I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
1. АлгебраСандарТеориясы 1
| Теорема 1. Егер
11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . . k1x1 + … + knxn = 0 (1) . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = 0 біртекті жүйесі оның алғашқы k теңдеуінен құралған 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . (2) k1x1 + … + knxn = 0 жүйесіне пара-пар болса, онда осы жүйелердің негізгі матрицаларының бағандық рангтері тең. Дәлелдеу. (1) және (2) жүйелердің негізгі матрицалары сәйкесінше A және болсын. Әуелі мына қасиетті дәлелдейік: A матрицасының A1,…, Ak бағандары сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана матрицасының нөмірлері сондай болатын ,…, бағандары сызықты тәуелді болады. Егер A1,…, Ak бағандары сызықты тәуелді болса, онда кейбіреуі нөлден өзгеше 1,..., k скалярлары үшін 1A1 +…+ kAk = . Енді k+1 = … = n = 0 деп алайық. Онда 1A1 +…+ kAk + k+1Ak+1 +…+ nAn = . Бұл (1,…, k, …, n) векторы (1)-жүйенің шешімі болатынын көрсетеді. Берілген екі жүйе эквивалент, сондықтан 1 +…+ k + k+1 +…+ n = . Ал k+1 = … = n = 0, сондықтан 1 +…+ k = . Сондықтан ,…, бағандары да сызықты тәуелді. Осыған ұқсас ,…, бағандары сызықты тәуелді болғанда, A1,…, Ak бағандары сызықты тәуелді болатынын көрсетуге болады. Енді A және матрицаларының рангтері сәйкесінше r және s болсын. Онда A матрицасының r сызықты тәуелсіз бағаны табылады. Онда, дәлелденген қасиет бойынша, матрицасының нөмірлері сондай бағандары да сызықты тәуелсіз болады. Сондықтан r s. Осыған ұқсас s r болу керек. Сөйтіп r = s. Теорема 2. Кез келген матрицаның жолдық рангі бағандық рангіне тең. Дәлелдеу. Нөлден өзгеше А = матрицасы берілсін және оның алғашқы r жолы базис құрасын. Негізгі матрицасы A болатын біртекті 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . . r1x1 + … + rnxn = 0 (3) . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = 0 жүйесін және осы жүйенің алғашқы r теңдеуінен құралған 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . (4) r1x1 + … + rnxn = 0 жүйесін қарайық. Соңғы жүйенің матрицасы болсын. A матрицасының алғашқы r жолы базис құрайды, сондықтан (3)-жүйенің кез келген теңдеуі (4)-жүйенің теңдеулерінің сызықтық комбинациясы болады. Осыдан (3)-ші және (4)-жүйе пара-пар. 1-Теорема бойынша, A және матрицаларының бағандық рангтері тең: (A) = (). Ал матрицасының бағандары r-өлшемді векторлар. Сондықтан () r = r(A). Осыған ұқсас аударылған матрицаға (AT) r(AT). Ал ( AT) = r(A) және r(AT) = (A), сондықтан (A) = r(A). Осы теореманың нәтижесінде матрицаның жолдық ранг немесе бағандық ранг туралы сөз болғанда, матрицаның рангы туралы айтуға болады, өйткені теорема бойынша олар тең. Теорема 3. Егер матрицаға элементар түрлендіру қолданса, онда матрицаның рангі өзгермейді. Бұл 4.5-теоремадан шығады. Теорема 4. Сатылы матрицаның жолдық рангі оның нөлден өзгеше жолдарының санына тең. Дәлелдеу. Сатылы А = матрицасы берілсін және оның жетекші элементтері , ,..., болсын. Онда матрицаның нөлден өзгеше жолдарының саны жетекші элементтерінің r санына тең. Бірінші жолдың жетекші элементі қалған жетекші элементтердің алдында тұрады, сондықтан i1 < i2. Ал екінші жолдың жетекші элементі төменгі жолдардың жетекші элементтерінің алдында тұрады, сондықтан i2 < i3. Сөйтіп i1 < i2 < … < ir. Енді A1, A2,…, Ar жолдары сызықты тәуелсіз екенін көрсетейік, яғни λ1A1 + λ2A2 + …+ λrAr = теңдігінен λ1 = 0, λ2 = 0, …, λr = 0 теңдіктері шығатынын. A1 = (0,…,0 , , … , …, ,…,…, …, ,…, rn), A1 = (0,…,0 , 0 , … , 0 , ,…,…, …, ,…, rn), . . . . . . . . . . . . . Ar = (0,…,0 , 0 , … , 0 , 0 , 0,…, 0 , ,…, rn). Ал λ1A1 + λ2A2 + …+ λrAr = λ1(0,…,0 , , … , …, ,…,…, …, ,…, rn) + λ2(0,…,0 , 0 , … , 0 , ,…,…, …, ,…, rn) +… + λr(0,…,0 , 0 , … , 0 , 0 , 0,…, 0 , ,…, rn) = (0,…,0 , λ1, … , …, λ1,…,…, …, λ1,…, λ1rn) + (0,…,0 , 0 , … , 0 , λ2,…,…, …, λ2,…, λ2rn) +… + (0,…,0 , 0 , … , 0 , 0 , 0,…, 0 , λr,…, λrrn) = (0,…,0 , λ1, … , …, λ1+ ,…,…, …, λ1+ + ...+ ,…). Сондықтан λ1A1 + λ2A2 + …+ λrAr = теңдігінен теңдіктері шығады. Онда 0 теңсіздігінен λ1 = 0 теңдігі шығады. Осыдан жүйенің екінші теңдігінен λ2 = 0 шығады. Осыны жоғарыдан төменге қарай жүйе бойынша жалғастыра берсе, λ1 = 0, λ1 = 0,..., λr = 0 шығады. Сондықтан A1, A2,…, Ar жолдары сызықты тәуелсіз. Матрицаның басқа жолдары нөлдік болғандықтан, r(A) = r. Осы теорема матрицаның рангін есептегенде пайдаланылады. Берілген A матрицасының жолдарына элементар түрлендірулерді қолданып сатылы B түріне келтіреді. Әрбір элементар түрлендіру, 4.5-теорема бойынша, пара-пар жүйеге келтіреді. Ал, 5.3-теорема бойынша, пара-пар жүйелердің рангтері тең. Сондықтан берілген A матрицасының рангі сатылы B матрицасының рангіне, яғни оның нөлден өзгеше жолдарының санына тең. Мысалдар. 1. Жоғарыда A = матрицасы сатылы B = түріне келтірілген. Ал сатылы матрицаның нөлден өзгеше жолдарының саны 4. Сондықтан r(A) = r(B) = 4. жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|