§2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Определение. Производной функции / в точке 
х0 
называется предел отно­
шения приращения функции 
Дf
=
f ( x 0
+ 
Ах)- / ( х 0) 
к приращению аргумен­
та 
Ах
при стремлении 
Ах
к нулю.
№
) =
Дг
-»0
Дх
Операция нахождения производной функции называется дифференциро­
ванием.
Необходимое условие дифференцируемости функции:
Для того чтобы функция/ (х) была дифференцируема (имела производ­
ную) в точке 
х0,
необходимо, чтобы она была непрерывна в этой точке.
Данное условие не является достаточным.
В таблице приведены основные формулы для нахождения производных.
Производная функции и ее вычисление
Л » )
/ '(*)
/<*)
f i x )
у — С — const
у = ax + b
у = х2
у = ха
1
у = 
-
X
у =
sinx 
y = tgx
у = ег
у = lnx
у
= arcsin 
х
у
= 
arc tgx
у'=
0 
У'— а
у'= 2х
у'= ссса '
у - А
X
у'=
cosx 
1
cos2x
У = ех
у Л
X
1
у
 
1— 1
■у! — х 
1
у -
------ -
1
+ х -
У = х
X
у —
— 
с
у = х3
y = J x
с
у 
= -
X
у
= 
COSX 
у
= 
Ctgx
У = а г
У
=
log,, х
у =
arc cosx
у — arcclgx
У
= 1
, i 
у 
= -
с
у'= Зх2
И
, 
с 
х2
У = - s in x
/ = - - г г -
SH1 X
у'= а '
In 
а
1
У =  
. 
x ln a
Щ
1
' = " l + x>
Правила дифференцирования:
Пусть С - постоянная; и, v - функции. Тогда:
413

1. 
(Си)'= Си'.
2.
(и +
1
/)'= u’+v' (данная формула справедлива для любого конечного чис­
ла слагаемых).
3. (ii*v)'«ifV+v4i.
4 
f - Y
u ' v ~ v ' u
U J
v*
Частные случаи: 
[ —1 = - ы ';
f - j ___ — • v*.
\с/
с { 
v*
1
. 
Задание:
Найдите / '(*). если:
а)/ (x) = x ' - 3 x 4 - x + 5 ;
*)/ (* ) = i _ J L ;
X X*
• 5 
/%
б )/ (*) = y - - x s - 3 ( x + l ) ; 
г)/ (х) = 2,5x2 + 2 0 ^ - 3 * fo
d)f(x) = 5x yfx* - (у/л)1.
Решение:
а)
/ (x) = x * - 3 x 4 - x + 5 .
Применяя последовательно правила дифференцирования 2) и 1), а также 
формулы, получим:
/ '(*) = ( х ') '- 3 ( х 4)'- (х )' +(5)' = 8х7 - 3 4 х 3- 1 + 0 = 8х7-1 2 т 3 - 1 .
б)
/ (х) = у - | х , -3 (х + 1 );
/ '(х) = 
UxsY
-
\
• (х3)' - 3(х+ 1)' = 1 - 5х4 - - • Зх2 - 3 • 1 = х4 - 2Х2 - 3.
4
4
д х ) = - - 4 - -
X X
4
Преобразуем — = 4 - х '2, тогда:

7
Учитывая, что 
5х \[х^
= 5 х х
5
=
5х5, а (л/л
-)3
-
const
, получим:
9
О -
/ ' ( х ) 1 5 ( х 5 ) ' Я ((л/л7) 3) ' 1 5 
Щ
 х ? - 0 = 9 $ с \
2. 
Задание:
Найдите производную функции в заданной точке 
х0:
а)/ (х) = л/з cosx + cos— + — 
х2,
х = —;
3 
я- 
3
б)/(х) = е х sin х, 
х = 
0
;
e)/(x) = sin x-V 2x + 2x + 3, 
х = —;
. 
. 
2 - З х
_
* )/ (* ) = ------—, 
х = 
2
;
х
-1
d)/(x) = -- - 3 - -
/ '(
1
) - ?
X +Х + 1 
Решение-.
а)
/ (х) = л/з cos х + cos - + - х2;
3 
я
/ '(х) | л/3(совх)' + (cos^ ) ' + —(х 2)' | —л/3 sin х + 0 + — • 2х = —л/3 sin х + — .
3 
я
я
я
Вычислим:
3 
я 3 
2
 
2
б)
/ (х ) = е х sinx.
Применяя правило дифференцирования 3) и формулы, получим:
/ '(x ) = (ex)'sin x + (sinx)'eT 
= е х
-sinx + co sx -e x = 
е
х(sinx + cosx).
Отсюда /*(0) = e°(sin 0 + cosO) = 
1
.
в) / (х) = sin х • л/
2
х + 
2
х + 3;
/ '(х) = (sin х)' • л/
2
х + л/
2
(^ х )' • sin х + (
2
х)' + (3)' =
rz
— 
л
/2
. 
/-— 
sin х _
= cosx • 
л /2 х
+ — j= -sm x + 
2
+ 0 = 
л/ 
2
x co sx + - ? = + 
2
;
2л/х 
л/2х
. 
я
Г я
я
31П 
7
 
1
 
л/я _
— = 
. 2
-----cos—+ 
z + 
2
= -
7
=- + 
2
= — + 
2
.
2 j V 
2 
2 
Г Т
Л
*
V 
2
к г/ ч 
2
- З х
г)
/ (*) = ----- - .
х
-1
Используя правило дифференцирования 4) и формулы, получим:
41S

(
_ Г 2 -З д Л _ (2 - Зх)'(х- 1 ) - (х - 1)'(2 - Зле)
“ I
х —
 \ ) ~
(х -1 )2
_ - 3(х -
1) 
-
1 
• (2 - Зх) 
- З х + З - 2 + Зх 
1
( х - 1 ) 2 
( х - 1 ) 2 
“ ( х - 1 ) 2 '
В точке х = 2 имеем /'(2) = — -—- = 1.
(2 -1 )
* ) / ( * ) = 
,
3
.
X
+ Х +
1
Производную этой функции можно взять по правилу f —j :
/ ' ( * ) = f - i - ^ ---- г] = ~ . ; 3 
. (х 2 + Х + 1У =
Vx2 + x + ly 
(х 
+ Х +
1)
3(2х+1) 
6х+3
(х 2 + X + 1)2 
(х2 + X + 1)2 ’
Л 1) = - ^ з ^ = -1 . 
I
Очень часто в заданиях на вычисление производной, бывает удобнее снача­
ла преобразовать выражение, задающее функцию, а потом дифференцировать.
3. 
Задание:
Найдите производную функции:
а )/ (х ) = х 2 sin ^ + x c o s ^ ; 
г)/ (х ) = — ■5*ПХ;
2 
2 
3cosx
б )/ (х ) = (х2 - 1)(2 - Зх), 
/ '( 2 ) - ? ф / Щ
В Ь / '( 1 ) - ?
Vx
e)/(x) = ^x4+ - i - j x4; 
g)/(x) = — у 4 ' 3 , Л О ) - ?
Решение.
а)
/ (х ) 
= 
х 2 
sin — + 
х 
cos—.
2 
2
Так как sin—= 1, cos—= 0, получим: 
/ (х) = х2, /*(х) = 2х.
б ) / ( х ) = (х 2 - 1 Х 2 - З х ) ;
/ (х ) = (х 2 - 1X2- З х ) = 2 х 2 - 2 - Зх3 + Зх;
/ ' ( х ) = (2 х 2 - 2 - Зх3 + Зх)' = 4х - 9 х 2 + 3.
/ '(2 ) = 4 - 2 - 9 - 2 2 + 3 = -2 5 .
416

e) / (x )» ^ x 4 + p -j-x \
Если раскроем скобки, то получим: 
/ (* ) = х* + 
х,
/'(х) = 8х7 +1.
% 
. 
Inx sinx
г )/ (х ) = — --------
Зсозх
Перепишем функцию в виде:
/ (х) = - In x/gr,
/ '(* ) = |[(1пх) • /gr + (fgx)' • InXj =
АЧ 
ft \
Vx + 1
d ) / ( x ) * —
.
Vx
Преобразуем функцию:
л/ x+l 
Vx 
1 
, 
1 
Гх - f x ' f x
f*'
/'(*) = fl + 4=) 
---
V 
W
2 
2л/7 
2хл/х
Ц
ч 3-2Х + 4-3x 
e; / (*)= — ——
.
_
3- 2x + 4 - 3 x 
1 
(
2 Y
_
Так как----------------- 3-1 — I + 4 , то:
r w - 3 { ( | j ) * w - j { f j 4
/ '(0) = з Г -1 In—= 31n—.
Щ)
 
3 
3
Производная сложной функции 
(/ (Ф ))) = 
f\ y)
• V(x), ще v о v(x).
Используя таблицу производных и правило дифференцирования сложных 
функций, получим следующие формулы:
417

1) (ue)' = aua' ‘ -t/
8)
(cos v)' = —sin 
о ■ o'
2)
( J v ) ' - —\*-ut
2yjV
t i S
i
9) (sin 
и)'
= cos 
и ■ v'
1
10)
(tgv)'
=. 
2 • 
v'
cos 
V
3)
-
----- Г-l/
1
11)
(ctgv)'
= 
, • 
o'
4)
ъ
It
sin 
v
12) (a")' = 
a°
In 
a • v'
5) (Inu)' = — l/
(logo 
°У
= 
, 
V>
w-ln 
a
u
1
13)
6) (arcsin u)' = ■. 
• i/
V l-t»2
1
14)
(arccos 
u)'
= —
* 
o’
y ll-u 2
7)
(arc(gL>)'= - - 1
t/
1
l+ ^ z
15)
(
arcctgu
) = —------ - • 
u'
1 
+ 
о
4. 
Задание:
Найдите производную функции:
а)/ (х ) = (х7 - З х 4) 120; 
в)
/(х) 
=
+ 1п(3х2 -
х),
/ '(1 )-?
б) f(x ) = J 5 -х 1
+ -- 1 
, 
г) f(x ) = е™*х+
, 
/'(0) - ?
( 3 - х )
е
/ '( 2 ) - *
<)) / ( * ) = cos3 
^
~
 хj,
Решение
:
4 /(х) « (х7 - Зх4) 120.
В соответствии с формулой 1) запишем:
/'(х ) = ((х7 - Зх4)120)' = 120(х7 - Зх4)"9 (х7 - Зх4)’ ш 120(х7 -З х 4)|,9(7х6 -12х3). 
б) f(x ) = j 5 ^ 7 + —
i - з - .
Учитывая, что —— — = (3 -х ) " 2 и формулы дифференцирования 1) и2), 
получим: 
IP***!
/'(х ) м (л/5-х2)'+((3 - х)-2 )' = 
1 
-(5 -х 2) '+ (-2X3 - х)-3 • (3 - х)' = 
2V 5-X
- 2 х
2(-1) __ х 
, 2
2>/5-х2 
(З- i ) 3 
Л/5^1Г + (3-ДС)3 ’
/'(2) = 0.
4 1 8

в) 
/ ( * ) - - 31^7 + ln(3x2 - х);
0,5
Так как 0,5'~2т = 
22х~1
, получим:
Л х) = ф ц -+1п0 х2- хУ’
- Ш Ш В Р С а
(2
) 
Зх
- х
2 х • 
2Хх~у
- 2 2зг~' In 2 (2 х - 1У • х 2 
6 х - 1
Зх' - х
2 2*-1 * 2 x ( l - x ln 2 ) + 6 х - 1 _ 2 х (1 -х 1 п 2 ) 
бх —1
Зх2 — х 
2
2х 
Зх2 -
х ’
/ '(
1
) = 
1
-
1
п
2
+ | = | -
1
п
2
.
г , / ( * ) = * ” " + А .
е
Применяя последовательно формулы 4), 9) и 3), запишем:
А х ) = (е5т4х У + 
4 4 г ] Г eSm4T • (sin 4хУ + Ч - т 4Ш I • ^ Ьх У =
( е
) ‘
= 
е тАх 
■
cos 4х 
• 
( 4 х )'
------
~
• 
е6х 
■ (бх)'
=
(е
бх) 2
= 4 e sin4x • c o s 4 х
е6'
/ '(0) = 
4е°
-
= -32. 
е
д) 
/ (х) = cos3 j + c / g fj - х j;
/ « - ( ■ * § ) ♦ ( « * £ - * ) ) = W § . ( c o S§ )
= 3cos
2
- f - s i n —I f
— 1
-------
7
—----- r- -(-!) = -cos
2
^sin ^ +
419

/'(*)=
sin'
-c o s 2— sin—; 
? T— 
.
3 
3 
L 4 / 
4
,!H)
5. 
Задание
: Найдите производную функции 
e)/ (x ) = ^2x-sin^j- + 
lj , 
/ '(V 2 )-?
6 )f{x ) = ex
 sin^ cos^ , 
/ ' ( * ) - ?
4 
4
e) /(x) = sin4 x - cos4 x, 
J - ?
, ) / W - J * ( b +| )-£ ± = L . / {§ )■
d )/(x) = x3^ I , j / '( 2 )- ?
Решение
:
/(x) - ^2x ■ sin — +1 
Преобразуем выражение, задающее функцию:
^ x - ^ ' + l j = (х ^ 2+ 1)2;
/'(x) = ((хл/2 + 1)2)' = 2(W 2 +1) • (xV2 +1)' = 
2yfl(xyf2
+1); 
f(yf2) = 6y/2.
6) 
/(x) = exsin—cos—.
4
4
Преобразуем выражение, задающее функцию: 
х 
. х 
х
1
, . 
х
е sin—cos—= —е sm—;
4 
4 
2 
2
/ * > - £ ( « * * § ) л
(ex)'sin^+f sin^ | е*
х . X 
X f
е -sm—+cos— — ■ет
Г . х 1 
х\ 
sin— + — cos— ;
2
\
2
U ;
2 1
1
2 2 
2/
420

в) f(x )
= sin
4
x - c o s
4
x;
sin
4
x -
cos
4
x
= (sin
2
x
+ cos
2
xXsin
2 x -
cos
2
x) =
- cos 2x; 
f\ x
) = -(c o s
2
x)' = - ( - s in
2x)
• 
(2x)' =
2
sin 
2x;
4 ih
г) 
f(x )
= 3 
sinf 2x + ^ j - ~ ~ ~ ~
>
v . Л
л Л
Х + 7Г2 
X 
7Г2
я 2
3sin 
2x + —
----------- = 3 c o s 2 x ------------- = 3 c o s 2 x - l -------
V 
2 )
x 
x x
x
f\ x )
1
3(cos2x)' -( 1 ) ' - .
7 Г
j = 3(-sin
2x) ■
(2x)' - л-2| - - y l |
= 
- 6
sin 
2
x + f
—1
;
/ 'fy ^ l = - 6 s in ^ + 122 =Г41.
d) 
/ (x ) = x
3
V x -
1
;
x3-Jx-\ =
в
== л/х
7
- x 6 ;
™ \ / Г т ----- S\» 
I 
/ ?
* 4, 
7 x 6 - 6 x 5 
x 5( 7 x - 6 )
l x 3 - б х 1
/ W | ( V * p
r
>
/'(2) = 16.
Рассмотрим сложно показательные функции вида j/ = / (х )*(х).
6. 
Задание:
Найдите производную функции:
I
а ) у = х я; 
б) 
у 
= х т х; 
в )у
= х
\
Решение,
а) у = хг.
1 способ. 
Так как, 
у = 
хг
= (glnf)r = 
ех1вх,т о :
У = е
х1п1
• ( х Inх )' = е х,пх • (In х +
1
) = x r (Inх +
1
).
2
способ, 
у
= х х .
Логарифмируем исходную функцию:
421

1
пд> = In * ';
1
пд> = x l n x .
Дифференцируем обе части данного выражения п о * и, считая, что функ­
ция 
1
п_у(х) является слож ной функцией, получаем:
—
у'
= sln jc 
+ 
l ;
У
/ = >(1п *+1);
У = х-* (In 
jc
-ь 1).
б) у = хстх.
Т а к к а к
у
= * cosx =
(eb'xf ° ' x
=
,то
У = е
cos.vln 
X
-
s in х • In 
x + — ■
c o s
x
X
c o s x
= X
-
s in
x
• In 
x
.
в )у = Xх.
Логариф мируем:
In 
у
= l n x * = — ln x ; 
x
У = y
\X2 
x 2
—5
-------
5
-l n x I =
Xх
• “ ^"(1— ln x ) =
Xх
( 1 - l n x ) .
Рассмотрим несколько задач, связанных с нахождением производной.
7. 
Задание:
Составьте и решите неравенство:
>. О
если / ( х ) =
х*
- 4 х 2 .
А * )
Решение:
f ( x ) = x*
- 4 х 2;
/ '( х ) = 4 х
3
- 8 х .
422

х* - 4х2
-
—
- >
0
;
4х} -8 х
х 2( х - 2 ) ( х + 2)
4
х
(
х
 
-
У ? ){х  
+ ->/2)
Составим неравенство и решим его методом интервалов:
—J2
^ О 
V
2 
Ответ: х
g [- 2; -
-J2
)v j (0; 
Л )
u [2; qo).
8. 
Задание:
Составьте и решите уравнение:
/ '( * ) = / 4 5 ) - /'(О > если /(дс) = 
j
2х 
+ 1 
Решение:
, , ч 
дс2 - 2 х + 1
/ ( * ) = --------- ; — ;
Х - 5
дс — 3
/ '( * ) =
(X2 - 2х + 1)'(х - 3) -
(х - 3)’(х2 -2 х + 1)
(х -3 у
(2 х -2 Х х -3 )-(х г -2 х + 1) х2 -6 х + 5
(х -3 У
/ '(
5
) = 
0
, / ' (
1
) = 
0
.
Получим уравнение:
х *-6 х + 5
Л 
,
-----------— = 0, х * 3 ;
(х-ЗУ
х 2 - 6 х + 5 = 0;
х, = 5 , х* = 1.
Ответ:
{1;5}.
( х - 3 ) 2

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: