И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

г
1. 
Задание:
Найдите область определения фу нкции 
у
= —----- .
Решение: 
х 
+ х
У = - г
-— ; 
D {yY
х 3+ х * 0 ;
д г+ х .
х (х + 1) * 0;
х 
*
0. 
Ответ: D(y)
= (-оо; 0 ) U (0; оо).
Замечание. Задающее функцию 
у
выражение можно было бы упростить:
X 
X 
1
х Ч х
х (х 2 + 1) 
х 2 + Г
Полученное выражение определено для всех х, т.е. упрощение приводит к 
расширению области определения. Поэтому, правильнее находить 
D (у),
не 
упрощая выражения для/(х).
1 + х*
2. Задание:
 Найдите область определения функции 
у
 = arcsin------- .
2х
Решение:
. 
1 + х 2 
Т
“
" ц 
! а .
у =
 arcsin---- .
2х
Согласно п. 7, имеем
l + i
1
Z>(y): - 1 < ^
< 1; 
2х
Решением системы неравенств будут лишь две точки -1 и 
1
. 
Ответ:
D (у) = { - 1; 1 ). 
______
3. 
Задание:
Найдите область определения функции 
у =
л/ 2 - 3 ' .
Решение:
у - V 2 J - 3 * .
398

Учитывая п.2, получим: 
D(y):
2х - 3х > 0;
2х > 3х 
| : 3х > 0;
f i b . ;
- I 
>1
-
т.к. 0 < — < 1, х < 0. 
Ответ: D(y
) = ( - оо; о ].
Область определения суммы, разности, произведения двух или нескольких 
функций есть пересечение областей определения этих функций. Для ее на­
хождения составляется и решается система соответствующих условий.
J —
г
1
4 
Задание:
Найдите область определения функции 
у
= 0,5
Решение:
у =
0 , 5 ^ + —
х - 1
С учетом п. 1,2 и 3 область определения данной функции найдем из системы: 
[ 4 - х 2 > 0, 
f ( x - 2 X * + 2 ) < 0 , 
j g 2 § j х < 2,
[ х - 1 * 0; 
[х
*
1; 
(х * 1.
Ответ: D(y
) = [ - 2; l)U (l; 2].
5. 
Задание:
Найдите область определения функции:
У =
1
л/ 14 + 5 х - х 3 
Решение:
? + -Jx2 - х - 2 0
У -
1
V l4 + 5 x - x 2
+ -Jx2
- х - 2 0 ;
D(y):
х2 - х - 2 0 SO, 
14 + 5 x - x z > 0;
(х + 4 ) ( х - 5 ) > 0 ,
Ответ: D (у)
= [5 ; 7).
/
ч ч ч Ч ч ч \
-4\ ^ — 
4- 
''у ,
5
X
'_ ///)
7 
х
399

6. 
Задание:
Найдите наименьшее целое 
х
из области определения функции 
y = yl4x-x2
lg(x
2
- l ) .
Решение:
у
= 
y j4x-x2 ■
lg(x
2
-
1
);
. 
f
4х
— 
х2 >
О, 
Гjc(jc — 4 ) < О,
D(y):
1
х 2 - 1 > 0 ;
( (
x
- 1 ) (
jc
+ 1 ) > 0 .
4-
4 
х
ч ч ч Ч \ ч \
/У У у 
ь
'-Т
1
X
Наименьшим целым числом из области определения функции является 
х=2.
Ответ: х = 2.
1.Задание:
Найдите область определения функции 
у
= 
Решение:
■Jx2 - 2х
log5( x - l )
У =
D(y
):
■Jx2 - 2х
log5( x - l ) ’
х2 - 2 х > 0,
х -1 > 0,
log5(x - 1 )
ф
0;
х(х
- 2) > 0,
х>1,
х ф
2 .
Область значений функции
Часто при исследовании функции важно знать не только область опреде­
ления, но и область значений функции, т.е. в каких границах может изменяться 
сама функция.
400

Все значения, которые принимает функция, называют областью значений 
функции.
Для области значений функции у - f ( x )
 
принято обозначение Е
 
(у).
Для нахождения области значений функции пользуются следующим 
приемами:
1. использование графика функции;
2. использование аналитических рассуждений;
3. использование ограниченности функций у
 
= sin х, у
 
= cos дс;
4. применение производной (данный прием рассматривается в §3).
Рассмотрим решение некоторых задач на нахождение множества значе­
ний функции.
/. 
Нахождение области значений функции по ее графику
В случаях квадратичной или показательной функций удобнее схематично 
изобразить график данной функции, а затем определить область значений фун­
кции.
8. 
Задание:
Найдите область значений функции:
а ) у -х 1 -2 х +
10
;
б )у = -х * + 5 х - 9 .
Решение:
а) у =f. х2—2 х +
 10. 
пу
Графиком данной функции является парабо­
ла с вершиной А(х0; у0)
 
. Координаты вершины
находятся по формулам: х0
= ------
,у 0 =у(х0).
 
Так
2а
как ветви параболы направлены вверх, вершина
х
У
б ) у = - х 2
 
+ 5 х - 9 .
2.5
Координаты вершины параболы (2,5; -2 ,7 5 ). 
Ветви параболы направлены вниз, значит в вер­
шине находится максимальное значение, т.е.
х
£Су)=(-оо;-2,75].
9. 
Задание:
Найдите область значений функции^= 3 - 0,4*. 
Решение:
401

График функции 
у
= - 0 ,4 х + 3 
можно построить из графика функ­
ции^ = 0,4* (изображен штриховой 
линией) двумя последовательными 
преобразованиями: симметрией от­
носительно оси 
Ох
и параллельным 
переносом вдоль оси 
Оу
вверх на
3 единицы.
£(у) = (-оо;3).
2. 
Н ахождение области значений функции
аналитическими рассуждениями
Множество 
Е
( / ) значений функции может быть описано как совокуп­
ность всех значений 
а е R ,
при которых уравнение 
f i x
) =
а
имеет решения.
10. 
Задание
: Найдите множество значений функции:
о)у
 =
1
х + 1’ 
2х
б )у = - г -  
х + 1
Решение:
° ) у
= — г;
Х
+ 1 
х+1
х + 1 = —; 
а
1 
- а
в)у
= л/ 
2 х - х 2;
д)у
= lg(5x2 - 8х + 4).
Уравнение имеет решение при 
а Ф
0.
£(>>) = (-оо; 
0
)U (
0
;oo)
л
2х
б) у =
Е(у):
х
+ 1
2х
= а;
х2 + 1
2х = ах2
+ 
а.
402

При 
а * 0
уравнение 
ах2 -2 х + а = 0,
имеет корни, когда 
D
> 0, т.е.
4 - 4а2 > 0 .
Значит, 
Е(у)
= [ - 1 ; 1].
в) у = л/2х-х2;
ЕХу): 
- J l x - x 2 = а, а >
0;
х2 -2 х + а2 = 0.
D = 4 - 4а2
> 0 при 
а
е [-1 ;1 ].
Учитывая условие 
а >
0, получим 
а
е [0; l].
д) у
= lg(5x2 -
8
х + 4 );
Е(у):
lg(5x
2
- 8 х + 4 ) = о;
5xJ - 8 x + 4 = 10e;
5х
2
-
8
х + ( 4 - 1 0 в) = 0.
Уравнение имеет решение, если 
D 1
0.
1 6 - 5 ( 4 - 1 0 в) £ 0 ;
5 -10° > 4;
Е(у) = [0;
1].
Это уравнение имеет решение, если 
3 
-
а2
> 0
, т.е. 
а
 € (- ->/3; >/з).
Учитывая условие 
а
> 0, 
получим 
Е(у) =
 [0;л/з).
4
10
'
2
- ;
5
403

3. Нахождение области значений тригонометрических функций,
используя свойство ограниченности функций у
= sin 
х и у
= cos 
х
(Jsin х| £
1
, |cosx| < l)
11. 
Задание:
Найдите множество значений функции:
а ) у = Т
б )у =
1
2 - sin 
Зх
в) у =
sin х - cosx;
г) у
= 3 + 2 s in 2 3x;
Решение:
а) у
= 2 со,х.
Так к ак-1 < c o s x < 1, 
2~\
^ 
2
°“ х <
2
';
| < . у £
2
;
£ 0 0
= 
б) ^ =
—;2
.2
1
2 -s in 3 x
d) 
у
= 2 sin х + cos х; 
cosx
е )у =
cos —- s in -
2
2
д*с) j/ = 3 c o s x -4 s in x .
-1 < sin 
Зх 
< 1, значит - < 
у < I , Е(у) =
в) у =
sinх- cosx.
J-
1
Приведем функцию к виду 
у
= sinх - cosx = —sin 2 х . 
- 1
й
sin
2
x < 
1
;
1
^
1
• 
^
1
---- < —sin 2х < —;
2 
2 
2
Е(у) =
1 
I
2
’
2
.
г) 
,y = 3 + 2sin
2
3x.
Используя формулы понижения степени, преобразуем функцию: 
7
= 3 + 2sin
2
Зх = 3 + (1 - cos
6
x) = - cos 
6
х + 4;
- 1
й
cos
6
x < 
1
;
- 1
< - c o s
6
x < 
1
;
3 ^ 4 - cos
6
x 5;
E(y)=[
 3;5].
404

д) 
у
= 
2
sin x + cos
2
х; • 
у =
2
sinx + cos2x = 
2
sinx + l - s i n 2x = -(sin
2
x -
2
sinx + l) + 
2
= - ( s i n x - l
)2
+ 
2
. 
При sin
х
= 1 
у - 2 .
При sin x = - l
у = -2.
£
0 0
= [ -
2
; 
2
].
cosx
ё) 
у =
X 
X
cos— sin —
2 
2
(
X 
. х 4)(
x
•
cos— sin — cos -
+ SU1-
I
2
2 ) I
2
2 )
Пользуясь формулами: 
cos2a =
cos2 
а
 
- sin2 
а
;
I я 
}
sin a = с о 9 —
а
 
I;
а + р
а - р
cosa + cos о = 2 cos----- — cos------- :
2 
2
преобразуем функшпо:
2х 
. j 
COS--- Sin
у
 = -----
1
------- — = 
1
----
1
------ --------
1
------ — = cos—+sin— = cos—+ cosl------ I =
X
. 
X 
x 
. 
X 
2 
2 
2 
12 2/
cos— sin— 
cos— sm— 
v
2 
2
 
2
 
2
= 
2
c o s i c o / | - i ] = ^
При c o s f ^ —^ J - ± l исходная функция не определена.
- 1
< с о я Г "
< 
1
;
- j
2
< j
2
c o J ± - f ] < j
2
; 
- 
£ ( y ) = ( - S S
ж )
у
= 3cosx - 4 sin x.
Для преобразования данной функции используем метод вспомогательно­
го угла:
у
= 3 c o s x - 4 s in x = 5 f | c o s x - | s i n x j = 5 s in (^ -x ),
3 
4
гае sinus = — , 
соьш
= —.
5 
5
- 1 < sin(^ - х ) 
%
I;
- 5 £ 5sin(^ - х ) S 5; 
Е(у) -
[- 5; 5]
40S

Определение. Функция 
у
 
= / (дг) называется периодической, если сущ ест­
вует такое число 
Т >
 
О, что для всех 
х
 
из области определения 
х + Т и х - Т 
также принадлежат области определения и 
f ( x + Т)
 = / ( * -
7) 
=f(x).
Число 
Т
 
называется периодом функции. Наименьший период функции 
называют основным периодом.
Периодическими являю тся все известные тригонометрические функции.
у
 = 
sin x 
у
 = 
co sx
У -tg x  
у
 = 
ctgx
Если функция 
у - f ( x )
 
периодическая и имеет период 
Т,
 
то функция 
Af(kx
 
+ 
b
), где 
А ,к ,Ь -
 
постоянные, 
кф
 
0, также периодична, причем ее период
Периодические функции
имеют основной период 
Т0 = 2л\ 
имеют основной период 
Т0 = л .
равен щ (период не зависит 
от А
 
и 
Ь).
12. 
Задание
: Найдите период функции:
ч 
1
• 
а) у = -s\nnx\
71 
х
¥ _ 3
6) у
 = 
2ct\ 
Решение:
ч 
1
• 
a)
v = — sin^x;
2
в) у
 
= co s5 x co s3 x + sin 5 x sin 3 x ;
г) 
у 
=
2 s in 2 x c o s x -s in x .
б) у
- Ч н )
_
2л
 
_
Т
 = —
= 2; 
л
Т
 = 
—
 = 3 
л;
в) у 
=
co sS x co s
Зх
 
+ sin S x sin Зх.
2л
После упрощения, получим: 
у
 
= cos 2х, Т = — = 
л .
г) 
.у = 
2
sin 
2
дг cos 
х -
 
sin 
х.
Используя формулу преобразования произведения тригонометрических 
функций в сумму, получим:
j/ = 2 ~ ( s i n 3 x + s in x ) - s i n x = sin3x, Т
= ^~.
Алгебраическая сумма периодических функций будет также периодичес­
кой с основным периодом, равным наименьшему общему кратному перио­
дов ее слагаемых (если периоды соизмеримы).
406

13. 
Задание:
Найдите наименьший положительный период функции: 
o )^ = cosjc + sin2jc; 
6) у
= co s4x + sin2 х.
Решение:
а) у
= cos 
х
+ sin 2jc; 
cosx: 
7 J = 2 ;r ;
. 
2л
sin 
2х: Т,
= -т-г = 
л
;
И
Т = 
HOK(Tt\T2) = НОК(2л\л)
= 2яг;
б) 
у -
cos4x + sin2 
х;
l - c o s 2 x
1 
_ 
1
у
= cos4x + -------------= c o s 4 x — cos2x + —;
2 
2 
2
cos 
4x:
cos 2x:
2
'
T _
2
л- _
л
l ~ ~ 4 ~ 2 ’
т
2;r 
T, = —
= л;
2
 
2
T 3 - любое число;
(f;*H
T щ HOK(Tt;T2)
 = 
HOKj
14. 
Задание:
Найдите период функции: 
у
= arcsin(sin х).
Решение:
у -
arcsin(sin х).
По определению периодической функции, число 
Т
является периодом, 
если выполняется равенство:/(х + 7) =/(х).
Данная функция является периодической с периодом 
Т
= 
2л,
т.к. 
arcsin(sin (х + 2 л)) = arcsin(sin х).
Ниже построен график функции у = arcsin(sin х).
Ответ:
7’= 2 л:
407

15. 
Задание-.
Найдите наименьший положительный период функции 
у =
sin
4
х + cos4 
х.
Решение:
у
= sin4 х + cos4 х;
= —+ — cos4x; 
4 4
Т = —
- —
4 " 2
Ответ:
7 = - .
2
Обратные функции
В последние годы в тестах стали встречаться задачи на нахождение функ­
ции, обратной к заданной. Чтобы найти в явном виде такую функцию, доста­
точно поменять ролями (местами) буквы, обозначающие функцию и аргу­
мент и решить полученное уравнение (если оно разрешимо) относительно 
буквы, обозначающей функцию.
16. 
Задание:
Найдите обратные функции, к следующим функциям:
Функция / (х), область определения которой симметрична относительно 
нуля, называется четной, если для любого 
х
справедливо равенство / (-х ) =/(*).
Функция 
fix ),
область определения которой симметрична относительно 
нуля, называется нечетной, если/(-х) = -/ (х ) для любого значения х.
Если область определения функции не является множеством, симметричным
а )у = -
б
)
у
 =
lg (l- x ) .
Решение:
Меняя ролями функцию и аргумент, получим:
х
= —— или 
З х= у-
1
.
х
— 
1
у =
Зх + 1 - функция, обратная к функции 
у -
------- .
6 ) j> = l g ( l - x ) ; 
x = lg ( l 
-у );
1 -у =
10
х.
у -
1
-
10
х- функция, обратная к функции
7
= lg 
(1
- х ) .
Четные и нечетные функции

относительно нуля, то эта функция не относится к классу четных или нечетных 
функций.
Функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной, называют функцией 
общего вида.
х
Например, функция /(дс) = ------ не является ни четной, ни нечетной фун-
* +
2
кцией, так как ее область определения есть множество (-o o ;-
2
) U ( -
2
; оо), не­
симметричное относительно нуля. В этом случае выражение / (2) = — имеет
смысл, а выражение/ ( -
2
) не имеет смысла.
Указанные ниже функции являются функциями общего вида:
1
) Vx, 
£ > 0 0
= [
0
;оо)
2
) - Ц ;
D(y) 
= (-«>; 
-
3) 
U 
(-3 ; 
00
); 
дг + З
3 ) l g ^ A
D (y) = (-*o-,l).
1
- х
17. 
Задание
: Установите четность или нечетность функции:
х + 
1
а ) / ( х ) = 2 ‘ +
2
6 ) /( x ) = l g ^ ;
в ) / ( х ) = (
2
- х
) 5 - ( 2
+ х ) 5.
Решение
:
а) 
/ (х ) = 
2
х +
2
ж;
D (J)
= (-«о; оо); 
/ ( - х ) = 
2 х
+ 
2х
= / (х ) - функция четная;
х + 
1
б) 
/ (х ) = lg
1
- х
&(/)'■—— >
0
, 
<
0
; D ( / ) = ( -
1
; 
1
) - симметрична относительно нуля; 
1
- х
х
- 1
- х + 
1
' х +
1
'
-I
1 
+ X
1
- х
х + 
1
/ ( - х ) = lg---------= lg — — 
= - l g -------= - / ( х ) - функция нечетная;
1
- х
в) 
/ (х ) = 
( 2
- х
) 5
-
(2
+ х)5;
Д У ) = Ы ; ® ); / ( - х ) = 
(2
+ х
)5
-
(2
- х
)5
= 
- ( ( 2
- х
)5
-
(2
+ х)5) = - / ( х ) -
функция нечетная.
В условиях тестирования, очень важно использовать свойства, позволяю­
щие быстрее исследовать функции на четность, нечетность (не пользуясь оп­
ределением):
1. Сумма четных функций - функция четная.
2. Сумма нечетных функций - функция нечетная.
3. Произведение четных функций - функция четная.
409

4.
Произведение двух нечетных функций - функция четная.
5. Произведение четной и нечетной функций - функция нечетная.
6. Если функция / четная (нечетная), то — четная (нечетная). 
Приведем примеры нечетных функций (м):
jc
2*"1
, sin х, tg 
х,
ctg 
х, 2k~\fx
, - j p y ; 
и четных функций (ч):
- ■ 
. Г
х ,
| 
х
|, cos 
х,
sin 
х2, 
*У =
const, tg
2
х,
| ctg
x
I, sin | X | и т.д.
18. 
Задание:
Выясните четность или нечетность функции: 
о) 
fix )
= |х| • 
х*
+ х2; 
в) f(x )
= 2 - |х| + х2;
Л 
%
Isinxl 
. 
,
б) fix )
= Ц— •+sin х; 
г) /(х) = 0,5xJ - 5х + х;
sinx
л\ /•/ \ Jf+sinx
д) fix )
= — -----Г .
г +х
Решение:
°) fix )
= |х) -х4 + х 2 - четная;
(ч )(ч ) + (ч)
(»)
,,
Isinxl 
. 
, . , 
1
о) 
fix )
= —— + sm x= sin х -------+ sin х - нечетная;
sinx 
sinx
0 0 - 0 0
+ (« )
<«)
в) fix )
= 2 - |х| + х2 - четная;
(ч )-(ч )+ (ч )
г) fix ) =
0,5х3 - 5х2 + х - функция общего вида;
(м )-(ч)+ (н )
(»)
ЛЛ 
f t \
 
*+sin Jc 
_
о) fix )
— —-— —— четная, 
х + х
(»)
410

Для определения четности, нечетности функции по ее графику, использу­
ют 
следующие факты:
1. График четной функции симметричен относительно оси ординат 
(Оу).
Например:
кУ
♦У
V x
2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 
Например:
У
У 
4 у
3. Примеры функций общего вида:
/
/
\
3 
/
| \---- ►
‘ 4 /
X
h
‘
411

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: