И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова



Pdf көрінісі
бет24/61
Дата11.05.2022
өлшемі10,32 Mb.
#141770
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   61
Байланысты:
Р устюмова 2005


Разделим уравнение на 5х > 0 :
-убывающая функция, а следовательно, уравнение
/(ж) = 2 не может иметь более одного корня.
Очевидно, что этим единственным корнем будет х — 0:
X
Других корней уравнение не имеет. 
О твет: х =0.
183


§2. М ЕТО Д Ы Р Е Ш Е Н И Я С И С ТЕМ П О КА ЗА ТЕЛ ЬН Ы Х У Р А В Н ЕН И Й
Метод приведения к одному основанию
1


4 ,
8
2jr+l =32-24'-',
5-5*-у = 
у
1252у*'.
32х~' -27х+у
 
=3,
.(5* 
-
у )2
 
= 36.
7"
3х 
• 9У
3, 
|
2У~Х
 
1
 
3. j 

2х 
~ 64*
дг
1
+7**12 
j
х +
у
= 6, 
6 .1  
у
> 
0
.
8
'
=10у,
2х = 5 у.
21х 

9У,
XIх
+

 
= 243.

 • 
3^ 

24,
3х -2У
 
=54.
Метод введения новых переменных
2х + 2 - З х*у 
= 56, 
3 . 2Х+ 3 Х+У+' 
= 87.
З1х- 2 У 
= 725,
3 *-л /i* =25. 
10‘
[ 3 - Т - 3 У
 
=12, 
[7х -Зу
 
=15.
Методы решения систем показательных уравнений
Системы, содержащие показательные уравнения, как правило, решаются 
сведением показательного уравнения к алгебраическому и решением полу­
ченной алгебраической системы.
При решении систем показательных уравнений используют два основных 
метода:
- метод приведения к одному основанию;
- метод введения новых переменных.
Метод приведения к одному основанию
/ Данный метод основан на следующем свойстве степеней: если две степе­
ни равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо 
попытаться привести к виду а/(х) = a*(Jf). Отсюда f(x ) - g{x) .
Рассмотрим ряд примеров.
[82,+1 = 32-24>_1,
1. Задание: Решите систему уравнений ^ 
______
[5-5*-у =л/25:у+|.
184


Решение:

3 2-24>"\
 
[2 зг-л+1; 
2s -24>_,> 
(бх
 + 3 = 
4у -1 , 
(бх - 4 у = 1,
[l + х - у =  +1; 1 х - Зу = 0;
515Х_> = л/252>+|; 
[5,+jr' J 1 5';+I;
( _ 
J
6 х -4 у = 
1, [14_у 

1,
х = 3 у;
х = 3у;
У =
14
Ъ_
14'
Ответ: I —
I. 
14 14
2. Задание: Решите систему уравнений
2
"
Решение:
У ■ 9У = 3, 
2
J ~ *

2* ~ 64’ 
= -4 ;
_ _ 4
13 
5 ’ * “ 5 '
л
(13 
41 
Ответ: —; 
I.
3*-9> =3, 
2У' Х 

2х _ 64
3*-32'= 3 , \х + 2у = 1 |
*2, \2х + 4у = 2,
2х + у -  -6 ;
-2х= 2 -6; 1 -2 х + у = -6 ; 
{ -
3. Задание: Решите систему уравнений •{ 
Решение:
27х = 9V,
[81х -г-3' =243.
2 7 х 
9У, 
| 3 З Т = 3 2>, 
ГЗх = 
2 у , 
1> = 1,5х, 
(х = 2, 
8 1 х + 3 ” = 2 4 3 ; | 3 4* + 3 ' = З 5; 
[ 4
jc
 - у = 5; [ 2 , 5 х = 5; [ у = 3. 
Ответ: (2; 3).
Э2*-1 • 27**' *3,
4. Задание: Решите систему уравнений <
[( 5 х - у ) 2 = 3 6.
18S


Решение:
* - .У)2 = 36; \(5х - у )2 = 36; \(5х - у )2 = 36; 
5х + 3у = 2 |
-(-1), ( - 5 х - 3 у = -2 , 
5х - = 6; 
[5
jc
 — у
 
= 6;
-
= 4;
>> = -1 ; 
jc
= 1.
5* 
+ 3у = 2
| -(-О, Г— 5дг — 3>» = -2,
• 
21х*у =
3, Гз2*:1 • 
З 3л+3у 
=
3, 
[5х  

З у  
= 2,
5х - у  = -6 ; 
|5х - у = -  6;
- 4 > = -8 ;
_V = 2; л = -0 ,8 .
О твет: (1; -1 ), (-0,8; 2).
л! + 7»»12 _
1
/
5. Задание: Решите систему уравнений \ х + у = 6,
у > 0.
Решение:
Из первого уравнения следует, что должны выполняться условия у=\ или 
х1 + 1х+ 12 = 0.
Поэтому исходная система уравнений равносильна совокупности трех 
систем:
У = 1
Y = - I
У *
О твет: (5; 1), (-4 ; 10), (-3 ; 9).
186


6. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
2х - У  = 24, 12х • У  = 23
2Х-3> = 2 4 ,
3х - 2 ' = 5 4 .
Зх -2> =54; [2V -3х = 2 -З3.
Перемножим данные уравнения системы:
2х • 3* • 2-у • 3х = 23 • 3 • 2 • З3;
= 2 4-34;
6X+V = 64; 
х + _)/ = 4.
Разделим первое уравнение системы на второе: 
2х У  _ 2 3 3 
2У -3* “ 2-33 ’
2Т~Г 
22 
3х- , " 3
j
»
ш Hi
x + j> = 4, Гх = 3, 
* - > = 2; |у = 1.
3
х - = 2.
Получим систему 
Ответ: (3; 1).
7. Задание: Решите систему уравнений
8х = 10j>, 
2х = 5 у.
Решение:
Разделив первое уравнение системы на второе, получим:
щ

2 1 , 2 ;

2Ъ - 2 \
1
х = —.
2
187


Подставляя х = — во второе уравнение, будем иметь: 
Л = 5 у; 
2
У -
V2
Ответ:
1 й  
2 ’ 5
Метод введения новых переменных
Некоторые системы показательных уравнений сводятся к системам ра­
циональных уравнений непосредственной заменой входящих в них степеней 
новыми переменными.
\2х + 2 -З х+у
 
=56,
8. Задание: Решите систему уравнений s
Решение:
(3 • 2х + Зх+>+| = 87.
Замена
:
j2 x + 2-3x+v =56,
2 '= а,
j
[3 • 2х + 3 • 3X+V. = 87;
1
3X+V = 6.
[а + 2Ь
 = 56, 
За+ 36 = 87;
М
а + 2Ь
 = 56, 
а + Ь = 29;
Ь 
=
 27, а
 
= 2.
2
х =
2

=
1

(х  =
1
,
Зх+,’ = 27; \х + у = 3; [у = 2. 
0т*еш ;(1;2).
9. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
[з2х - 2 V = 725, [з2т -

= 725,
|32х- 2 ' =725, 

- 4 т =
 25.
[Зт 
- л 1 г = 2 5 ;
_ 2 2 =
 25; .
f(a-6)(a + Z>) = 725, fa + 6 = 29, 
la -г» = 25; 
la - 6 = 25;
Замена 
3х = a,
2 2 = 6 .
а2 - Ъ 2 = 1 25, 
а - Ь
 = 
25;
188


gg 1 2; 
О твет: (3; 2).
10. Задание: Решите систему уравнений 
Решение:
3*7* - 3 ' = 12, 
7* -3 ' = 15.
Замена
:
Г з - 7 '-3^ = 12,
[Ъа- b  
= 12, |
7* = а, а > 0;
| 7 '-3 ' = 15;
{а* = 15; 
{
3 ' = 6, 6 > 0.
1а(За-12) = 15;
За2-1 2 а -1 5 = 0; 
а2 - 4а - 5 = 0;
о, =5,
а, 

—1 
< 0 - не подходит.
а = 5, |7* =5, J
jc
= log7 5,
6 = 3; W = 3 ; Ь = 1.
О твет: 
(log7 5; 1).
189


§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Метод приведения обеих частей неравенства 
к степени с одинаковым основанием
. . f l p
" <

64
2
3 . 2 - < Д . -  

32
4. л/27-3-6*’ £ 9 4х
5. 2х*_3 • 5х* '3 - 0,01 • (10х-1)3 < 0
6. Й ®
> (20,25)2х_7
у ■ * 
1 ■' у -* -
7. 0,4х*-2'" 3 
> 1
8. 5* > 7
9. 7х*+4ле <: (2 Х)Х+4
И
. ( Л
+ ! ^ ( Л
- з Г  
l l . f i j
+ 2 '4 j < 1 8
12. З ^ - ' + З ^ - З 2*- 4 ^ ^
13. 2Х+2 - 2Х+3 - 2Х+4 > 5Х+1 - 5Х+2
14. 3х + 2Х~‘ - 2*+2 - 3х-1 +
2Х~3 
> 0
Метод введения новой переменной
Метод интервалов
15.
0,04х - 2 6 -0,2х + 2 5 ^ 0
16. Т х - 3 ‘ 7|+* > 4
17. 2' + 8 > 2 ‘
у
. '
4 2 + 5
19. 3-16х + 2-81х - 5 - 3 6 * > 0
20. 

• 4х + 2 • 25х <, 7 • 10х
0,2х -0 ,0 0 8
л
21. 
------ *-----£ 0
х -\0х 
+
25
4* + 2 х - 4

22. — -— - I
й 2
JC-1
е3х~1 - 1
23 . 
- > 0
дс + 8
190


Метод разложения 
на множители
Решение систем неравенств
24. 
х
2 -5
х
- 52+х< 0
25. х 2 -2 х + 4 > х 2 + 2 х*2
26. 
52х*‘
+ 6х+| > 3 0 5х -30х
/ 2 У Y * > 27 
27. < U J U J
> 6 4 ’
2*’-6*-3.5 < 8^ 2
у/х +

- 6 ,
28. \ 

2 9 .4 
2 х <
8
f e
l l < 2 ,
2х-' - 3 - 2 Х+2 > -2 3 .
Методы решения показательных неравенств
При решении показательных неравенств используют в основном те же 
приемы, что и при решении показательных уравнений, только нужно делать 
различие между свойствами показательной функции с основанием большим 
единицы и меньшим единицы.
Рассмотрим основные методы решения таких неравенств:
- метод приведения обеих частей неравенства к степени с одинаковым 
основанием;
- метод введения новой переменной;
—метод интервалов;
- метод разложения на множители.
Метод приведения обеих частей неравенства 
к степени с одинаковым основанием
Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах 
монотонности функции у - сР\
Неравенство 
e/w > 
ак(х)
равносильно
неравенству
f(x)>g(x)
если a > 1
f(x)
е с л и 0 < а < 1
Неравенство 
а Л *)
<
равносильно
неравенству
f(x )< g (x )
если о > 1
f(x )> g (x )
если 0 < о < 1
Множество решений нестрогих неравенств 
а/(х)
S
а*(г)
 или 
а
 
<
a Kix) 
находится как объединение множеств решений соответствующих строгих не­
равенств и уравнения 
а '(ж)
= <г*<х\
191


Учитывая эти свойства, многие простейшие показательные неравенства 
решаются методом приведения обеих частей неравенства к степени с одина­
ковым основанием.
з у * * 10-*' 
27
1. Задание: Решите неравенство I — I 
< — .
Решение:
27
64
( j N бдг+10-jr2 
j j
Т.к. 0 < -< 1 ,т о бх + 1 0 -х 2 > 3;
4
х2- 6 х - 7 < 0 ;
(
jc
+ 1)(
x
-7 ) < 0 .
Ответ: х е (-1 ; 7).
2. Задание: Решите неравенство 4х 
>
IgVlO
Решение:
4х 
>
lgVTo
Преобразуем правую часть неравенства:
lgVTo _ igio* = 
1

,

2
4
'
Получаем 4х 
> 4 "'.
Т.к. 4 > 1,то — 2 £ -1 ; 
х


„ 
1 - х 
‘ 
х - 1
— 1 > 0; ------ £ 0 ; ------- < 0.

X
X
О тве т: х е (0; l].
192


2 v <
3. Задание: Решите неравенство 2 
*1— .
32
Решение: 
i
Данное неравенство определено лишь на множестве натуральных чисел.
Т.к. 
2 > 1 ,
t o j c
- 6 < — ;
х
х2 -6 х + 5 
------------- <0;

 
~ 1)(* - 5) , 0 Т 7 7 > о
х
Решением исходного неравенства будут числа 2,3,4. 
Ответ: {2;3;4}.
4. Задание: Решите неравенство 
Решение:
л/27-3-6*1 > 9Ах;
W
 
я
з 2 
> з .
л/27 • З-6*2 > 94
х
Т.к. 3> 1, то - ~ 6 x 2 ZSx;
12.x2 +16jc-3 й 0;
Н
И
В
Ответ: х е
3.1
2 ’ б
5. Задание: Решите неравенство 2х ~3 ■ 5х1-* - 0,01 • (10*-1)3 < 0. 
Решение:
193


2х ~3 -5х ~3- 0,01 (10х' 1)3 < 0 ; 
2х' " 3 -5х2' 3 < 0 ,0 1 1 0 3х_3;
10х1' 3 < 1 0 '2 103х_3;
10х2" 3 < 103х“5.
Т.к. 10>1,то x 2- 3 < 3 x - 5 ;
х 2 - Зх + 2 < 0;
(х - 1)(х - 2) < 0.
О твет: х е (1; 2).
6. Задание: Решите неравенство 
Решение:
<хг
+JT
> (20,25)2
> (20,25)2
Поскольку (20,25)2х 7 = 20
данное неравенство равносильно следующему неравенству:

,
Т.к. 0 < — < 1,то х + х  < 1 4 -4 х ;
9
х + 5 х -1 4 < 0;
(х + 7)(х - 2) ^ 0.
Ответ: х е [ - 7; 2].
7. Задание: Решите неравенство 
Решение:

V
0,4х - 2*-3 

j
> 1 .
(

V
0,4х2-2* '3

J
>1;
194


Представив 1 = (0,4)°, получим —------- —
х - - 2 х - 3
Х ~ 6
 
>
0
.
(jf + lX x - 3 )
<0;
-1 
3'
О твет: х е (-1; 3) U (6; 
оо).
X
8. Задание: Решите неравенство 52 > 7 . 
Решение:
52 > 7 .
Приведем правую часть неравенства к степени с основанием 5:
X
52
у  
5
lo
8
s 7
Т.к. 5 > 1, то ^ > log5 7; 
х > 21og5 7.
О твет: х е (Iog5 49; 
00
).
9. Задание: Решите неравенство I х
сг у
Решение:
-IX 1
+4.г v / ^ х ч х + 4 .
> (2 х) 
;
7-Г*"+4.Г
>2
х +4.т

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   61




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет