§5. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦ ИИ И Е Е ВЫ ЧИ С Л ЕН И Е

в \9х2 §Ш13х+1 b
' > г г — -
б.а) I----1------- сЬс, 
в) И х -2х + \ dx\
о 
Здг + 1 
5
б) J-
dxr, 
г) J(|or +1 + (jc|)d!r.
- r, 
rl — 2дг , 
#
7. При каком а выполнено равенство J ---- ах = — .
8. Решите неравенство: \х2 -х-12 - Jdz < х [cos 2xdx.
О 
о
ь
9. Найдите все числа b> 1, для которых J(6 - 4x)dx >6-5b .
I
10. Найдите все А я В, при которых / (* ) = A sin ях + В удовлетворяет условиям:
2
/ '(!) = 2, \f(x)dx = 4.
Первообразная функции и ее вычисление
До настоящего момента мы рассматривали в этом разделе только задания, 
связанные с нахождением производной известной функции.
Но нередко возникает обратная задача: по известной производной найти 
исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстанов­
ление функций по их производным, называется интегральным исчислением.
Определение. Функция F(x ), заданная на отрезке [а; 6], называется перво­
образной для функцииДх), заданной на том же отрезке, если выполнено условие:
Г (х ) = / (* ).
Операция нахождения первообразной по заданной функции называется 
интегрированием.
Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции 
дифференцирования.
Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции 
дифференцирования) многозначна. Если F  (х) - первообразная для функции 
/ (х) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообраз­
ных для /(х ) на этом промежутке и все они имеют вид F(x ) + С, где С - произ­
вольная постоянная.
Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно полу­
чить из графика некоторой из них сд вигом вдоль оси Оу. Выборам постоянной
443

dx
. x 
_
= arcsin — + С
С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через за­
данную точку, 
т.е. постоянная 
С  
удовлетворяла уравнению:
F(x0) + С=>»0.
Множество всех первообразных F(x ) + С для функции/(х) на некотором 
промежутке называется 
неопределенным интегралом 
и обозначается:
|f(x)dx = F(x)+C.
Ниже приведена таблица основных интегралов:
Гс6с = х+С 
\axdx=-2—+C
J 
J 
In 
a
JxflEr = y + C
Jsinxc6e = -cosx+C
x”+* 
Щ В
Jx "A = —^
y
+C, (# i*-l) 
Jcos 
xdx 
= sin 
jc
+ С
f— = 
lnlxl
+С  
f ^X- 
= 
tgx+C
J x 
J cos x 
f
rdx 
1 _ 
t dx 
-
Х- j- — +C 
J-T-j— = -ctgx+C
J X 
X 
J sm X
f-?= = 2jx + С 
f- J=
fexA = e*+C 
f- T ~ T = ~ carctg— + C
J 
J x + a a
a
Чтобы найти неопределенный интеграл (т.е. множество первообразных 
для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это час­
то удаётся сделать путем преобразования подынтегрального выражения и 
применения 
основных правил интегрирования
:
1. \kf(x)dx = k\f{x)dx, где к—постоянная;
2- /(/(*) ± g(x))dx = jf(x)dx ± \g{x)dx\
3. 
если J/(x)dc = F(x)+ C , то jf(kx+b)dx= ^-F(Ax+6)+C, гае к и Ь — 
постоянные, к *  0.
1. Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:
а )Я х ) = - - 4 Т + \ + У , . г) f(x ) 
= 2 co sfj-^ l+
у 3- - + ■
-у - у ; 
х 4х2 х 
\4 3)  V5x-2 (3-2х)
*)/ (х ) = |+ 8 ^ ; 
д )/(х) = - 1 - + ^ ;
3 
7х+1 Vx
в) 
f{x ) 
= е2* 
+3(х+1)2 
е) 
/(х ) 
= 
xjx+l|.
sm Зх 
г 
1
446

«)/<*)=--тЦ-+А+3; 
^(*)= jf---V+ -V+3V
™ 
х 4х 
х
\ х 4х 
х 
)
Применяя 
последовательно правила интегрирования 2) и 1), получим:
4f —
f ^r + fx-3A + 3 fflhc = 4 lnlxl +
—г-+ Зх+С.
J i
4 1? J
J 
1
1
4х 2х2
О твет: F (x ) = 41п|х)+-— — г +Зх + С.
4х 2х
£>/<*) = |+8*£;
8
F(x)=  if —+8л/х1с£с = - fxA+8 (x7d6t = - — + 8 ~ + C = ^+ 7xVx + C. 
^ 3
у 
3 J 
J 
3 2 
о 
б
7
О тве т: F(x ) = ^— + 7xlfx +С.
6
в) / (х )- * 21 +.3(х+1)2 — т у г - •
sin Зх
Применяем правила 2), 1), и 3):
F(x)= J / (x ) * = Je2x^ + 3 J(x + l)2^ - 3
=
= ig 2r + 3(^ - ^ - +3~c/g3x+C= i e 2l+(x+l)3+c/g3x+C.
О тве т: F (x ) - —eu + (x+ l)3 + ctg3x+C.
г) /w=2co{!
F(x) = \f(x)dx = 2 Jcoef^ - j j * + 3 J
+ J(3 “ 2х) 3‘йг =
. 2, . Ц
£ . | ) +3. 1
. ^
+1 Ь М 1 .(4 )+ с.
O m .e«: /rW - 6 s in [ | - l] +|V 5 ^ 2
+ C.
Решение:

Я х ) = -^ ~- + - L ;
7дг + 1 Vx
F(x) = \f(x)dx = [—-—dx+ Г * =
J 
J 7x + l 
J \Jx
2
= 3^7x + l +1* 3<& = 3‘ y ,nl7jc + 1l + :y + C = ^ln|7x + l| + | V ? + C.
3
О твет: F(x) = ~ ln|7x + l| + -VxT + C.
7 
1 2
/ (x ) = x|x + l|.
По определению модуля:
r t \ 
\ x 2 + x , x > - l ,
/ W = j
2 
, 
F(X) =
I — 
X - x , x < - \ \
x 3 
x 2
T +T +c" x>~‘•
x 3 
X 2
- T - T + C , r i- 1 .
Поскольку F  
( * )
непрерывна на R, 
t o
F (-
1) = lim
F ( x )
, а значит: 
l i
i t
»->-!
- H +C' =H +C 
5 ^ 4
О твет: F(x) =
X
X
I
Т*Т~з •*i ~l
x3 x2 
- у - у + С . , * - ! .
2. Задание: Найдите:
e)KHb 
e)Jidb
ЛС) |
x +4
etc
Решение. 
\  
V 4 *+ l+ y4 i- 2 ‘
a)
KMb
448

K*+^ =(2+^ = 2^ +^^ = ^+iT+c=2jr+7+c
X 3
О твет: 2х +— + С.
6
_ 
г cos2x 
,
б) J — г - Л ;
J l-sinx
fl- sin
2
Jt , 
f(l - sin x)(l + sin x ), 
r„
[---—— dx = J-------
7
----- dx = 
(1
+ sinx)abr = x-cosx+C.
J 
1
-sinx 
J 
1
-sinx 
J
О тве т: x - cos x + C.
. f
dx
в) J------- ;
J l+cosx
r dx 
г dx 
1
r dx 
1
. 
x _ 
x _
I ----- 1 J ----- t = t J --- ~-'Z'2 -tg — + C = tg—+C.
J l + cosx 
J W
£ 
cos2
 — I
2
 
2
_
* 
2 
2 
О твет: 
tg — + C.
vS'jM*
J
X
К И И
p * = 1 - й й * | * =
J 
X 
J 
X 
J X 
J 
X 
J X 
J X 
1 Vx J
= lnjx) + 4-Tx + x + С.
О твет: ln|xj + 4vx + x + С.
rcos
2
x+2 cos x - 3 .
d)
dr,
J 
3 + cosx
rcos
2
x + 
2
cosx ~ 3^ = Hcosx + 3Xcosx-l)A = f(cosx_ l)dx = sinjc_ x + C.
* 
3+cosx 
1 
3 + cosx 
1
О тве т: sinx-x + C. 
г x*dx
e )f?T 7 :
■*x2+4 
•* 
x +4 
^x +4 
J x +4
I f(x
2
— 4)dx + 16 f— — = —— 4x +16 
la r c t g ^
+ C.
J 
J x +4 
3 
2
2
x
3
x 
О т в е т :--- 4x + 8 
a rctg — 
+ C.
3
449
Преобразовав подынтегральное выражение, получим:

ж ) J
dx
л/4х + 1 + -j4x-2
Умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения на со­
пряженное знаменателю, получим:
f -jAx+l --j4x-2 
[л/4х + 1 - y/4x^2 j  
1 [ ,л 
tv; ,
----5--- Л=з^+,,Л- 
j
- 'r ( 4 ,- 2 ) ^ a . i. < W . i. I. y £ z 2 i> c =
3 J 
3 4
3 
3 4
3
2 
2
BE^(л/(4* +1)3 - J(4 x - 2 ?)+ C .
lo
Ответ: — (V(4x + 1)3 - V(4jc-2)j )+ C.
18
3. 
Задание: Для функции /(x) найдите первообразную, 
1
рафик которой 
проходит через точку А:
я)/ (х ) = cosx cosSx, Л| -—
\ 
б )/(х ) = бх2---J — , Л(3;55).
I. 4 24/
Решение:
а) /(х) = cosx-cos 5х.
Найдем обпшй вид первообразной для функции
Jcos х cos 5xdx = ^ |(cos бх + cos 4x)dx = ^ jcos 6xdx+^ jcos 4xcfcc =
= — sin6x+-sin4x+C.
12 
8
Для того, чтобы из всех найденных первообразных выбрать ту, которая 
проходит через заданную точку, решим уравнение: F(x0) + С=у0.
1 
. (  ЗяЛ \ 
„  
1
- ^ - T J +-sm(- .)+ C = - ;
— +С = — ;
12 
24
С ~ “ IT- 
Ответ: Fix) = — sin бх+— sin 4х— —.
24 
12 
8 
24
б) f(x ) = 6x2-
450
6,12-—

Первообразная проходит через точку Л (3; 55), значит
2-3’ +^
| +С = 55;
55+С = 55; 
О твет: F(x) = 2х3 + J2 - - .
С = 0. §
! ^ . 
Определенный интеграл 
Формула Ньютона - Лейбница:
Если функция / (* ) непрерывна на отрезке [а; 6], то определенный инте­
грал от этой функции на данном отрезке равен приращению любой ее перво­
образной F(x ) на этом отрезке:
\f(x)dx = F(x)\b
a = F (b )- F (a ).
4. Задание. Вычислите:
a) jx ■
 \fxdx-, 
б) J — .
л 
I
^ ) = 6 j ^ - i f ^ = 6 . ^ - l 4 - 3 ) . 2 ^ + C = 2 , 4 ^ + C.
Решение:
Я
I
= —-128 i 54-.
7 
7 
7 
7
а) jx ■ \fxdx
 = |
x*dx
 =
О 
0 
—
Ответ: 54—.
7
б)
J — = ln llji = ln e - ln - = 2.
| X 
е 
е
в
О твет: 2.
Основные правила вычисления определенных интегралов:
ь 
ь
1. 
Jkf(x)dx
 = 
к
 J/(x)
к - const.
а 
а
ь 
ь 
ь
2. J( / ( * ) + 
g(x))dx
 = 
\f(x )d x + \g(x)dx.
431