 = 2.
Ответ:
(2; 3), (3; 2).
56

Для решения систем уравнений часто применяется метод замены пере­
менных, когда некоторые выражения от исходных переменных принимаются 
за новые переменные, в результате чего получается более простая система 
уравнений относительно новых переменных. После того как эта система 
решена, надо по найденным значениям выбранных нами выражений найти 
значения исходных переменных.
Метод введения новых переменных
6. 
Задание:
Решите систему уравнений 
Решение:
х + 1 + у + 1 _ 
X 
у
х + у + \ + ху
ху
х + 1
+
у
+ 1 
X 
у
Х
+ 
У +
1 + 
ху
= 
2
;
ху
, 1 . 1 
,
1 + - +1 + — = -3,
X 
у
1 
1 
1 
. 
о 
— + - + — + 1 = 2.
У
х ху
= 
2
.
Введем замену
— = 
а,
х
а + Ь -
—5,
~ & | 
а
+ 
b
+ 
ab -
1; ] 
аЬ
= 6;
У
а + Ь =
- 5 ,
Для определения 
х
и 
у
получим систему:
о, = -2, 
by
= -3, 
а.
= -3, 
Ь,
= -2.
1)
1 - 2 .
X
— = -3.
2
)
1
. - 3
,
X
- = -2. 
у
Ответ:
7. 
Задание:
Решите систему уравнений 
Решение:
х + У
(
х - у
х + у
х - у
— - + — -
х - у
х + у
х 2 - у 2
= 12.
х - у х + у
хг - у 2 = 12;
1 
1
= 
= 3
х
2
- у
2
= 
12;
10
Замена
:
1 
10
—
а + — = —
3
х + у
а 
3
------ = а.
*» 
] 
.
х - у
х ‘ 
- у
= 1
3 ’
10
3 ’
За2 -
10о+3 = 0, 
х 2- у г
= 12;
57

£ ± Z - з
(4; 2), ( - 4 ; - 2 ) ;
О твет: (-4; -2), (-4; 2), (4; -2), (4; 2).
Общего правила выбора новых переменных не существует. Но имеется 
два вида систем, для которых можно указать подходящую замену:
а) система симметрических уравнений;
б) система уравнений, одно из которых однородно.
Рассмотрим симметрические системы.
Системы, в которых замена х на у  и у  на х приводит к той же системе 
уравнений, называют симметрическими системами. Если левые части обоих 
уравнений системы являются симметрическими, полезно ввести новые пере­
менные по следующим формулам: х + у - а, ху = 6.
Отметим еще одну очевидную особенность симметрических систем: если 
пара чисел (х0; _у0) является решением симметрической системы, то и пара 
(у0; х0) является решением этой системы.
Могут быть полезны следующие представления:
х2 + у 2 = (х + у)2 - 2ху = а2 - 26;
х3 + у 3 = (х + у)(х" - ху + у 2) = (х + у)((х + у)2 - Ъху) = а(а2 -  36);
х4 + у 4 = (х2 + у 2)2 - 2х2 у 2 = (о2 - 26)2 - 262.
/ Эти выражения вовсе не обязательно помнить, но нужно уметь выводить 
йх самостоятельно.
8. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
В результате этой замены получим систему:
I V
-6
= 
21
,
|о + 6 = 9;
а 2 + о - 30 = 0;
58
\

а, =5, а, = -6;
б, = 4, />2 =15.
Возвращаясь к переменным х и у, имеем совокупность двух систем:
х + у = 5, 
\х + у = -6, 
и
ху -  4; 
[ху = 15.
Вторая из этих систем не имеет решений, а решениями первой системы 
служат пары (1; 4), (4; 1).
О т в ет: (1; 4), (4; 1).
\х + у  =
К симметрическим системам относится и система вида \ 
кото-
[ху = Ь,
рую можно решать, пользуясь свойствами корней квадратного уравнения.
[х 3 + У = 7,
9. Задание: Решите систему уравнений
х зУ = -8.
Решение: 
fx J + / = 7 ,
[ x V = - 8 .
Из условия следует, что х5 и у* являются корнями некоторого приведен­
ного квадратного уравнения относительно переменной _.
Составим относительно z уравнение:
z 2 - 7 г - 8 = 0;
г, =8, z2 = -1 .
В результате получаем:
Гх3 =8, 
х ,= 2 , 
fx3 = -1; 
х2 =-1,
1 э 
, 
, ИЛИ 1 J о 
т
[У = - 1
У, = - ! •
[У =8; 
>2 =2.
О т в е т : 
(-1 ;2 ),(2 ;-1 ).
Метод решения систем, содержащих однородное уравнение
Теперь обратимся к системам, в которых одно из уравнений однородно 
или в которых можно выделить однородное уравнение. В однородном урав­
нении каждое слагаемое содержит произведение степеней х и>\ сумма пока­
зателей которых постоянна, а правая часть равна нулю. ■
39

\х + 4ху-3у~  =1,
10. Задание: Решите систему уравнений s 
, 
,
[2х - 3 ху + у  
= -
1
.
Решение: 
х 2 + 4ху -  3у 1 = 1,
2хг - 3 ху + у 1 = —1.
Строго говоря, однородных уравнений в этой системе нет. Но, прибавив 
к первому уравнению системы второе, получим равносильную систему 
с однородным уравнением второй степени относительно* и у:
[Здг + х у - 2 у 2 = 0,
|2х2 - 3 ху + у 2 = -1.
Разделим обе части первого уравнения на у1. Заметим, что у  0, так как в 
противном случае из первого уравнения системы получилось бы х = 0, а нуле­
вые значения переменных не удовлетворяют второму уравнению системы.
х
Решим первое уравнение относительно новой переменной а = —.
у
За2 + а -  2 = 0; 
а, =—1, т.е. х = —
у,
2 
2 
щ = —, т.е. х = —у .
3 
3
Подставим эти соотношения во второе уравнение исходной системы:
\)х = -у\ 
2
) 
х - —у\
6у = -
1
; 
9
решении нет.
У2
у, 2 = ±3. 
О твет: (-2; -3), (2; 3).
Метод разложения на множители
Нередко для понижения степени уравнений, входящих в систему, исполь­
зуется прием разложения одного из уравнений на множители и замена исход­
ной системы уравнений равносильной ей совокупностью более простых 
систем уравнений.
11 .Задание: Решите систему уравнений
9 х 2 
- у 2 - 3 х + у = 0, 
х2 +у = ху.
6 0

(9x2- y I -3x + y = 0, 
j(3x-y)(3x + y - l ) = 0,
\x2+y = xy, 
\x2+y = xy;
!) 
2)\3x2 + y ~l = 0,
[x-+y = xy; 
[X +У = ху;
x2 +3x = 
3x2;
x 2 + ( l- 3 x ) = x (l-3 x );
2x2-3x
= 0; 
(2x - 1)2 = 0; 
x(2x
—3) = 0; 
1 
1
Решение:
x, = 0, x2 = - ;
3 
* 2 ' Л
2
v _ n „ - 9 • 
Ответ:
(0; 0), (0,5; -0,5), (1,5; 4,5).
У\ —
v> 
У г ~ ~ ’
12. Задание: Решите систему уравнений i ^ +Х^
„ 
[х + у = 6.
Решение:
\у*
 + 
ху2
 - 2х: = 0, 
Ту4 +2х>-2- л у 2- 2 х 2 =0, 
f
(у2 
-  х)(у2 + 2х) = О, 
]х + 
у
= 
6; 
|х + у = 
6; 
] х + у = 
6;
n J y 2- x
= 
0, 
\ х = у2, 
[х = у2,
1 , 
\ 
(9; —
3), (4; 2);
I
х + у = 6; 
[ у + у
- 6 = 0; 
[у, = -3, 
уг
 =2;
fy’+2x = 0. Jx =
I х + у = 6’ 
I 
система решений не имеет.
[у 2 - 2у +12 = 0; 
Ответ: (4; 2), 
(9; -3).
Дополнительные методы
Рассмотрим на примерах некоторые особые способы решения систем 
уравнений с двумя переменными.
fx2 - у 2 =24,
13. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
х2 - у 2 =24,
х - у = 4.
х - у = 4.

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: