§6. М ЕТО Д Ы Р Е Ш Е Н И Я С И С ТЕМ Л О ГА РИ Ф М И ЧЕС К И Х У РА ВН ЕН И Й

Метод потенцирования 
Поясним суть данного метода на примерах.
I 
7 A
 
D 
»■
1. Задание: Решите систему уравнений
\gx-\gy = 2.
Решение:
\g(x-y) = \, jlg (x-.y ) = l,
Jlg (*-jO = l,
( х - у = 10, 
lg x - lg > ’ = 2; [lgx = IglOO + \gy; 
[lgx = lg(lbQy); 
[x = 100_y; 
x - y = 10,
- x + lOOj' = 0;
99y= 10;
10 
9 9 1 
1000 
X ~ 99 '
Проверка:
r
\ 99 
99J 
[lg l0 = l 
- верно.
у - — ; 
99
[lg 100 = 2 - верно. 
(1000 1
О т в е т : ----- ; -
I 99 
9
2. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
log,(x + j0 = 3,
logis X = \ — log,5 у.
log2(x + >0 = 3, 
fIog2(x + у ) =  3, 
j log2(x + у ) =  3, j x  + у  = 8, 
l o g IS 
x = 1 - log,, y; [log,, x +
l o g , 5 
y = U  
| l o g , 5( x v )
= 1; 
[ x y
= 15. 
(3 ;5 ),(5 ;3 ).
Проверка:
1) 
jc
 = 3,jv= 5;
log, 8 = 3, 
flog2 8 = 3 • верно,
log,, 3 = 1 - log,, 5; [log,, 15 = 1 - верно.
2)x=5,y=3\
235
vo 
I о

f
1 - верно. 
О т в е т : (3; 5), (5; 3).
Решение:
3. Задание: Решите систему уравнений
lg(x2 + / ) = ! + Ig8,
flg (x 2 + jy2) = l + lg8, 
равнении s
[lg(x + y ) - \ g ( x - y ) = \g3.
Ig(jc" + y 2) = lg 80, 
x2 + y 2 = 80,
lg(* + > 0 -ig ( * -;K ) = lg3; 
lg ——^- = ig3;
X + у
X - y
|х2 +>>2 = 80, f4>’2 + j'2 =80, {у 2 - 16,
\x = 2 у; 
\x = 2 у; 
\x = 2 у.
(8; 4), (-8 ;-4 ).
Проверка:
1) х = 8, у  = 4;
flg(64 + 16) = 1 + lg8, Jlg80 = lg80 - верно,
\lg 12 — lg4 = lg3; 
[lg3 = lg3 - верно.
2)
x 
= -8 , у  = -4 ;
j  lg(64 +16) = 1 + lg 8 - верно,
[lg(—12) - lg (-4) = lg3 - неверно, т.к. lg(—12) u lg(—4) не существуют
О твет: (8; 4).
4. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
,Q1+Ig(,+ V) = 50}
I
Найденные значения х и у  удовлетворяют ОДЗ. 
О твет: (4,5; 0,5).
236

S. 
Задание: 
Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ: х > О, у > 0, х *  1, log, - > 0.
9
У
По определению логарифма имеем:
!°g 
= 8’
х
log3 log, -
9 
У)
= 0.
xy = ( ^ f ,
И
г И
j
о
"
ст
а
IX
U
1 * 4 U - t e - l
1
9
(3; 27), С~3; - 27).
Пара чисел (-3;—27) не входит в ОДЗ. 
Ответ: (3; 27).
6. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ:х>0,у>0.
2 log, х - log5 у = 0, 
х2-3 у = 4;
21og5x-lo g 5_y = 0, 
х2 - 3^ = 4.
log,x2 -log,j> = 0, 
х* — 3 у = 4;
У
х2 - 3 у = 4;
у = х% 
х2 = -2.
Ответ: система не имеет решений.
|2х = 3у-3,
7. Задание: Решите систему уравнений I
[log Л (х - 3>> -f 8) = 
2
.
Решение:
2х = 3у-3, 
log^(x-3j>+8) = 2;
Проверка:
(
6 = 9—3, 
Гб = 6 - верно,
log^(l 1 - 9) = 2; |log^2 = 2 - верно.
О твет: (3; 3).
2х -З у = -3, 
Г2х — 3>» = -3, Гх = 3,
х -З у + 8 = 
(л/2)2; [x -3 j/ 
= -6; 
|v = 3.
237

Метод введения новых переменных
2
lgx + lgy = 
2
, 
lgx-
21
gy = 
1
;
a-2b = l;
8
. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ:х>0,у>0.
Замена 
Igx = а, 
lg у = Ь.
5а = 5; 
а = 
1
;
Ь = 0;
lg 
jc = 1; х = 10 > 0 - принадлежит ОДЗ; 
lgjV = 0; у = 1 > 0-принадлежит 
ОДЗ.
9. Задание: Решите систему уравнений - 
Решение:
О Д З:х> 0,у> 0,х* 
1 ,у *
1.
2\gx + \gy = 2, 
\gx-2\gy = 
1
.
2а + Ь = 2 |-2, [4а + 2Ь = 4,
<з-2А = 1:
О твет: (! <
log>
.x-log I ^ = -, 
ху = 16.
I log „ х — logx у  = —, 
[ху = 16;
logvX-
log,x
ху = 16;
[3а2 - 8а - 3 = 0, Г(3а + 1)(а - 3) = 0, 
[ху = 16; 
[ху = 16;
Замена: 
log,, х = а
Г Г Р
I дгу = 16;
10
;
■j, J log ^ х = ——, I У ~ъ _ х 1х = —>0 -принадлежит ОДЗ, 
[ху = 16; [у = 64 > 0 - принадлежит ОДЗ.
[лу = 16; [ху = 16;
а = 3, 
flogv x = 3, (у 3=:с, [х = 
8
> 0 - принадлежит ОДЗ,
2)-
О твет: [ —;64 |, (
8
;2).
ху = 16; [ду = 16; 
[ху = 16; [у = 2 > 0 - принадлежит ОДЗ.
log x + log,y = 2,
10. Задание: Решите систему уравнений
х - у = 20.

Решение:
ОДЗ:х>0,.у>0,х* 1,у* 1.
logj x + \ogxy = 2, 
х2- у = 
20
;
log v х +■
= 2,
Замена:
log„ x - a
a2 -
2
a + l = 
0
, fo = 
1
,
a + - = 2, 
a
x2 - y = 
20
;
x2-x-20 = 0,
1)
logj. * 
jc
2 -д; = 20;
logj x = 
1
, 
(x = y, 
x2- y = 
20
; 
[x2-.y = 
20
; 
| x
2
- 7
= 
20
; [дс2- y = 20; [x = >>; 
(x-5Xx + 4) = 0, 
x = y,
x = 
5 > 0 - принадлежит ОДЗ, 
д; = 5 > 0 - принадлежит ОДЗ.
2)
х = -4 < 0 - не принадлежит ОДЗ,
д/ = -4 < 0 - не принадлежит ОДЗ.
О тв е т: 
(5; 5).
Системы показательных и логарифмических уравнений
11. Задание: 
Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ: х > 0, х +у *  0.
|3V-9х =81,
[lg(jc + >>)2-lgJc = 21g3; 
Г у  = 4-2дс,
Ъу 9х 
=81,
lg(* + y f ~ lg* = 21g3.
у  = 4 - 2x,
У-з2,=з4,
|>+2х = 4, 
г
* * * #
=
1
X
1 
X
\-2х,
[у 
= 
4 
-2х,
7х+16 = 0; {(х-16)(х-1) 
= 
0
;.
2)
jc
= 16,
> = -28.
дс — 1,
> = 2.
О т в е т : (1; 2), (16; -28),
(16; -28) - принадлежит ОДЗ. 
(1; 2) - принадлежит ОДЗ.
239

12. 
Задание:
Решите систему уравнений
ЪгГх~Гу = 8!,
= l + lg3.
Решение:
ОДЗ:х>0,.у>0.
Г32 ^ - ^ = 815 
| 32 Л - ^ =34^ 
Ы х - ^ = 4 > L/7 = 2i/x-4 
[igV xy = l + lg3; {ig V ^ y = lg30; ^/x)M=30; 
\ y fx - Jy = 30; 
yfx(2jx -4 ) 
= 30;
2x — 4 Vx —30 = 0; 
х-2л/х-15 = 0.
Решение:
OJ\3:x+y>Q.
.J log ^ (JC + >’) = 4>
|lo g 2(x + ^) = 2, Гдс 
+ 
д; = 
4, 
f
y
= 4 - x , 
| з 6_х • 2y = 54; 
[Зб“* • 2y = 54; 
|36" T-2V = 54; 
|32-34' x-2 
\y = 
4 - x , 
(y = 
4 -x, ix 
= 
3,
[64_Jt = 6; 
[4 - x = 1; [ y = l.
О т в е т : (3; 1).
Решение:
<ЭДЗ:х>0.
Из первого уравнения системы имеем log3 х-Ъ - у  + 2у.
О тв е т: (25; 36).
13. Задание: Решите систему уравнений
lo g ^ (x + y ) = 4, 
З6' х-2У =54.
14. Задание: Решите систему уравнений
log3 х - 2 у + у = 3, 
у ■
 2У + 2У • log3 х = 4.

Подставив полученное выражение для log3 
х
во второе уравнение, полу­
чим квадратное уравнение относительно 
2
>: 
у 2 ’г+2, ( 3 - у + 2у) = 4-,
У'2у
+ 3-2*
- у - 2 у
+ 2?>'- 4 = 0;
2^ + 3 -2 '-4 = 0.
Замена: 2>’=/,|>0.
i 1 + 3 t-4
= 0;
/, = -4< 0, 
t2 = l;
Ответ:
(81; 0).

§7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Метод перехода к равносильной системе неравенств (основной)
1. log, (дс2 -2дг) > -1
2. lg(x2 - 5дг + 7) < 0 
2
2,o82(*l ~3jt+2) > з
4. 
Iog0.5 
-
 
“ 2
х + 3
, 
, 
х +х
_
5. log0 3log6 
<0
х + 4
6. log0 ,(х2 + x - 2 ) > log0 i(x + 3)
7. Iog2(- x 2 + 2x + 3) > log2(x2 - x - 2)
8. logM x + log20(x +1) < log,0(2x + 6)
9. l-2 1 o g ,(x + 2) > log3(x - 3 )
9
10. logjX + log^x+ log, X < 6
3
Метод введения 
новой переменной
Решение неравенств, содержащих неизвестное 
как под знаком логарифма, 
так и в основании логарифма
И . logo5 х > 25
12. log3x + log3x> 2
] 3
lg! ,-3 1g ar+3 <1 
lgx-1
14. l- 5 1 o g I 2 + 61og22 < 0
15. logr(3 - 2 x ) > 1
16. log2x+3x2 < 1
Метод интервалов
Решение систем неравенств
17 |ОВ« ( , + 
3 ) < 0
2 x -4
is. log: ( I " 3 )>o 
x -25
19. x-logj^x2 +x + l ) > 0
20. 
l o g >U
+
2
, < 0
lo g ,(x - 3 )
21. • 
22. * 
23. •
log2(x + l)> 2 ,
х~ 7 <о.
х + 5
log0 
5
(X + 16) < logo j (X + 2) - 
1
,
2 Т
„
— т > 9- 
3
( 1V 2I+I 
Г 
х
2+4
>32, 
I , 
>0,
\ 2 J
2 4 . ^ “ 16х+64
log4(x - 6 )2 <1. 
[lgVx+ 7 > lg(x —5 )—21g2.
242

Для решения логарифмических неравенств, как правило, применяются те 
же методы, что и для соответствующих уравнений, и, по сути дела, на большин­
стве этапов решение уравнений и решение неравенств ведется аналогично.
К числу важных отличий можно отнести два момента. Во-первых, принци­
пиальное значение имеет свойство монотонности функции log0 х. Неправиль­
ное применение свойства монотонности (особенно в случае, когда О < а < 1) 
приводит к ошибкам. Во-вторых, понятие области допустимых значений при 
решении логарифмических неравенств требует более строгого и вниматель­
ного отношения, чем при решении уравнений, поскольку в этом случае при­
надлежность решения к ОДЗ невозможно проверить непосредственной под­
становкой. В связи с этим рекомендуется всегда начинать решение логариф­
мического неравенства с выписывания условий, определяющих ОДЗ.
При решении логарифмических неравенств нужно четко представлять себе, 
что логарифмическая функция с основанием большим единицы, монотонно 
возрастает, а с основанием меньшим единицы, но положительным, монотон­
но убывает.
Логарифмические неравенства обычно решаются одним из следующих 
методов:
- заменой логарифмического неравенства равносильной системой нера­
венств;
- введением новой переменной;
- методом интервалов.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах неравенств, содержа­
щих логарифмы.
Метод перехода к равносильной системе неравенств (основной)
При решении логарифмических неравенств следует избегать преобразо­
ваний, которые могут привести к потере или появлению посторонних реше­
ний, так как в противном случае обоснование правильности ответа является 
более сложной задачей, чем решение исходного неравенства. Тем самым, по 
существу, основным методом решения логарифмических неравенств является 
метод перехода к равносильным неравенствам (системам или совокупностям).
Рассмотрим данный метод сначала на примерах простейших логарифми­
ческих неравенств вида log0/ (x )v A .
При решении простейших логарифмических неравенств следует учиты­
вать область определения логарифмической функции и свойство монотон­
ности: при потенцировании по основанию, большему единицы, знак неравен­
ства сохраняется, а при потенцировании по положительному основанию, 
меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
Методы решения логарифмических неравенств
243

Решение:
log, (
jc
2 -2
jc
) > -1.
3 
•
Учитывая свойство логарифмической функции с основанием, меньшим 
единицы, и область допустимых значений, переходим к равносильной систе­
ме неравенств:
1. 
Задание:
Решите неравенство log, (л*2 - 2х) > -1.
J 
jc
2 — 2
jc
> О, 
Г
jc
(
jc
— 2 ) > О, 
jc2 ~2jc < 3; 1(х + 1)(х-3)<0.
О тв е т: х е (-1; 0) U (2; 3).
2. Задание: Решите неравенство lg(jc2 - 
5
jc
+ 7) < 0
Решение:
lg(x2 - 5
jc
+ 7) < 0;
Jx 2 -5x + 7 > 0, 
[
jc
e R,
[
jc
2 
-5x + 7 < 1; 
[(x - 2 )(x - 3 )< 0 .
\ \ +\\
^
/
0
2
X
/ +
-1
у / / / / / / / /
3 
>
О тв е т: 23. Задание: Решите неравенство 31о8^'г -3jr+2) > 3. 
Решение:
3log2(jrJ -3x+2) > у
log2 
(х 2 - Зх
+ 2) > 1;
J
jc
2 
-Зх 
+ 2 > 0,
[х2 - Зх + 2 > 2; 
х2-Зх + 2>2; 
х
(
х
-3)>0.
Ответ:
х е 
(- 
оо; 
o]U 
[З; оо).
244

Решение:
I 
х-4 f _ 
log05—— <-2; 
х+3
а
~ ь 
f 
х 4
4. Задание: Решите неравенство log0 5 
■
•■
< -2.
х-4
х+3
х - 4
х+3
х-4
х+3
>0,
>4;
>4;
х-4 „
4---- < 0;
лг+3
Я
р
х+3 
Ответ: х е
5. Задание: Решите неравенство 
log0 3 log6----- < 
0
х + 4
Решение:
, 
, 
х2+х л
1°8о.з log6-- — <0;
х+4
I 
х2+х ,
log6---— >1;
х+4
х2+х
х+4 
х2 +х
>0,
>6;
х+4
---->6;
х + 4
хг -Зх-24 
х + 4 
(х-8)(х + 3) 
х+4
Ответ: х е (-4;-3)U (8;со).
>0;
>0.
245

Рассмотрим решение простейших логарифмических неравенств вида
При 0 < а < 1: loga / (х) > loga g(x) равносильно системе неравенств:
Заметим, что первую систему можно упростить: неравенство /(х ) > 0 вы­
текает из неравенств f(x )> g  (х), g (х) > 0, поэтому неравенство / (г ) > 0 можно 
опустить.
Аналогично можно упростить вторую из написанных выше систем: нера­
венство g (х) > О вытекает из неравенствf(x )< g  (х),/(х) > 0, поэтому неравен­
ство g (х) > 0 можно опустить.
6. Задание: Решите неравенство log0 ,(х2 + х - 2) > log0 ,(х + 3).
Решение:
•°8и / (* ) > log„ g (x ).
При а > 1: loga / (х ) > loga g (x ) равносильно системе неравенств:
logo,, (х2+х - 2 ) > iog0, (* + з);
х2 + х — 2 > О, 
х + 3 > О, 
х2+ х - 2 < х + 3;
X
Ответ: х
е (->/5;- 2 )U (1; л/5).
246

7. Задание: Решите неравенство log,(-x2 
+2х 
+ 
3)>
log2(x2 - 
х - 2 ). 
Решение:
log, (—
jc
2 
+ 2х + 
3 ) 
> log, 
(х 2 - х 
- 
2 );
- х2 + 2х + 3 > О,
О твет: 2<х<2,5.
Существует несколько приемов, позволяющих логарифмическое неравен­
ство свести к простейшему. К ним относятся: использование формулы пе­
рехода от одного основания логарифма к другому, применение формул 
логарифмирования произведения, степени и частного, сведение к алгебраи­
ческому виду.
Остановимся на рассмотрении некоторых логарифмических неравенств.
8. Задание: Решите неравенство log20 х + log20(.x +1) < log20(2x + 6).
Решение:
log20 X+logjofx +1) < log20(2x+6); 
log20(x • (x +1)) < loga (2x + 6); 
x > 0, 
x +1 > 0,
2x + 6 > 0, 
x(x +1) < 2x + 6;
x > 0, 
x > -1,
x2 - x — 2 > 0,
- x2 + 2x + 3 > x2 - x - 2;
x> -3 ,
x2- x - 6 < 0 ;
247

О тв е т: 0<х<3.
9. Задание: Решите неравенство 1-2 log, 
(
jc
+ 2) > log3 
(
jc
-
3 )
. 
Решение:
1 - 2 log, (jc + 2) > logj (jc - 3);
9
1 + log3(jc + 2) > log3(jc - 3); 
log3(3 • (
jc
+ 2)) > log3(jc - 3);
jc
+ 2 > 0, 
jc
- 3 > 0,
3(x + 2) > jc - 3; 
jc
> 3.
x > -2, 
jc
> 3, 
x > -4,5;
О тв е т: x> 3.
10. Задание: Решите неравенство 
lo g 3x
+ 
lo g ^
x + 
lo g , 
x <6.
у
Решение:
logjjc + log^j x + log, x < 6;
|
logjjc + 
2 
lo g 3
jc
- 
lo g 3Jc < 6;
log3Jc < 3; 
fjc > 0,
[jc < 27. 
О тв е т: x e (0; 27).
Метод введения новой переменной
При решении логарифмических неравенств данным методом вводится 
новая переменная у  = 
log0 
jc
, 
и
неравенство решается как алгебраическое отно­
сительно переменной у. После этого, решение исходного неравенства сводится 
к решению соответствующих простейших неравенств.
Рассмотрим данный метод решения логарифмических неравенств на кон­
кретных примерах.
248

logj
.5
* > 25, 
ОДЗ: х > 0.
Обозначим у  = log05х.
/ - 2 5 > 0 ;
(у-5Х>' + 5)> 0; 
\ V X \
11. 
Задание:
Решите неравенство logj 5 
х
> 25
Решение:
у <-5, ;у>5. 
Выполним обратную подстановку:
1) у  < -5; 
2) у  > 5;
log0 sх < ” 5; 
log0 5 х > 5;
х > 0,
В 2
х > 32;
х > 0,
*< i 1 1;
0 < х <
32
О тве т: х е | 0; — | U (32; оо).
12. Задание: Решите неравенство log2 х + log3 х > 2. 
Решение:
log2 х + logj х > 2, 
ОДЗ:х>0.
Обозначим у = log3 х.
у 2+ у - 2 £ 0 ;
(гИ + 2)(^-1)> 0;
j
/<-2,
j
>>1.
Выполним обратную подстановку: 
х>0,
1 )уй -2 , log,х < -2, -
2)>2:1, 
logj х > 1,
* * ?  
х > 0, 
х£3;
0 < х £ —; 
9
х£ 3.
О тве т: х е 0; —
---4 9
и [3 ;« ).
249

\сг х — 31й х + 3
13. Задание: Решите неравенство —----- -----< I .
lgx-1
Решение:
lg! x-31gx+3 
. 
л
-5— ------- <1, 
ОДЗ: х>0, х * 10
lgx-1 
Обозначим у = lg х.
z l z M l . 1<0; Ш
щ
 
г т - т
^ - i 
у - 1 
— / / / / / / / / ^ — — у —
у<1, 
lg* < 1;
Jx >о,
[х < 10;
0 
< х 
< 10. 
О тве т: 
х 
е 
(0; 10).
14. Задание: Решите неравенство 1 - 5 log, 2 + 6 log* 2 < 0. 
Решение:
l- 5 lo g ,2 + 61og*2<0, 
О Д З:х> 0,х*1.
Перейдем к новому основанию логарифма:
i - _ * _ +_ ‘ - < л
log2 X log, X 
Обозначим 
у 
= log2 
х.
. 5 6
_
1— + — <0;
У У
у
(у - 2 )(у - 3 )
У2 
'
2 < у < 3;
2 < log21 < 3;
4 < х < 8.
О тве т: 
х е 
(4; 8).
250

Решение неравенств, содержащих неизвестное 
как под знаком логарифма, так и в основании логарифма
Рассмотрим задания, где требуется решить логарифмическое неравенство, 
в котором основание логарифма также зависит от л:. При анализе таких нера­
венств правило знаков уже не работает однозначно (так как мы не знаем, в 
каких пределах лежит основание логарифма). Поэтому следует рассматривать 
два случая: когда основание логарифма больше единицы и когда основание 
логарифма положительное, но меньше единицы.
15. Задание: Решите неравенство logx(3 - 2х) > 1.
Решение:
l°gx(3 ~ 2х) > 1;
х > 
1,
х  > 
1,
1) •
3 - 2х 
> 
0, 
•
х 
< 
1,5, 
решений нет;
3 - 2х 
> 
х;
х 
< 
1;
0 
< 
х 
< 
1,
0 
< 
х 
< 
1,
2) 3 - 2х 
> 
0,
х < 
1,5, 
решений нет.
3 - 2х < 
х;
х > 1;
О т в е т : решений нет.
16. Задание: Решите неравенство log2l+3 х2 < 1. 
Решение:
Ж
2х + 3 >1, 
х2 >0, 
х2 < 
2х + 3;
х > -1, 
х * 0,
(х - 
ЗХх + 1) < 0;
х
е (-1;0)U (0;3);
251

0 < 
2х + 3 < 1,
0 < 2х + 3 < I,
- 3 < 2х < -2,
-1,5 < х < -1,
2>
V
о
х 
*
0,
х 
*
0,
х 
*
0,
х2 > 2х + 3;
х2 - 2 х - 3 >0;
(х - 3)(х +1) > 0;
(х - 3)(х + 1) > 0;
Объединяем полученные решения.
О тве т: х е (—1,5; — 1) U (—1; 0) U (0; 3).
Метод интервалов
Для решения логарифмических неравенств, содержащих произведение или 
частное различных функций, можно применять метод интервалов.
При использовании данного метода полезно запомнить: 
loga х > 0, если положительные числа а и х  лежат “ по одну сторону от 
ёДиницы” ;
logfl х < 0 , если положительные числа а их лежат “ по разные стороны от 
единицы” .
log04(x + 3)
17. Задание: Решите неравенство--- 1
------ й 0.
2х -4
Решение:
1Ое° ‘ (Х + 3><0. 
ОДЗ: * > -3.
2х-4
Используем метод интервалов на области допустимых значений х: 
log0 4(х + 3) = ° ;
2х - 4 = 0; 
х+3 = 1; 
2х = 4;
х, = —2; 
х2 = 2.
?
2 
* X
I— 
О т в е т : х е (- 3 ; -2 ]U (2 ; «0-
252

18. 
Задание:
Решите неравенство ■
^ —--- > 0.
Решение:
log2(x -3 )
х1 -25
>0,
ОДЗ: х> 3.
х1 - 25
Используем метод интервалов:
log, (х -3 ) = 0; 
х - 3 = 1; 
*,= 4;
х - 25 = 0;
(х - 5)(х + 5) = 0; 
х2 =5, 
х, = -5 г ОДЗ.
О твет: х е (3; 4) U (5; ® ) .
19. Задание: Решите неравенство 
х 
• log0 
,(х + х +
1) 
> 
0
. 
Решение:
х- Iog0I(x2 + 
х 
+1) > 0, 
ОДЗ: 
х е Л .
Используем метод интервалов: 
х, 
= 0; log01(x2 + 
х 
+ 1) = 0; 
х: +х + 1 = 1;
х(х+1) = 0; 
------ 1------ о-- 1--
х2=0, 
Xj = - I.
-1
О твет:х< -1.
20. Задание: Решите неравенство 
+ ^ < 0.
log2(x -3)
Решение:
log3(x + 2)
<0,
ОДЗ:х>3.
log2(x -3)
Используем метод интервалов: 
log3(x + 2) = 0; 
log, (х - 3) = 0; 
х + 2 = 1; 
х-3 = 1;
х, = —1 « ОДЗ; х2 = 4.
Г
О твет: 3<х<4.
253

flog2(x + l)>2,
21. Задание: Решите систему неравенств < х - 7
—^ £ 0 .
Решение: 
1х+5
Решение систем неравенств
х + Г>4, 
Гх>3%
х-7 
х + 5
< 0;
—
[х+5
йО.
х + 5
О твет: х е (3; 7].
Г l°go.s(* + 16) < log05(х +2) -1, 
22. Задание: Решите систему неравенств J y ix
[з*-7 >
Решение: 
Щ
log0,5(* + 16)< log0S(x + 2) -1,
щ
х + 16 > 0, 
х+2 > О, 
х + 1б£2(х + 2), 
2х+7> 2;
х > -16, 
х > -2, 
х < 12, 
х > -2,5;
log0.5(* +16) < log05 
32г+7>32;
х > -2, 
х < 12.
О твет: х е (-2; 12]. 
23. Задание: Наймите натуральные значениях, удовлетворяющие системе
у IV ™
log4(x - 6 )2 
й,
1.
неравенств
254

Решение:
22г"' > 25,
2х-1 >5,
>32,
\2 J
(х - 6 )2 >0, •X Ф 6, 
-
log4(x - 6 ): < 1;
(х - 6 )2 < 4;
(х - 6 )2-4 ^0 ;
х > 3, 
х *
6
,
(х - 8)(лг - 4) < 0;
Натуральные числа, являющиеся элементами полученного решения: 4,5,7,8. 
О твет: {4; 5; 7; 8}.
24. Задание: Решите систему неравенств
Решение: 
х2 +4

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: