х, = 0 , х 2 = 2, Xj = - 1

6 )f(x ) = x2 + — ; 
1б 
2х3 -16
* 
/ (х ) = 2х— г =--- ;— ;
D (f) = 
(-
00
; 0) U (0; оо). 
х2 
х2
/'(дс) = 0, 2х3 -16 = 0;
jg 
Найдем производную:
х = 2.
f\x) не существует в точке х = О, но данная точка не критическая, т.к. не 
принадлежит D (/).
О твет: х =2.
в) /(х ) = у-61 п(х-1);
£>(/) = 0 ;°°);
1 
1 
6 
х2 -х-6
Г (х ) = Т 2х- б .—
.(х-1У = х - — Г — —
;
f'(x ) = 0, х2 - х - 6 = 0;
х, = 3, х2 = -2 е D(f)- 
/'(дс) не существует в точке х = 1 в £4/) • 
О твет: х=3.
г) f(x ) - -Jx2-бх;
D (f) = (-oo;0]U[6;oo>
1 
, 
2дс-6 
х-3
/ ( * ) * —?===•(-* -бх) =■
. ■
.. ...... 
ИЛ у 
I------
j 
' - 
9
2л/х2-6х 
2
л
/
х
-бх 
л/х -бх
/ '(х ) = 0, х - 3 = 0;
х = 3 «£>(/).
/'(х ) не существует в точкахх=0 их=6, но они не являются внутренними 
точками области определения.
О твет: функция не имеет критических точек.
д) /(х ) = х3 + 3|xJ; 
D (f) = (—°о; оо).
Функция /(х ) = х3 + 3|х| дифференцируема всюду, кроме точки х = 0, т.е. 
данная точка является критической.
По определению модуля:
Гх3 +3х, х>0,
[х* - Зх, х < 0.
Другие критические точки найдем, продифференцировав функцию и при­
равняв производную к нулю (с учетом неравенств):
426
/ (* )-

/'(*)=
Зх2 +3, 
х
> О,
(Зх - 3, 
jc
< О;
О зх2+з 
= о; 
2
) 3jc2—з = о;
решений нет. 
х, = 1 > О - не удовлетворяет условию,
х2=-1.
О тве т: {-1;0}.
е) Л х) = sin 2х + 6 sin х - 2х;
D (f) = (-оо; оо);
/ ’(х) = 2cos2x + 6cosx-2; 
f'(x ) 
= 0, 2cos2x + 6cosx-2 = 0; 
cos2x + 3cosx-l = 0;
(2cosz x - l) + 3cosx-l = 0;
2 cos2 x + 3 cos x - 2 = 0;
cos x, = -2 - решений нет, т.к. | cos х | < 1,
1 
л  
_ . 
. 
_
cosx, = —, х, = ±— + 2як, к 6 Z.
2 2 
2 
3
Найдем критические точки, принадлежащие интервалу 0 <х < 2лг
к = 0:
* = - j е[о,2я\
к= 1:
х = — + 2л = — g [0;2^rl 
3 
3 
| 
*
л
5л
х = — + 2тт = — ,
3 
3
Ответ:
л  5яг1
T ’T j
2. Задание: Найдите интервалы возрастания и убывания функции: 
■ 1 + 4х
о) f(x ) =
б ) Л х ) = 
Решение:
а) Л х ) =
2х-3
(х + 2)2 
х -1
1 + 4х 
2 х - 3 ’
ч - 
х 
1пЗ
«) Л х ) =—
;
lnx 
3
г ) Л * ) = 2ех(х 1+2х2).
1 )Д Л
в * #
427

3) / ’(•*) всюду отрицательна, значит,/(х) монотонно убывает на £> (/). 
О т в е т : функция убывает на (- °о; 1,5)U (l,5; оо).
б) f(x ) = 
+ 2)2 = * 2+4х + 4 . 
х-1 
х-1
1) £>(/) = (-°о; 1)и(1;оо>
7ч /•>/ ..ч _ (£ + 4х + 4У(х -1) - (х - 1У(х2 + 4х + 4)
(х-1)2
(2х + 4)(х- 1 )- (х2 + 4х + 4) 
х2 -2х-8 
(х-1)2 
Г (х-1)2 ’
/ '(х ) = 0, 
х2 -2х-8 = 0;
х, =4, х2 = -2.
/ '(х ) не существует в точке х = 1, но критической данная точка не будет, 
так как не принадлежит области определения.
3 )/'(5 )> 0 ;
/ ’(2) < 0; 
/ '(*) 
+ 
_
_
+
/ '(0 ) < 0; 
---------•-------- о---------- •---------- ►
Л - з » о . 
**» ^
-2 
\
1 
\
4 
^
*
О тве т: функция возрастает на (- оо; - 2]U [4; оо), убывает на [- 2; l)U (l; 4]. 
. ,, х 
х 
1пЗ
/ (* ) = ------—;
Inx 
3
(2х-3)2 
(2х-3)2 
(2 х - З)2'
!)£> (/):
х > 0, Гх > 0, 
1пх * 0;[х 1;
2) f\ x ) = 
(*У 1п*-(1п*У* 
_ f M j = hlX~ x 'X 
In* -1
ln2x 
I 3 J
ln2x 
ln2x
/ '(x ) = 0, 
lnx-1 = 0, 
x = e. 
f\ x ) не существует в точке х = 1 г £>(/).
-
»ч 
2 1 n e - l
1

О т в е т : функция возрастает на [е; оо), убывает на (0; 1) U (l; е].
г) f(x ) = 2ex(x3+2х2);
1 )/ ?(/ ) = (-«>;°о);
2 )
/ '(х ) = 
2 (е *
- 
(jc 3 + 2 х 2)
+ (Зх2 +4х)-ех) = 2ех(х3 +5х2 + 4х);
f'(x ) = 0, 2ех(х3 +5х2 + 4х) = 0;
ех *0 , х(х2 + 5х + 4) = 0;
х, =0, х2 = -4, х3 = -1.
3) П А  
-
+ 
-
+
/(х ) 
\
^ ^
^
\
® 
X
*
О твет: функция возрастает на [- 4; - l]lj [О; оо), убывает на (- оо; - 4]U [-1; О].
Исследование функции на экстремум
Точка х0 из области определения функции/(х) называется точкой макси­
мума (минимума) данной функции, если существует такая окрестность точки 
х0, что для всех х *  х0 из указанной окрестности выполняется неравенство 
/(х ) < /(х 0) (/ (х ) > Д х0) ) .
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максиму­
мом (минимумом) этой функции:
ш ах/(х) = /(х 0) (m in/(x) = /(x 0)).
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстре­
мума.
Для нахождения точек экстремума функции необходимо:
1) Найти производную и критические точки функции.
2 )
Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки.
Если при переходе (слева направо) через критическую точку (в которой
функция определена) производная меняет знак с “ +” на 
то данная точка 
является точкой максимума.
Если при переходе (слева направо) через критическую тгчку (в которой 
функция определена) производная меняет знак с 
на “+” , ю данная точка 
является точкой минимума.
Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, 
то данная точка не является точкой экстремума рассматриваемой функции.

Сказанное выше можно записать в виде таблицы:
(х0 -<5;х0)
(х0; х0 + S )
Геометрическая иллюстрация
Вывод
/ '(х ) = 0
+
—
r j $
m
ха
max
/'(■*) = 0
+
х0
min
/ '(х ) = 0
+
+
-т¥
,
Хо
нет
S
j'
1
'н
'
II о
" п
.
*0
нет
f \ x )
не сущ.
+
Х0
шах
П х )  
не сущ.
+
+
*0
нет
Г ( х )  
не сущ.
+
----- 1---
*0
min
3. Задание: Найдите экстремумы функции:
a )
/ (* ) = (х + 1)2(х -2 )2; 
б)
/(дс) 
= 
в) 
Д х ) = -|4х + х2
4 х 
1
Решение:
а) /(х ) = (х +1)2(х -2 )2 =(х2 -х -2 )2;
1) 
D ( f ) -
(- °о ; со);
/ '(х ) = 2(х2 - х - 2) • (х2 - х - 2)' = 2(х2 - х - 2) • (2х -1);
/ '(х ) = 0, 
2(х2 - х - 2)(2х -1) = 0;
1 
1 
х, = 2, х2 = -1, х3 = —.
430

/С*) 
\
-* 
У *  
\
2 
X
* 
min 
2 
min 
%
m ax
О т в е т : х = -1, х = 2 - точки минимума;
1
х = — - точка максимума.
х 4 
б )/ (* )= — — ;
4 X
1 )Ж / ) = Н °;0 )и (0 ;о о ); 
j f; . 
1 4
16-х2 
4 х 
4х 
/ '(х ) = 0, 
16-х2 =0;
хи =+4.
/ '(х ) не существует в точке х = 0 г / ?(/ ).
?
/ W ,‘ г
+
+ 
-
/ W
\
 
*
/ » “
*
\
 
*
4 min 
разрыв 
max 
4
О т в е т : х = -4 - точка минимума; 
х = 4 - точка максимума.
в ) / (
х
) = - |4
х
+ 
х
2|;
1) 
D(f)
=(-«s°p).
Функция / (х ) = —|4х + х2 дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и 
х =-4, данные точки являются критическими.
|
-(4х + х2), х< -4 ы х> 0, 
; 
Г-4-2х, х с - 4 и х> 0,
/00=4
4х + х , - 4 < х < 0; 
1
4 + 2х, - 4 < х < 0;
/ '(х ) = 0: -4 - 2х = 0; 
4 + 2х = 0;
х = -2 > -4 - не удовлетворяет условию. 
х = -2 е (- 4; 0).
3
/ м
+
+
-
/ (* ) 
X
■* 
\
 
у
0 
\
х
max 
min 
max
О т в е т : х = -4их = 0 - точки максимума; 
х = -2 - точка минимума.
2) / to
+ 
~
+
431

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции 
на заданном промежутке
Непрерывная на отрезке функция всегда имеет на этом отрезке наиболь­
шее и наименьшее значения. Решение задачи отыскания наибольших и наи­
меньших значений функции на отрезке [а; Ь\ строится по следующей схеме:
1) Вычислить производную функции и найти критические точки.
2) Отбросить критические точки, не принадлежащие отрезку [а; Ь].
3) Вычислить значения функции в оставшихся критических точках и на 
концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее
4 .Задание: Найдите наименьшее значение функции fix ) на отрезке “
если / (
jc
) = 
jc
3 - 
7,5 jc2 + 18jc 
+ 
cos
-- л/з
0;-
2
+ cos 
jc
+ Sin JC .
1
Решение:
f ix ) 
—
jc3 
-7,5x2 + 
18jc 
+ cos--
>/3 
+ cos2 jc + sin2 
jc 
=jc3 
- 7 , 5 j c 2 + 1 8 jc - 1
—;
1), 2) £>(/) = (-oo;oo); 
f i x )  = 
3jc2 
-
1 5jc 
+
1
8; 
f i x ) — 
0, 
3 (jc2 - 5jc + 6 )
= 
0;
jc, = 
2 , 
x2 = 
3 й
Ц
3) Д 2 ) = 23-7,5-22 +18-2-1,5 = 12,5; 
Д 0 ) = -1,5;
+ 18-—— — = 12,25.
2 2
О тве т: min/(jc) = /(0)=-1,5.
In2 JC
5. Задание. Найдите наибольшее значение функции f ix ) = --- на отрезке
х
Решение:
ft \ 
l” 2 х
f ix ) = --- ;
х
l ) , 2 ) D ( / ) = (0;oo);
_ 2 In 
jc
— In2 
jc
_ lnjc(2-lnjc)
J (X ) = 
- 
- 
;
X 
X
f i x ) = 0, In jc(2 - In jc) = 0 ;'
1 , 
e
In 
jc
= 0, 
2-lnjc = 0;
jc
= 1,
432

3 )/
= е;
f(X
) = ~ ~ i 0;
f(e 2) =
41n2 e 
4
О твет max /(x ) = /l ~ \ ~ e-
6. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
2х + 22-1
/ ( jc ) =
-------на отрезке [-1; 2].
In 2 
Решение:

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: