§1.  ТО Ж Д ЕСТВЕН Н Ы Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

3 
4
cosor =--, COS 
В
= —
5 
5
и — < а <л, л < В < — •
2 
2
6)cos(ar - /?),
• " 
.5* 
0 
4
sum = ---, cos В  = —
13 
51
(а ,/ ? - углы III четверти);
' б) /gar, /g(ar - /?) = 2, ain/? = -
6. 
a) cos(a
+ 
Р),
и — < В < л . 
2
7. а)
7Г 
Л
Л . Л  
COS-COS-- h Sin-Sin—■
30 
15 
30 
15 ■
. 
lit
4
л 
1л .
4
л '
sin— cos--
h
cos— sin —
30 
15 
30 
15
Щ  sin(45“ + a ) - cos(45° + or) 
sin(45° + or)+cos(45° + ar)’
tga+tg\ ^ - a
«)
\ 3
l-/go r/gfy-o r
г) tga • tg/3 + (tg a +tgfi)ctg(a + P ).
e)l+94/5sin2ar, cos or = — 
и 270° < a  < 360°;
г) 4 + 27cos2or, cosar = —;
. 
. a
a
d )sinar, sm— l-cos— = 1,4; 
2
. 
2
л 
2л 
Ал
е) cos— • cos—-■
>
cos— ;
9 
9 
9
ж ) sin 10* ■
sin 50’ • sin 70°; 
4sin 20° • sin 50° • sin 70°
з)
9. a)
(sin 80° 
sin(60° + ar)
f
a
\ . f ' „  
arY
l 15' + -
sin 
75°--
l
4,
) V 
4 
J
6)
l-4 sin 2ar-cos ar 
cos2or-sin2a
г)
d)-
e)
1 + ctg2a ■
 ctga 
tga + ctga
sin22ar-4sin2ar
sin 2ar + 4sin ar-4 
tg2a
tg4a - tg2a
ж)
(sinar)'1 + (/gar)"1;
з) 1 
^---r
1—sin-,| 2ar+ —r
258

Формулы
половинного
аргумента
Формулы преобразования 
суммы тригонометрических функций 
в произведение
10. a ) cos2— , cos dr = 0,4;
2
б ) sin—;
8
e )tg ] 12°30';
г ) sin* a  + cos4or, cos2a = — ;
13
. . , я
2 Ъп 
. 2 5л- 
2
 7л
а) sin' — + cos — + sin — + cos — ;
8 
8 
8 
8
, 
a
. a  
1 + cos— sin —
e) 
2 
2 .
. 
a
. a  
I - cos — sin —
2 
2
11. a ) sin 4a + cos4a ctg2a, tg2a = 4;
б ) sin4a -cos4a , lg — -0,5;
a  
_ „ 
e )sin a и cosa, lg — = -2,4,
90' <-<135*.
2
A
r
a ) - \
Ч
Н
'
\ + lg 2a
13.а)л/з ± tga;
б ) 1 + sin a + cosa;
в) tg9° - tg63' + tg81° - tg2T ;
/ 
\ 
/ 
\
. . 
cc ^ A  
. •»( a
_ „ ]
г)5ш ‘ — + 2p - s i n '---ip  ;
^2 
)  
v.2 
|
.. cos (a + 32°) + cos(a - 28°)
o )---------------------- ;
sin(88 - a )
е)3 - 4 sin 2| — - a ;
u
/
ж ) sin 47° + sin 6 Г - sin 11° - sin 25°;
1 2cos40° - cos 20°
з--------------- )
1
sin 20
14. a ) cos 2a - cos 3a - cos 4a + cos 5a;
6 ) sin 4a - sin 5a - sin 6a + sin 7a;
1 sin a + 3 sin 2a + sin 3a
e )--------------------
.
cos a  + 3 cos 2a + cos 3a
259

Формулы преобразования 
произведения тригонометрических 
функций в сумму
Вычисление значений 
тригонометрических функций 
от 
аркфункций
15.a)16sin— sin— , cosar =
2 
2 
4
л\ • 2 
• f л 
1 • f 71 
Л
б) sin ar + sinl — + ar 1
• sinl-- ar j;
в) sin 20° • sin 40° ■
sin 80";
г )  
2sin70°;
2sinl0“
2n 
4л 
6>r
o) cos---h cos---h cos— :
7 
7 
7
e) sin 4° - sin 86° - cos 2° • sin 6° +—sin 4°.
2
1 1
. ( . 5лЛ 
7 6 л )
16. a) arcsinl sin — I - arctg\ tg— j -
1 
8лЛ 
J
f  3;rY|
-arccos^cos— j + arcctg ctgy-—  JJ;
б) /g^arcsin^- H + jpl;
. 
I
( 2\ H
в) c o s |^ / r^ - - J— —J; 
s)sm (arctg(-3));
d) sin^2 arcsin
e)tg(^arcctg3j-
. 3
.1 2
ж ) arcsin — + arcsin— ;
5 
13
з) arctg2 + arctg3.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая триго­
нометрию. Причин этому несколько. Укажем две из них: большое количество 
формул, которые необходимо помнить, и отсутствие стандартных приемов 
преобразований тригонометрических выражений.
Формирование навыков тождественных преобразований тригонометри­
ческих выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется 
с помощью достаточно большого числа упражнений.
Выполнение преобразований тригонометрических выражений рекомен­
дуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана 
действий. Иногда могут быть полезны следующие рекомендации:
1. 
Если выражение содержит разные тригонометрические функции одного 
аргумента, то попробуйте все функции выразить через одну или две функции. 
При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус и коси­
нус этого же угла.
260

2. Если в выражение входят тригонометрические функции от разных аргу­
ментов, то попытайтесь свести все функции к одному аргументу.
3. Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригономет­
рической функции через кофункцию.
4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда 
помочь в преобразовании тригонометрического выражения.
5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и 
сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы 
двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезным предста­
вить в виде 1 = sin2а + cos2а .
6. Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить 
и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель 
отличен от нуля).
7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В про-
1 
V2 л/3 л/3 г- , 
стейших случаях он сводится к замене чисел —; — ; — ; — ; v 3 ; 1 тригоно­
метрическими функциями соответствующих углов.
8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то мож­
но обратиться к преобразованиям, понижающим степени.
9. Если данное выражение является однородным многочленом и-ой сте­
пени относительно sin а , cosar, то преобразование можно выполнять путем 
вынесения за скобки cos" а  или sin" а .
Характерная особенность преобразований тригонометрических выраже­
ний состоит в том, что к одному и тому же результату, как правило, можно 
прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от 
времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же 
выражения.
Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригоно­
метрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривает­
ся в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно 
быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях 
аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений опира­
ются на следующие основные формулы.
- Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
- Формулы приведения.
- Формулы сложения аргументов.
- Формулы двойного аргумента.
- Формулы половинного аргумента.
261

- Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических фун­
кций в произведение.
- Формулы преобразования произведения тригонометрических функций 
в сумму (разность).
Рассмотрим применение каждой из формул на конкретных примерах.
Применение формул 
для тригонометрических функций одного и того же аргумента
По значению одной из тригонометрических функций некоторого аргу­
мента можно, используя приведенные ниже формулы, найти значения всех 
остальных. Применение этих формул значительно сокращает и упрощает 
процесс тригонометрических преобразований.
sin2 а + cos2 а = 1;
sina (
я  
. 
Л  
cos а ( 
_v
tga =--- а * —(2п + 1), п 
е 
Z , ctga = -?---(а *яп, neZh
cos а \ 
2 
)  
sin а
tga • ctga = 1 fа *
п е z \
1 + tgza  = — -— | а Ф —(2я + 1), п е Z |;
cos а \ 
2 
)
1 + ctg2a  = 
— (а 
ф
 тт, n eZ \ 
sin а
В скобках указаны значения аргумента, при которых тождества имеют чис­
ловой смысл.
1. Задание: Вычислите:
а) 2sin2 а  + >/2 cosa + tga, если ctga = 1, 0 < а < —;
„
1 я  
.
о )cosa, если ctga = — , — < а< я;
2 2
. 
tga
в )  -----, если cosa = -0,4;
tga + ctga
v 3cosa + 5sina
г )  
, если tga = 1;
2 cos a - sin a
sina -cosa\ 
- 3
д) — ----- — , если ctga =
sin a-cos a
4
. sin2a-3cos2a
е) — j-----
5
» если tga = 3;
2sm a + cos a
ж ) sin a-cosa, если sina + cosa = a.
262

а) Так как ctga = 1, 0 < а < —, то а = — .
2 
4
Решение:
Г п г\2
л/2
ш
2sin2 а + л/2 cosar + tga = 2sin2 —+ \/2 cos— + tg— = 2- — + л/2--- + 1 =
4 
4 
4 
1 2 1 
2
= 1 + 1+1=3. 
у
В следующих заданиях выражают искомую функцию через данйую, ис­
пользуя тригонометрические формулы с учетом знака в указанном проме­
жутке, затем подставляют данное значение и производят вычисления. 
б) Учитывая, что а-угол II четверти, найдем sin ar, cos ar. •
11 ctg1a =
sin2ar
,1 =
1
• 
2
4 
sin ar = —;
5
2>/5
sin a = --- ;
5
cosa = ± vl - sin2 a ;
/1
4
cosa = -,1 —
V 
5
11
H
u
T
)
в) cosa = -0,4;
tga
tga
tg 'a
sin2a
tga + ctga 
tg a + _ L  
tga
tg2a + 1
sin2 a + cos2 a
= l- (- 0 ,4 )2 =0,84;
г ) tga = I;
3cos a
Ssina
3cosa + 5 sin a . cosa
+ -----
cosa _ 3 + Stga
3 + 5-1 .
2 cosa-sina
2cosa
sin a
2 -tg a
2-1
J
cosa
cosa
d)ctga =
sina- cosa
3
sin a cosa
sin3a
ctga
4 
_ 1
sin2a - co s2a
sin2 a
cos2 a
1- ctg 'a
1 - ’
sin2 a
sin2 a
16
= sin2 ar = 1 - cos2 a  =
263

e ) t g a
= 3;
s in a - 3 c o s 2 a
s i n 2 or 
3 c o s 2 a
c o s
a
c o s
a
tg2a
- 3 
9 - 3
2 s i n 2 a + c o s 2 a
2 s i n 2 a
c o s 2 a
2 / g 2a + l 
2 * 9 + 1 
19
c o s 2 or 
c o s 2 a
ж )
s i n a + c o s a =
a
;
( s i n a + c o s a ) 2 =
a 2;
s i n 2 a + c o s 2 a + 2 s i n a c o s a = a 2;
2 s i n a c o s a =
a 2
- 1 ;
a 2 - I
s i n a c o s a =?
2 .
З а д а н и е :
У п р о с т и т е :
1
----------- ч 
• 2 
i
( t g a + c t g a )
s m a
6 ) s i n 4 a + s i n 2 a • c o s 2 a + c o s 2 a ;
4 
s i n a + c o s a
<0— —
---------- ;
1 + 2 s i n a c o s a
Р е ш е н и е :
г )
s i n a
s i n a
1 - c o s a
1 + c o s a
d ) l +
1 - c o s 2 a +
t g 2a
* c o s 2 a
s i n 2 a
e ) s i n 6 a + c o s 6 a + 3 s i n 2 a • c o s 2 a .
я )
( ^ g a +
c t g a )
• s i n " a
s i n a * c o s a
s i n a
c o s a | 
. 2 
( s i n 2 a + c o s 2 a ) - s i n 2 a
------ + — —
• s i n a
v 
7
c o s a
s i n a
J
c o s a
s i n a
= c /g a ;
6 ) s i n 4 a + s i n 2 a • c o s 2 a + c o s 2 a = s i n 2 a • ( s i n 2 a + c o s 2 a ) + c o s 2 a =
= s i n 2 a + c o s 2 a = 1;
s in a + c o s a
s m a + c o s a
s i n a + c o s a
l + 2 s i n a * c o s a
s i n ~ a + c o s a
4-
2 s i n a c o s a
( s i n a + c o s a ) 2 
s i n a + c o s a
г)
s i n a
s i n a
s in a + s i n ‘a • c o s a — s i n a
4- 
s i n a * c o s a
2 s in a • c o s a
1 - c o s a
1 + c o s a
2 s i n a c o s a
2 c o s a
(1 - c o s a )(14- c o s a )
1 - c o s a
s i n 2 a
s i n a
= 2
c t g a ;
264

. , 
S in 'ОТ 
,
2
2
j 
sin a + — ;— cos a
~ . 2
.. 1 - cos a + tg a  • cos ar , . 
cos a 
_ , . 2sm a ,
0)1 +-------—--------= * +------ -- ------- ® l + ~ ~ l— = 3’
sin 
a
sin a
sin 
a
e)sinr,a + cos6or + 3sin2ar • cos2 or = (sin2ar)3 + (cos2ar)3 +3sin2or-cos2a =
= (sin2 a + cos2ar)(sin4ar-sin: ar • cos2 ar + cosJ ar) + 3sin2ar • cos2 
a
=
= sin4 a + 2sin2ar-cos2ar + cos4a = (sin2 ar + cos2 ar)2 = 1.
Применение формул приведения
Формулы приведения и формулы периодичности тригонометрических 
функций позволяют выразить значение тригонометрической функции угла 
любой величины через тригонометрические функции острого угла ar.
Для того чтобы усвоить все формулы приведения, нет необходимости их 
запоминать, достаточно уяснить два вопроса: какой знак и какое название будет 
иметь функция.
1. Какой знак? Перед приведенной функцией ставится знак, который имеет 
исходная функция, если считать, что а-угол I четверти.
2. Какое название? Для углов л ± а  и 2л ± а  название тригонометричес­
кой функции сохраняется. Для углов — ± а и -j-±ar название функции меня­
ется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
3. Задание: Вычислите:
a)cos| -11-л J; 
в) cos 105° -sin 195” + sin(-135°);
. sin420°-sin30°-cos750°
37 л 
г)
6) cos л - 2sin---; 
sin 570° • sin 1230° • cos 660°
6
d) /gl0° • /g20° • tg30° • tg40° •...■ /g80°.
Решение:
= cos 1
3 J! 
\
л )
Л
-cos—
з )~
3
„ 1 )
(34 ^ 
Г , 
, 4 ^ 
(4 л )
1 l —л = cos — л = cos 2л-5 +—л = cos — =
3 
J 
[ з J
[
3 
J 
\ 3
J
6) cos л — 2 sin 
= - I -2sinf 6л + — | = -1 -2sin— = — 1 — 2 • — = —2;
6
{ 
6
) 
6
 
2
e)cosl05” -sinl95° +sin(-135°) = cosl05° -sinl95° -sinl35” =
= cos(90° + 15°)-sin(180° +15°)-sin(90° + 45”) = -sin 15° + sin 15° - cos 45° =
= _V2.
2 ’
265

. sin420*-sin30*-cos750* _
sin(360* +60*)-sin30*-cos(2-360‘ +30*) 
г sin570* sin 1230* cos660* " sin(360* + 210*)sin(3-360* + 150*)cos(360* +300') “
sin 60'-sin 30*-cos 30°______________ sin 60" - sin 30° • cos 30*__________
sin210* -sin 150* -cos300* 
sin(180‘ + 30’) sin(I80* -30*) cos(270* +30") 
sin60*-sin30* cos30* 
sin60*-cos30* 
_ 
cos230' 
r ■
 
- (Jl)1 - 
3
- 
(-sin30*)-sin30* - sin 30" 
sin2 30* 
sin2 30° 
~C ^
d)tg\0° ■
 tg20° ■
 tg30° tg 4 0 °-...tg W =
= tgl 
0° 
• tg20° • tg30° • tg40° ■
 ctg40° • ctg30° • ctg20‘ • ctgl 
0’ 
= 1
.
4. 
Задание: Упростите:
a)sin(90° -a)-cos(180° - a ) + /g(180° -a)-c6)
sin(a - я ) с Ц | +a Jcos(-a)
cos(a - 2n)tg(—a - n)
cos2 (180’ + a )
e)sin(180° - a )-
г)
cos(a-270°) 
sin3(a - 270°)cos(360° - a )
tg\a - 90° )cos (a - 270°)
Решение:
a) 
sin(90° - a ) - cos(l 80° - a ) +
tg( 1
80° - a ) - 
ctg(
270° + or) = cosa - (—cosar)
+ 
+ 
(-tg a) - (-tg a) 
= cosa + cosa - 
tga 
+ 
tga 
— 
2
cos a;
sin(a - &)ctg^j£ + ajcos(-a) - sin(^ - a)c/g ^ + a jcos a
^ 
cos(a - 2n)tg(-a - n) 
cos(
2
;r -a)(-tg(jr+ a))
- sin a • (-tga) • cosa
= -------- ------- m -sin a;
cosa • (-tga)
\ ■
t\ on° 
4
cos2(180° +a ) 
. 
. cos2(180°+a)
e)sin(180 - a ) ----- 1------ - = sin(180- a ) ----- 1------ - =
cos(a - 270°) 
cos(270° - a )
cos
2
a 
cos2a sin
2
a+cos2a
1
= sinar-------- = sinar +----- ------------- = ---- ;
(-sina) 
sina 
sina 
sina
. sin3(a-270°)cos(360°-a) -sin3(270°-a)cos(360° - a ) 
cos’a cosa
tg (a -90°)cosJ(a -270°) 
-tg (90°-a)cosJ(270°-a) 
-ccos4 a
■
= cosa. 
cos' a . 3 
— i— sin a
sin a
266

Любую тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов 
можно выразить через тригонометрические функции этих углов.
sin(a ± Р ) = sin а  • cos р ± cos а  • sin Р\ 
cos (а ± р ) = cosa • cos Р  + sin а • sin P\
tg(a ± P ) — —
— (a, p ,a + p — + яп, n e Z);
I + tga- tgP 
2
ctg(a ± p)= Ct^a 
(a ,P ,a + P *m , n& Z).
ctgP ± ctga
5. Задание: Вычислите:
a) sin 15°; 
6) cos 105°; 
e)tg75°.
Решение:
a) sin 15° = sin(45° - 30s ) = sin 45° • cos 30° - cos 45° • sin 30' =
2 
2 
2 2 
4
Применение формул сложения аргументов
6) cos 105° = cos(60° +45*) = cos60° - cos45° - sin 60° - sin 45° =
. 1 . й - й Л . й „ - я ъ
2 2 
2 
2 
4
. S
Щ
Я I /g(45° +30) = 
------ 1 ~ 2 ± 4 , Н
И
I
1 - /g45° • tg30° 
3->/3 
6
6
6. Задание: Вычислите:
. 
- 
а. 
3 
„ 4
 
л- 
Ъп
а) coslar + В), 
если cosa = — , cos р = — и — < а <п, ж < р < — ;
5 
5 
2 
2
5 
4
б)cos(a- Р ), если sina = ——, cosр  = - — (а ,Р  - углы III четверти);
3 я
п
в) tga, если tg(a - р ) = 2, sin р = - и — < р <я.
Решение:
а) Вычислим sin а  и sin р  с учетом четверти, которой принадлежат 
углы аи р.
sina = Vl-cos2а = ^ - ~ = j ; sin/? = —д/l — cos2р =-^|l-— ■
= -—:
267

12 12 
24 
~ 25 25 “ 25' '
б) 
Вычислим cos а и sin /? с учетом четверти, которой принадлежат 
углы огиД
cos(ar + 
P )
= cosar • cos/? - sinar • sin 
P
= 
- J -I - —J - 
—
I - - J =
г 
= 
— л/l — sin2 or 
= 
- 11 --^r- = 
sin 
/3
= —J l
- 
cos2 
Д 
= 
- J 
1- 
—
=
V 
169 
13 
^ 
V 
V 
25 
5
_ 48 ]5 = 63 
~ 65 + 65 65 ‘
в) Вычислим tg Д
( J l \
r i V f
[
13 J 1 s j +lt 
13
J I 1
_ 
г,-- ГТ Т
, 9
4
J sin Д Ъ ( 4\ 
3
cos P  = -л/l - sin P  = - J l --- - — ; 
(g/5 =-- — = — -r - — =-- .
V 
V 
25 
5 
cos P  5 у 5 
J
4
Вычислим tg a.
tg(a-P) = 2; 
tga-tgp
\+tgatgp
3
4
1
+ /gar• I
= 2;
/ga-| 
- 7
= 2;
3
/gar + -
4_ _
, 3 
l--/gar 
4
= 2;
3 I 3 
/gar + - = 2 --/ga;
f t
,1 ’ 
25e1
rgar = - .
268

1. Задание: Упростите:
л 
л 
. л . л 
. - , А л
cos— cos— Hsin— sin— 
tga + tgi — a
ал 
30___ 15____ 30___ 15_. 
g) 
U
' . 1л 
4л 
1л . 4я ’ 
' 
/'л-
sm— cos— + cos— sin—
i - tea ■
 te\ — - a
30 
15 
30 
15 
8 Ц Ш
sin(45° + a ) - cos(45° + or) _ 
гу /ga • tgp + (tga + tgp)ctg(a + /?).
sin(45° + a ) + cos(45° + a ) *
Решение:
Л
Л
. Л
Л  
*
cos— cos— + sin— sin— 
cos—
дч 
30 
15 
30 
15 |
130 15j 
___H
|
а) .1 л  
4ж 
1л . 4л 
. (In 4л ) 
. л 
30 ’ 
sin— cos— + COS— sin--
sin — + —
sin —
30 
15 
30 
15 
^ 30 
15 J
2
_ sin(45“ + ar)-cos(45° +ar) sin 45° cosar + cos 45° sina - cos 45° cosa + sin 45° sin a
б )  
-------- —--------------------------
sin(45" + a ) + cos(45° + a) sin 45° cosar + cos 45° sin ar + cos 45° cosar - sin 45° sin ar
V2 . 
V2 .
— sina +— sinar 
9
 
о 
sinar
~ 
i
~ tga\
V 2 
V2 
cos a
— cosa + — cosa
2 
2
J 71 
ш Щ Ш т ~ а ,
e )------ V
— — = tg\ a + T - a I = tg— = f i ;
l- /g a - Ц j - a
г) tga ■
 tgP + (tga + tgP)ctg(a + P ) = tga • tgp + 
+'gffX? lSa Щ Р) I
tg a+tgp
= tga tgp + \~ tga tgp = 1.
Применение формул двойного аргумента
Следующие формулы выражают тригонометрические функции произволь­
ного угла через тригонометрические функции угла в два раза меньшего: 
sin 2а = 2 sin а ■
cos от; 
cos2а = cos2 а - sin2 а = 2cos2 а - 1 = 1 - 2sin2 а;
2/га 
(
л 
л 
, 
, 
J\
0
? 2а = — 2-т— а * — + яи, a ±— + як, п,к е Z ;
\-tg2a [ 2
 
4 
)
cte1 а
 -1 
(
лт
 
' ^
ctg2a = — ---- а * — , m е Z
2 
ctga 
I
2 J
269

v . ~ 
. 
20 
я
a) sin 2а, если sinar = — и — < а < л:
29 
2
• -1 
3 
Ъл
ojsin2а, если tga = — и л < а < — :
4 
2
в) 1 + 9л/5 sin 2ar, если cosar = — и 270° < ar < 360“
3
2
г ) 4 + 27cos2а , если cosar = —;
3
„ . 
. а
а
a) sinar, если sin — + cos — = 1,4;
2
2
. я г
2л 
4л
е) cos — • cos---cos— ;
9 
9 
9
ж ) sin 10° - sin 50° - sin 70°;
4sin20° - sin 50° - sin 70°
8. 
Задание:
Вычислите:
з)
sin 80°
Решение:
a) Учитывая, что ar- угол II четверти, получаем:
cosar = -yfl- sin* ar = -,|1 -
20 Y
31 
29J “ 29’
• - 
. 
. 20 f 2 П
840
sin 2a = 2 sinar • cosar = 2 --- ---- = ----- .
29 I 29 J
841
6) Найдем cos агиз равенства:
\+tg2a = — L - ; 
i + |4 | =.
3 '2
2
’
4 ) 
cos a
u
3 л 
/16 
4
Но л  < ar < — , поэтому cosar = -./— = — ;
R----
2
 
, 16 
3
sinar = -VI - cos a = - J 1--- = — ;
V 
25 
5
sin 2a = 2 sin ar-cosar = 2-| — — | - Г- — | = — .
I 5 j t 5 ) 
25
e )l + 9>/5sin2ar = l + 18>/5sina - cosar.
Т.к. угол ar e IV четверти, то sin a = —\/l-cos2ar

1 -н 9л/5 sin 2
а
= 1 + 18л/5 -
3 , 3
« . 
- . а
a
d)sm a = 2sm— -cos—;

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: