I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
1. АлгебраСандарТеориясы 1
| Анықтама. n-өлшемді векторлардың ақырлы жүйесі деп векторлардың кортежі аталады: а1,…, am. Жүйедегі векторлардың реті ескертіледі және векторлар қайталана алады. Мысалы, екі a, b, a және b, a, a жүйе әртүрлі деп есептеледі, мұндағы a b.
Анықтама. Векторлардың а1,…, am жүйесінің сызықтық комбинациясы деп λ1a1 + …+ λmam түріндегі вектор аталады, мұндағы λi скалярлары сызықтық комбинацияның коэффициенттері деп аталады. Мысалы, а1 = (1, 0, 3, –2), a2 = (–1, 1, 4, 3), a3 = (–5, 3, 5, 3) R4 векторларының 2a1 – 3a2 + a3 сызықтық комбинациясы былай есептелінеді: 2a1 = (2, 0, 6, –4), 3a2 = (–3, 3, 12, 9), 2a1 – 3a2 = (2, 0, 6, –4) – (–3, 3, 12, 9) = (5, –3, –6, –13), (2a1 – 3a2) + a3 = (5, –3, –6, –13) + (–5, 3, 5, 3) = (0, 0, –1, –10). Егер a векторы а1,…, am векторларының сызықтық комбинациясы болса, онда a векторы а1,…, am векторлары арқылы (сызықтық) өрнектеледі, немесе a векторы а1,…, am векторлары бойынша (сызықтық) жіктеледі дейді. Жалғыз a векторының сызықтық комбинациясының түрі a болады, мұндағы кез келген скаляр. Сонымен бірге, = 0 болса, онда 0a = . Сондықтан нөлдік вектор кез келген векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы болады. Кеңістіктің кез келген a = (α1, α2, …, αn) векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болатынын көрсетейік. Шынында, α1e1 + …+ αnen = α1(1, 0, …., 0) + α2(0, 1, …., 0) +…+ αn(0, 0,…, 1) = (α1, 0, …., 0) + (0, α2, …., 0) +…+ (0, 0,…, αn) = (α1, α2, …, αn) = a. Анықтама. а1,…, am векторлар жүйесінің сызықтық қабышасы деп осы жүйедегі векторлардың барлық сызықтық комбинацияларының жиыны аталады және L(а1,…, am) деп белгіленеді: L(а1,…, am) = {λ1a1 + …+ λmam | λ1,…, λm F}. Мысалы, n-өлшемді арифметикалық векторлық Fn кеністігінің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады, сондықтан Fn кеністігі бірлік векторлардан құралған e1, e2,…, en жүйесінің сызықтық қабықшасы болады: Fn = L(e1, e2,…, en). Анықтама. Егер а1,…, am векторлары үшін λ1a1 + …+ λmam = теңдігі орындалатын кейбіреуі нөлден өзгеше λ1,…, λm скалярлары табылса, онда. а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелді деп аталады. Анықтама. Егер а1,…, am векторлары үшін кез келген λ1,…, λm скалярларына λ1a1 + …+ λmam = теңдігінен λ1 = 0, …, λm = 0 теңдіктері шықса, онда а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, Мысалдар. 1. Бір a = (α1, α2, …, αn) векторынан құралған жүйе сызықты тәуелді болса, онда нөлден өзгеше скаляры үшін a = . Осы теңдікті –1 скалярына көбейтсе, (–1)a = –1. Осыдан 1a = және, 1.1-теореманың 8-қасиеті бойынша, a = . Сөйтіп жалғыз вектор сызықты тәуелді болса, онда ол нөлдік вектор болады. Егер a ≠ болса, онда оның кейбір координатасы нөлге тең емес, айталық, αi, 1 ≤ i ≤ n. Онда a = теңдігінен αi = 0 теңдігі шығады. Ал αi ≠ 0, сондықтан = 0. Сөйтіп, нөлден өзгеше вектор сызықты тәуелсіз болады. Сонымен, бір вектор нөлге тең болғанда ғана, сонда ғана одан құралған жүйе сызықты тәуелді болады. 2. Екі a және b вектор сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана олар пропорционал болады, яғни кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a. Шынында, a және b пропорционал болса, онда кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a, айталық a = b. Онда 1 = 1, 2 = – үшін λ1a + λ2b = 1a – b = 1(b) – b = . Сондықтан a және b векторлары сызықты тәуелді болады. Енді a және b векторлары сызықты тәуелді болсын. Онда кейбіреуі нөлден өзгеше 1, 2 скалярлары үшін λ1a + λ2b = , айталық 1 ≠ 0. Осыдан 1–1(λ1a + λ2b) = немесе a + (1–1λ2)b = немесе a = – (1–1λ2)b, яғни a және b векторлары пропорционал. Анықтама. Егер векторлардың a1 = (11, 12, …, 1r, …, 1n), a2 = (21, 22, …, 2n), ..., ar = (r1, r2, …, rn) координаталарынан құралған матрицасы сатылы болса, онда векторлардың a1, a2, ..., ar жүйесі сатылы деп аталады. Теорема 2. (Сызықтық тәуелділіктің және тәуелсіздіктің қасиеттері) 1. Бірлік e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), ..., en = (0, 0,…, 1) векторларынан құралған жүйе сызықты тәуелсіз болады. 2. Нөлдік векторды қамтитын жүйе сызықты тәуелді болады. 3. Векторлар жүйесінің кейбір ішжүйесі сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана жүйе сызықты тәуелді болады. 4. Сызықты тәуелсіз векторлар жұйесінің кез келген ішжүйесі сызықты тәуелсіз болады. 5. а1,…, am векторларының бірі алғашқы векторларының сызықтық комбинациясы болғанда, тек сонда ғана а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелді болады. 6. Егер а1,…, am векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз және а1,…, am, b жүйесі сызықты тәуелді болса, онда b векторы а1,…, am векторлары арқылы бірмәнді сызықтық өрнектеледі. 7. Егер c L(а1,…, am) және а1,…, am L(b1,…, bk) болса, онда c L(b1,…, bk) 8. n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте n + 1 вектордан құралған жүйе сызықты тәуелді болады. 9. Сатылы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болады. Дәлелдеу. 1. Шынында, кез келген λ1,…, λn скалярлары үшін λ1e1 + λ2e2 +…+ λnen = λ1(1, 0, …., 0) + λ2(0, 1, …., 0) +…+ λn(0, 0,…, 1) = (λ1, 0, …., 0) + (0, λ2, …., 0) +…+ (0, 0,…, λn) = (λ1, λ2,…, λn). Сөйтіп, λ1e1 + λ2e2 +…+ λnen = теңдігінен (λ1, λ2,…, λn) = (0, 0, …., 0) теңдігі шығады. Сондықтан λ1 = 0, λ2 = 0,..., λn = 0. Анықтама бойынша, осы векторлар сызықты тәуелсіз болады. 2. Векторлардың а1,…, ak,..., am жүйесінде бір вектор нөлге тең болсын, айталық ak = . Онда 0a1 + …+ λkak + …+ 0am = , мұндағы λk 0, ал қалған коэффициенттер нөлге тең. Сондықтан жүйе сызықты тәуелді. 3. Егер а1,…, am векторлар жүйесі сызықты тәуелді болса, онда ішжүйе ретінде осы жүйенің өзін алайық. Сондықтан берілген жүйенің осы ішжүйесі де сызықты тәуелді болады. Енді а1,…, am векторлар жүйесінің а1,…, ak , 1 ≤ k ≤ m, ішжүйесі сызықты тәуелді болсын. Онда λ1a1 + λ2a2 +…+ λkak = болатындай кейбіреуі нөлден өзгеше λ1,…, λk скалярлары табылады. Ал λk+1 = 0,..., λm = 0 деп алса, онда λ1,…, λk скалярларының кейбіреуі нөлден өзгеше және λ1a1 + λ2a2 +…+ λkak + λk+1ak+1 + λmam = . Сондықтан барлық а1,…, am жүйесі де сызықты тәуелді болады. 4-қасиет 3-қасиеттен шығады. 5. Қажеттілік. Векторлардың а1,…, am жүйесінде бір вектор нөлден өзгеше болғанда, айталық, а1 , жүйе сызықты тәуелді болсын. Онда λ1a1 + λ2a2 +…+ λmam = болатындай кейбіреуі нөлге тең емес λ1,…, λm скалярлары табылады. Ал λk 0 болатындай k, 1 ≤ k ≤ m, ең үлкені болсын. Онда λ1a1 + λ2a2 +…+ λmam = теңдігінен λ1a1 + λ2a2 +…+ λkak = шығады. Осыдан λkak = –(λ1a1 + λ2a2 +…+ λk–1ak–1) және ak = (– λk–1λ1)a1 + (– λk–1λ2)a2 +…+ (–λk–1λk–1)ak–1. Сондықтан ak векторы алғашқы а1,…, ak–1 векторларының сызықтық комбинациясы болады. Жеткіліктілік. Енді ak векторы алғашқы а1,…, ak–1 векторларының сызықтық комбинациясы болсын, 1 ≤ k ≤ m: ak = λ1a1 + λ2a2 +…+ λk–1ak–1. Осыдан λ1a1 + λ2a2 + … + λk–1ak–1 + (–1)ak = және осыдан λ1a1 + λ2a2 +…+ λk–1ak–1 (–1)ak + 0ak+1...+ 0am = . Ал сол жақтағы сызықтық комбинацияда бір, атап айтқанда, ak–ның коэффициенті нөлге тең емес. Сондықтан а1,…, am векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады. 9. Векторлардың a1, a2,..., ar сатылы жүйесі берілсін. Онда a1 = (11, 12, …, 1r, …, 1n) a2 = ( 0, 22, …, 2r, …, 2n) . . . . . . . . . . . . ar = ( 0, 0, …, rr, …, rn) және мұндағы диагональдан төмен координаталар нөлге тең, ал 11, 22, …,rr диагональдық координаталары нөлге тең емес. Шынында, λ1a1 + λ2a2 + …+ λrar = λ1(11, 12, …, 1r, …, 1n) + λ2(0, 22, …, 2r, …, 2n) + …+ λr(0, 0, …, rr, …, rn) = (λ111, λ112, …, λ11r, …, λ11n) + (0, λ222, …, λ22r, …, λ22n) + …+ (0, 0, …, λrrr, …, λrrn) = (λ11r, λ112 + λ222, …, λ11r + λ22r +...+ λrrr, …, λ11n + λ22n +...+ λrrn +...+ λrrn). Сондықтан λ1a1 + λ2a2 + …+ λrar = теңдігінің координаталық түрде жазылуы (λ11r, λ112 + λ222, …, λ11r + λ22r +...+ λrrr, …, λ11n + λ22n +...+ λrrr +...+ λrrn) = (0, 0, …., 0) болады. Осыдан λ111 = 0, λ112 + λ222 = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . λ11r + λ22r +...+ λrrr = 0, λ11n + λ22n +...+ λrrr +...+ λrrn = 0. Бірінші теңдікте 11 ≠ 0, сондықтан λ1 = 0. Онда екінші теңдік λ222 = 0 теңдігіне айналады, сондықтан λ2 = 0. Осыны жоғарыдан төмен қарай жалғастыра берсе, λ1 = 0, λ1 = 0,..., λr = 0 теңдіктеріне келуге болады. Сондықтан а1,…, ar жүйесі сызықты тәуелсіз болады. Теорема 3. Екі a1,…, am және b1,…, bk векторлар жүйеде екінші жүйенің векторлары бірінші жүйенің векторларының сызықтық комбинациясы болсын. Егер k > m болса, онда b1,…, bk векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады. Дәлелдеу. m саны бойынша индукцияны қолданамыз. m = 1 болсын Онда b1 = 1a1, ..., bk = ka1. Егер 1 = 0 болса, онда b1,…, bk жүйесі сызықты тәуелді болады, өйткені оның құрамында нөлдік вектор бар (2.2-теореманың 2-қасиеті). Енді 1 0 болсын. Онда (–2)b1 + 1b2 + 0b3 + ... 0bk = қатынасы b1,…, bk векторларының сызықты тәуелділігін көрсетеді. Енді m > 1 болсын және теорема m – 1 саны үшін орындалсын. b1 = 1,1a1 + 1,2a2 +...+ 1,mam, . . . . . . . . . . . . . . . . . bk–1 = k–1,1a1 + k–1,2a2 +...+ k–1,mam, bk = k,1a1 + k,2a2 +...+ k,mam. Егер теңдіктердің оң жағында a1-дің барлық коэффициенттері нөл болса, онда b1,…, bk векторлары m – 1 вектордың сызықтық комбинациясы болады. Индукцияның жорымы бойынша, b1,…, bk векторлары сызықты тәуелді болады. Енді теңдіктерде a1-дің бір коэффициенті нөлден озгеше болсын, айталық, 1,1 0. Енді келесі теңдіктерді қарайық: b2 = b2 – b1 = 12a2 + ... + 2mam, . . . . . . . . . . . . . . . . . bk = bk – b1 = k2a2 + ... + kmam. Осы k – 1 вектор m – 1 вектордың сызықтық комбинациясы болады, сонымен бірге k – 1 > m – 1. Индукцияның жорымы бойынша, b2, ..., bk векторлары сызықты тәуелді болады, яғни кейбіреуі нөлден өзгеше 2, ..., k үшін 2b2 + ...+ kbk = теңдігі орындалады. Енді осы теңдікке b2, ..., bk векторларының мәндерін қояйық: 2(b2 – b1) + ...+ k(bk – b1) = ). Осыдан b1 + 2b2 +... + kbk = . Осы b1, b2, ..., bk векторларының сызықтық комбинациясында 2, ..., k коэффициенттерінің біреуі нөлден өзгеше. Сондықтан b1, b2, ..., bk векторлары сызықты тәуелді. жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|